广东省三校2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题（Word版，含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省三校2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题（Word版，含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 944.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-17 14:54:29 | ||
图片预览
文档简介
广东省三校2021-2022学年高二上学期期末联考
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，若，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A.-2 B. C.1 D.
3.等比数列中，，，则（ ）
A.2 B.-4 C.4 D.-8
4.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A.必要条件 B.充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上，有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且与准线交于点C，若，则（ ）
A.3 B. C. D.2
8.设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为（ ）
A.63 B.64 C.65 D.66
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9.下列命题错误的是（ ）
A.命题“，”的否定是“，”
B.函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件
C. 在时有解在时成立
D.“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”
10.正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，，的中点.则（ ）
A.直线与直线AF垂直 B.直线与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为 D.点C与点G到平面AEF的距离相等
11.已知函数，则（ ）
A.函数的图象关于轴对称 B. 时，函数的值域为
C.函数的图象关于点中心对称 D.8为函数的周期
12.已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 是奇函数
C. 在上单调递增 D. 的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.曲线在点处的切线方程为______________.
14.已知直线：与圆交于，两点，过，分别做的垂线与x轴交于C，D两点，若，则______________.
15.已知函数，若函数在上是增函数，则实数的取值范围是_______________.
16.已知点为双曲线：右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，点为线段上一点，的角平分线与线段交于点，且满足，则______________；若为线段的中点且，则双曲线C的离心率为_______________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为，已知________________.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本题满分12分）
已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为.若对恒成立.求正整数的最大值.
19.（本题满分12分）
2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围，为贯彻总书记指示，广州市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动.现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动.
（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人 ，
（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少
（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果.在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：
前10天剩菜剩饭的重量为：24.1 25.2 24.5 23.6 23.4 24.2 23.8 21.5 23.5 21.2
后10天剩菜剩饭的重量为：23.2 21.5 20.8 21.3 20.4 19.4 20.2 19.3 20.6 18.3
借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果.（选择一种方法进行说明即可）
20.（本题满分12分）
如图甲是由正方形ABCD，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿AB，BC，AC折起得三棱锥，如图乙.
（1）求证：平面平面ABC；
（2）过棱AC作平面ACM交棱PB于点M，且三棱锥和的体积比为1：2，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值.
21.（本题满分12分）
已知椭圆：的长轴长为6，离心率为，长轴的左，右顶点分别为A，B.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线交椭圆于M、N两个不同的点，直线AM，AN分别交Y轴于点S、T，记，（为坐标原点），当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围.
22.（本题满分12分）
设二次函数.
（1）若，是函数的两个零点，且最小值为.
①求证：；
②当且仅当在什么范围内时，函数在区间上存在最小值
（2）若任意实数，在闭区间上总存在两实数m，n，使得成立，求实数的取值范围.
广东省三校2021-2022学年高二上学期期末联考
数学（参考答案）
单选题 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C B B D C A
多选题 9 10 11 12
答案 ACD BC ABD ACD
13. 14. 15. 16. ① ；②
7.【详解】分别过作准线的垂线，垂足分别为，设，则， ，故选C.
8.【详解】由，，成等差数列，可得，
则，，，
可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为等差数列.
则，，
则的最大值可能为.
由，，可得.
因为，，，即，所以，则
，当且仅当时，，符合题意，故的最大值为.
10.【详解】因为直线与直线不垂直，且，所以直线与直线垂直不垂直，故不正确；
连、，，因为、为、的中点，所以，所以四点共面，因为，平面，平面，所以平面，故正确；
平面截正方体所得的截面为梯形，其面积为，故正确；
连交于，则不是的中点，所以点C与点G到平面的距离相等，故不正确.故选：BC
11.【详解】，，函数是偶函数，图像关于y轴对称，故A正确；时，，，，故函数的值域为，所以B正确；，，所以C错误；，8是函数的周期，所以D正确，故选ABD．
12.【详解】A.，故A正确；
B.，
所以，所以，所以为偶函数，故B项错误；
C.时，在上单调递增，
因此在上单调递增，故C项正确；
D.由于在上单调递增，又为偶函数，所以在上单调递减，所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD.
17.【解析】（1）选择条件①. ，
，得
选择条件②，由余弦定理及三角形的面积公式可得：，
得.
（2）由得，
∵，，
∴，解得.
由余弦定理得：.
18.【详解】（1）因为数列满足：，
所以，设的公比为q，可得，
又，即，解得，所以；
（2），
，
，
上面两式相减可得，
化简可，
因为，
所以递增，最小，且为所以，
解得，则m的最大值为2021．
19.【详解】（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为，
所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人
（2）记高二四个学生为1，2，3，4，高三两个学生为5，6，抽出两人表示为（x，y），
则抽出两人的基本事件为
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个基本事件，
其中高二学生都在同一组包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个基本事件.
记抽出两人都是高二学生为事件，则，
所以高二学生都在同一组的概率是.
（3）法一：（数字特征）前10天的平均值为23.5，后10天的平均值为20.5，
因为20.5<23.5，
所以宣传节约粮食活动的效果很好.
法二：（茎叶图）画出茎叶图
因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，
所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好.
20. 【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，．
，．（1分）
，，，同理．
又，，．
，，平面，平面．
又平面，平面平面．
（2）如图建立空间直角坐标系，
根据边长关系可知，，，，，
，．
三棱锥和的体积比为，，
，，．
设平面的法向量为，
则，令，得．
设直线与平面所成角为，
则，，
直线与平面所成角的正弦值为．
【详解】（1）由题意可得：
解得：，所以椭圆的方程:
（2）当直线l的倾斜角为锐角时，设，设直线，
由得，
从而，又，得，
所以，
又直线的方程是：，令，解得，所以点S为；
直线的方程是：，同理点T为·
所以，
因为，所以，
所以
.
∵，∴，综上，所以的范围是．
22.【详解】①由题意，函数二次函数，
因为最小值为，可得，即，
因为，所以根据求根公式得，
所以.
②由①知，区间
因为，对称轴，
且函数在区间上存在最小值，所以，
因为，所以解得，所以，即a的取值范围为.
（2）存在两实数，使得成立，
则在区间上，有成立，
设﹐函数对称轴为
①当即时，在上单调减，
，
此时；
②当即时，
，
此时
③当即时，
，
此时；
④当即时，
，
此时；
综合①②③④得，
且最小值为，因为对任意实数t，都有，
所以只需，即，所以实数a的取值范围.
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，若，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A.-2 B. C.1 D.
3.等比数列中，，，则（ ）
A.2 B.-4 C.4 D.-8
4.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A.必要条件 B.充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上，有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且与准线交于点C，若，则（ ）
A.3 B. C. D.2
8.设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为（ ）
A.63 B.64 C.65 D.66
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9.下列命题错误的是（ ）
A.命题“，”的否定是“，”
B.函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件
C. 在时有解在时成立
D.“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”
10.正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，，的中点.则（ ）
A.直线与直线AF垂直 B.直线与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为 D.点C与点G到平面AEF的距离相等
11.已知函数，则（ ）
A.函数的图象关于轴对称 B. 时，函数的值域为
C.函数的图象关于点中心对称 D.8为函数的周期
12.已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 是奇函数
C. 在上单调递增 D. 的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.曲线在点处的切线方程为______________.
14.已知直线：与圆交于，两点，过，分别做的垂线与x轴交于C，D两点，若，则______________.
15.已知函数，若函数在上是增函数，则实数的取值范围是_______________.
16.已知点为双曲线：右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，点为线段上一点，的角平分线与线段交于点，且满足，则______________；若为线段的中点且，则双曲线C的离心率为_______________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为，已知________________.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本题满分12分）
已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为.若对恒成立.求正整数的最大值.
19.（本题满分12分）
2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围，为贯彻总书记指示，广州市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动.现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动.
（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人 ，
（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少
（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果.在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：
前10天剩菜剩饭的重量为：24.1 25.2 24.5 23.6 23.4 24.2 23.8 21.5 23.5 21.2
后10天剩菜剩饭的重量为：23.2 21.5 20.8 21.3 20.4 19.4 20.2 19.3 20.6 18.3
借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果.（选择一种方法进行说明即可）
20.（本题满分12分）
如图甲是由正方形ABCD，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿AB，BC，AC折起得三棱锥，如图乙.
（1）求证：平面平面ABC；
（2）过棱AC作平面ACM交棱PB于点M，且三棱锥和的体积比为1：2，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值.
21.（本题满分12分）
已知椭圆：的长轴长为6，离心率为，长轴的左，右顶点分别为A，B.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线交椭圆于M、N两个不同的点，直线AM，AN分别交Y轴于点S、T，记，（为坐标原点），当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围.
22.（本题满分12分）
设二次函数.
（1）若，是函数的两个零点，且最小值为.
①求证：；
②当且仅当在什么范围内时，函数在区间上存在最小值
（2）若任意实数，在闭区间上总存在两实数m，n，使得成立，求实数的取值范围.
广东省三校2021-2022学年高二上学期期末联考
数学（参考答案）
单选题 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C B B D C A
多选题 9 10 11 12
答案 ACD BC ABD ACD
13. 14. 15. 16. ① ；②
7.【详解】分别过作准线的垂线，垂足分别为，设，则， ，故选C.
8.【详解】由，，成等差数列，可得，
则，，，
可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为等差数列.
则，，
则的最大值可能为.
由，，可得.
因为，，，即，所以，则
，当且仅当时，，符合题意，故的最大值为.
10.【详解】因为直线与直线不垂直，且，所以直线与直线垂直不垂直，故不正确；
连、，，因为、为、的中点，所以，所以四点共面，因为，平面，平面，所以平面，故正确；
平面截正方体所得的截面为梯形，其面积为，故正确；
连交于，则不是的中点，所以点C与点G到平面的距离相等，故不正确.故选：BC
11.【详解】，，函数是偶函数，图像关于y轴对称，故A正确；时，，，，故函数的值域为，所以B正确；，，所以C错误；，8是函数的周期，所以D正确，故选ABD．
12.【详解】A.，故A正确；
B.，
所以，所以，所以为偶函数，故B项错误；
C.时，在上单调递增，
因此在上单调递增，故C项正确；
D.由于在上单调递增，又为偶函数，所以在上单调递减，所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD.
17.【解析】（1）选择条件①. ，
，得
选择条件②，由余弦定理及三角形的面积公式可得：，
得.
（2）由得，
∵，，
∴，解得.
由余弦定理得：.
18.【详解】（1）因为数列满足：，
所以，设的公比为q，可得，
又，即，解得，所以；
（2），
，
，
上面两式相减可得，
化简可，
因为，
所以递增，最小，且为所以，
解得，则m的最大值为2021．
19.【详解】（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为，
所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人
（2）记高二四个学生为1，2，3，4，高三两个学生为5，6，抽出两人表示为（x，y），
则抽出两人的基本事件为
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个基本事件，
其中高二学生都在同一组包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个基本事件.
记抽出两人都是高二学生为事件，则，
所以高二学生都在同一组的概率是.
（3）法一：（数字特征）前10天的平均值为23.5，后10天的平均值为20.5，
因为20.5<23.5，
所以宣传节约粮食活动的效果很好.
法二：（茎叶图）画出茎叶图
因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，
所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好.
20. 【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，．
，．（1分）
，，，同理．
又，，．
，，平面，平面．
又平面，平面平面．
（2）如图建立空间直角坐标系，
根据边长关系可知，，，，，
，．
三棱锥和的体积比为，，
，，．
设平面的法向量为，
则，令，得．
设直线与平面所成角为，
则，，
直线与平面所成角的正弦值为．
【详解】（1）由题意可得：
解得：，所以椭圆的方程:
（2）当直线l的倾斜角为锐角时，设，设直线，
由得，
从而，又，得，
所以，
又直线的方程是：，令，解得，所以点S为；
直线的方程是：，同理点T为·
所以，
因为，所以，
所以
.
∵，∴，综上，所以的范围是．
22.【详解】①由题意，函数二次函数，
因为最小值为，可得，即，
因为，所以根据求根公式得，
所以.
②由①知，区间
因为，对称轴，
且函数在区间上存在最小值，所以，
因为，所以解得，所以，即a的取值范围为.
（2）存在两实数，使得成立，
则在区间上，有成立，
设﹐函数对称轴为
①当即时，在上单调减，
，
此时；
②当即时，
，
此时
③当即时，
，
此时；
④当即时，
，
此时；
综合①②③④得，
且最小值为，因为对任意实数t，都有，
所以只需，即，所以实数a的取值范围.
同课章节目录