四川省南充市2021-2022学年高二上学期期末考试数学理试题（Word版，含答案）

南充市2021-2022学年高二上学期期末考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出身小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择隐时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ )
A． B． C． D．
2．采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为3的样本，某个个体被抽到的极率是（ )
A． B． C． D．
3．不等式组表示的区域（阴影部分）是（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线，则“”是“直线l过第一、二象限”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
5．已知命题，则是（ ）
A． B．
C． D．
6．青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知点在圆内部，则直线与圆O的公共点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
8．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
9．设，其中．则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
10．过定点M的直线与过定点N的直线交于点P，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
11．己知圆，圆，若圆平分圆的圆周，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．已知P是圆外一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A、B，总有为正三角形．当点P运动时，直线上存在两点M、N，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在空间直角坐标系中，点关于面的对称点为B，则线段的长度为________．
14．将某班的60名学生编号为01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的第一个号码为03，则抽得的最大号码是_______．
15．已知直线与直线平行，则这两直线之间的距离为_______．
16．太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，展现了一种相互转化、相对统一的和谐美，闪烁着中华文明进程的光辉．在某个太极图图案中，阴影部分可用集合表示．设点，则的最大值和最小值之积为_________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）已知命题，都有成立；命题，使成立．若为真命题，求实数m的取值范围．
18．（本小题满分12分）某省电视台为了了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5个城市，得到观看节目的人数的统计数据（单位：千人），并画出如下的茎叶图，其中西部人数一个数字被污损，用m表示（）．
（Ⅰ）若东部各城市观看该节目的观众的中位数不超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数，求m的值；
（Ⅱ）该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节日的观众中随机统计了4位观众周均学习成语知识的时间y（单位：小时）与年龄x（单位：岁），并制作了如下对照表：
年龄x（岁） 20 30 40 50
周均学习成语知识时间y（小时） 2.5 3 4 4.5
根据表中数据，用最小二乘法原理求出周均学习成语知识的时间y与年龄x的线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众周均学习成语知识的时间．
附：参考公式：
19．（本小题满分12分）己知中，顶点的平分线所在直线的方程为．
（Ⅰ）求边所在的直线方程；
（Ⅱ）求的内切圆方程．
20．（本小题满分12分）某校在2021年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试．
（Ⅱ）根据样本频率分布直方图估计样本的众数；
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人发言，那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？
（Ⅲ）如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前18%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？
21．（本小题满分12分）已知圆和点，直线．
（Ⅰ）点A在圆Q上运动，且A为线段的中点，求点N的轨迹曲线T的方程；
（Ⅱ）点P是直线l上的动点，过P作（I）中曲线T的两条切线、，切点为B，C，求直线所过定点D的坐标；
（Ⅲ）设E为（I）中曲线T上任意一点，过点E向圆Q引一条切线，切点为F．
试探究：x轴上是否存在定点G（异于点Q），使得为定值？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分．考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．已知x，y满足．
（Ⅰ）若，求的概率；
（Ⅱ）若，求的概率．
23．某广告公司接到杜区制作疫情防控宜传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个．该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3平方米，可做文字标牌1个和绘画标牌2个；乙种规格原料每张2平方米，可做文字标牌2个和绘画标牌1个．问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小？并求最小用料面积．
南充市2021-2022学年高二上学期期末考试
理科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D C D B A D B C B A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．4 14．51 15．1 16．
三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：命题，都有成立为真命题，则，即 3分
命题，使成立为真命题，则，即 6分
由为真命题知p假q真， 9分
故，即m的取值范围是 12分
18．解：（Ⅰ）东部各城市观看该节目的观众的中位数为90 2分
西部各城市观看该节目的观众的平均人数为 4分
由题意可得，∴或9 5分
（2）由表中数据得 7分
∴， 9分
10分
故线性回归方程为． 11分
可预测年龄为60岁的观众周均学习成语知识时间小时． 12分
19．解：（Ⅰ）点关于的平分线所在直线的对称点在边所在的直线上 1分
设，则，∴ 3分
∴ 4分
故边所在的直线方程为，即 6分
（Ⅱ）由的内切圆圆心在的平分线上，设为 7分
又得边所在的直线方程为，即 8分
由到和边距离相等得或（舍） 10分
故圆心为，此时圆半径 11分
所以的内切圆方程 12分
20．解：（Ⅰ）根据样本频率分布直方图估计样本的众数为； 2分
（Ⅱ）“良好”的学生频率为，“优秀”学生频率为；
由分层抽样可得“良好”的学生有人，“优秀”的学生有3人， 4分
将三名优秀学生分别记为A，B，C，两名良好的学生分别记为a，b，
则这5人中选2人的基本事件有：共10种， 5分
其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：共9种， 6分
所以至少有一人是“优秀”的概率是 7分
（Ⅲ）由第三、四、五组的人数成等差数列得
，① 8分
又由（Ⅱ）知，② 9分
由①②可得 10分
第五组人数频率为，
第四、五组人数的频率为
故初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设为x分，
则 11分
所以根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到93分才能直接进入复试． 12分
21．解：（Ⅰ）设，则 1分
由点A在圆Q上运动，有
∴即为点N的轨迹线T的方程 3分
（Ⅱ）点P是直线l上的动点，设，则
曲线是以原点O为圆心，半径为2的圆，
过P作的曲线T两条切线，切点为B，C，易知B，C在以为直径的圆上
设圆上任意一点为，则
① 4分
又切点B，C在曲线T上，有②
由②-①得B，C所在直线方程为 5分
即对恒成立， 6分
∴
故直线所过定点D的坐标为 7分
（Ⅲ）设为曲线上任意一点，
假设存在x轴上定点G（异于点Q）满足条件，设
则
对恒为定值， 9分
必有或（舍）
所以存在x轴上定点使得为定值，
即对于曲线T上任意一点E，恒有 10分
故
所以的最小值为． 12分
（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答，共10分．
22．解：（Ⅰ）设“”为事件A，
由，得 1分
则包含的基本事件有：共12个， 3分
其中满足事件A的基本事件有共3个， 4分
所以．即的概率． 5分
（Ⅱ）设“”为事件B，
因为，则基本事件构成如图长方形区域 6分
满足事件B的基本事件包括的区域为其中的阴影部分，即． 8分
所以，
故的概率为． 10分
23．解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张 1分
则 5分
所用原料的总面积 6分
由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，即， 7分
由，得，由图可知，
当直线过A时，z取得最小值为． 9分
故需要甲种原料2张，乙种原料1张，才能使总的用料面积最小，为8平方米． 10分