湖南省大联考2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题（Word版，含答案）

湖南省大联考2021-2022学年高二上学期期末考试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一册至第二册第4章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
3．已知向量，，则（ ）
A． B．10 C．5 D．25
4．已知直线与垂直，则m与n的等比中项为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的渐近线与圆相切，则（ ）
A． B．5 C． D．
6．若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数（假设每人的得票数各不相同）排名次，发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2000元，前20名共发放3500元，则前30名共发放（ ）
A．4000元 B．4500元 C．4800元 D．5000元
8．在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列四个关于圆锥曲线的命题中，为真命题的是（ ）
A．椭圆与双曲线有相同的焦点
B．设A，B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹为双曲线
C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D．动圆P过定点且与定直线相切，则圆心P的轨迹方程是
10．如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，若G是EF的中点，，，则（ ）
A． B．平面ABCD
C． D．三棱锥外接球的表面积是
11．已知为曲线上一动点，则（ ）
A．的最小值为
B．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离
C．P到直线距离的最小值小于
D．的最小值为6
12．设和分别为数列和的前n项和．已知，，则（ ）
A．是等比数列 B．是递减数列
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．若复数z满足，则z的虚部为______．
14．过圆柱的轴作截面，得到一个边长为2的正方形，则该圆柱的表面积是______．
15．已知函数的图象关于直线对称，则m的最大值为______．
16．数列满足，前12项的和为298，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套的乡村游项目，现统计了10月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，，）．
（1）根据频率分布直方图，估计该组数据的众数和50%分位数（即中位数，结果精确到0.1）；
（2）若将购买水果金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从这5人中任选2人，并赠送这2人价值50元的水果，求这2人中至少有1人购买水果金额不低于100元的概率．
18．（12分）
等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
19．（12分）
在中，a，b，c分别为内角A，B，C的边．已知，，．
（1）求b，c的值；
（2）求的值．
20．（12分）
2021年12月8日～11日，备受瞩目的2021中国国际轨道交通和装备制造产业博览会（轨博会）在湖南株洲成功举行．假设2021年株洲轨道产业的年利润为2百亿元，预计从2022年开始，轨道产业每年的年利润将在前一年翻一番的基础上减少1百亿元，设从2021年开始，每年株洲轨道产业的年利润（单位：百亿元）依次为，，，…．
（1）请用一个递推关系式表示与之间的关系．
（2）证明：数列为等比数列．
（3）预计哪一年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关．
21．（12分）
在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，E，F分别是棱AB，PC的中点．
（1）证明：平面PAD．
（2）若，，求平面AEF与平面CDF夹角的余弦值．
22．（12分）
设椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，过的直线与C相交于D，E两点，且的周长为8．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C交于不同的两点M，N，以MN为直径的圆经过C的右顶点A，且A不在直线l上，证明直线l过定点，并求出定点坐标．
湖南省大联考2021-2022学年高二上学期期末考试
数学试卷参考答案
1．A 2．A 3．C 4．D 5．C 6．C 7．B 8．D 9．AD 10．BCD
11．BD 由，得，则曲线为抛物线的右半部分．
因为抛物线的焦点为，准线为，所以B正确，，A错误．
原点到直线的距离为，数形结合可知，原点到直线的距离是最短距离，C错误．
设点到准线的距离为d，P到准线的距离为，
则，D正确．
12．ABD 因为，所以当时，，即，又，所以，即，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以．因为，所以，是递减数列．
因为，所以．
①，②，
①－②得，
所以，所以，所以．
13．5 14． 15． 16．4
17．解：（1）由频率分布直方图可得该组数据的众数的估计值为，
因为，
所以该组数据的50%分位数的估计值为63.3．
（2）因为，
所以这5人中消费金额在内的有3人，设这3人分别为，，，
消费金额在内的有2人，设这2人分别为，．
设在这5人中任选2人，至少有1人购买水果金额不低于100元为事件A．
在这5人中任选2人共有，，，，，，，，，这10种取法，
其中这2人中至少有1人购买水果金额不低于100元的取法共有7种，
故．
18．解：（1）设数列的公差为d，
由，又，解得，．故．
（2）由（1）可知，
则，
故．
19．解：（1）由余弦定理，
得．因为，所以，解得，．
（2）由，得．
由正弦定理得．
在中，因为B是钝角，所以C为锐角，所以．
故．
20．（1）解：．
（2）证明：∵，∴，∵，∴，
∴是一个以1为首项，2为公比的等比数列．
（3）解：由（2）可知，即．
令，，得，
所以预计2025年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关．
注：如果列举，，，，也可以相应给分．
21．（1）证明：取CD的中点G，连接EG，FG．
因为F，G分别是棱PC，CD的中点，所以，所以平面PAD．
因为，且E，G分别是棱AB，CD的中点，所以，所以平面PAD．
因为EG，平面EFG，且，所以平面平面PAD．
因为平面EFG，所以平面PAD．
（2）解：以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，．因为F是棱PC的中点，所以，所以，，，．
设平面AEF的法向量为，
则令，得．
设平面CDF的法向量为，
则令，得．
设平面AEF与平面CDF的夹角为，则．
22．（1）解：依题意可得，，
则，，从而，故C的方程为．
（2）证明：当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为，
代入，得，
设直线MN与x轴交于点B，则，即，
解得或（舍去）．
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，，．
将与联立，得，
，，，
以MN为直径的圆经过右顶点A，则，
即，所以，
则或，故直线MN的方程为或，
因为直线过点A，所以直线MN的方程为，
所以直线l过定点．综上，直线l过定点．