天津市西青区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题（Word版，含答案）
文档属性
| 名称 | 天津市西青区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题（Word版，含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 471.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-17 15:16:02 | ||
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文档简介
西青区2021-2022学年高三上学期期末考试
数学试卷
第Ⅰ卷
一、单选题（共45分）
1．（本题5分）已知全集，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（本题5分）设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D，既不充分也不必要条件
3．（本题5分）函数在的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题5分）在黄陵中学举行的数学知识竞赛中，将高二两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．这两个班参赛的学生人数是（ ）
A．80 B．90 C．100 D．120
5．（本题5分）已知三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题5分）已知双曲线的一条渐近线方程，且过点则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题5分）在上随机取一个实数m，能使函数在R上有零点的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题5分）将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
9．（本题5分）定义在R上的函数（其中且），对于任意都有成立，则实数a的起止范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（共30分）
10．（本题5分）设，其中i为叙述单位，则复数z的虚部为______．
11．（本题5分）的展开式中常数项是______．
12．（本题5分）若集合，，则集合B的所有子集的个数是______．
13．（本题5分）已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为8，则直线l的方程是______．
14．（本题5分）已知函数有且只有一个零点，若方程无解，则实数k的取值范围______．
15．（本题5分）在等腰三角形ABC中，，点P在三角形内，满足，则______．
三、解答题（共75分）
16．（本题14分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求的值；
（2）求的值．
17．（本题15分）如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，，F为PA中点，，，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．
（1）求平面ABC与平面PBC所成角的大小；
（2）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，请求出FQ的长；若不存在，请说明理由．
18．（本题15分）已知是等差数列，且，；数列满足：．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为，若，求n的最大值．
19．（本题15分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦点为的抛物线的准线被椭圆C截得的弦长为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点、到直线的距离之积为1，求证：直线l与椭圆C相切．
20．（本题16分）已知
（1）证明：；
（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围．
西青区2021-2022学年高三上学期期末考试
数学答案
1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．A 9．A
10． 11． 12．16 13．或
14． 15．
16．（1）由已知结合余弦定理得，∴．
由正弦定理得
∴．
∵，∴，
∴，∴．
（2）因为，所以，则，
则，
所以．
17．（1）连接DB，如下图所示：
因为ABCD是直角梯形，且，
故可得，则，
则为直角三角形，即．
因为平面ABC，又，
则即为平面ABC与平面PBC所成角的平面角；
在中，，故，
故平面ABC与平面PBC所成角的大小为．
（2）因为平面ABCD，DA，面ABCD，故，，
又，则，即DP，DA，DC两两垂直，
故以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，，，，，，
不妨设存在点在线段EF上，使得BQ与平面BCP所成角的大小为，
则存在实数使得，即，
解得，，，即．
设平面BCP的法向量为，，
则，即，不妨取，故可得．
又，
则
故可得：，即，
整理得：，又，即可得，此时点Q与点E重合．
，则．
综上所示，在线段EF上存在点Q与点E重合，使得BQ与平面BCP所成角的大小为，且FQ的长度为．
18．（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
依题意有，解得，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴，
由可得．设，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，∴n的最大值为8．
19．（1）设椭圆C的焦距为，
抛物线D的焦点为，则，抛物线D的准线方程为，
由于抛物线D的准线被椭圆C截得的弦长为，则点在椭圆C上，
由椭圆的定义得，
∴，则，
因此，椭圆C的标准方程为；
（2）点到直线l的距离，点到直线l的距离为，则．
①若，则，显然不成立；
②，则．
将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
消去y得，
则
因此，直线l与椭圆C相切．
20．（1）令，，
，
令，可得函数在上单调递增，
因此存在，使得，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
∴函数在处取得极小值即最小值，
∴，因此；
（2）令，，．
，
函数，时，，
可得，函数在上单调递增，
∴，满足条件，
时，在上单调递增，
∴．时，
此时函数在上单调递增，
∴，满足条件，
时，存在，使得，
因此函数在上单调递减，
因此，不满足条件舍去，
综上可得，的取值范围是．
数学试卷
第Ⅰ卷
一、单选题（共45分）
1．（本题5分）已知全集，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（本题5分）设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D，既不充分也不必要条件
3．（本题5分）函数在的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题5分）在黄陵中学举行的数学知识竞赛中，将高二两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．这两个班参赛的学生人数是（ ）
A．80 B．90 C．100 D．120
5．（本题5分）已知三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题5分）已知双曲线的一条渐近线方程，且过点则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题5分）在上随机取一个实数m，能使函数在R上有零点的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题5分）将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
9．（本题5分）定义在R上的函数（其中且），对于任意都有成立，则实数a的起止范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（共30分）
10．（本题5分）设，其中i为叙述单位，则复数z的虚部为______．
11．（本题5分）的展开式中常数项是______．
12．（本题5分）若集合，，则集合B的所有子集的个数是______．
13．（本题5分）已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为8，则直线l的方程是______．
14．（本题5分）已知函数有且只有一个零点，若方程无解，则实数k的取值范围______．
15．（本题5分）在等腰三角形ABC中，，点P在三角形内，满足，则______．
三、解答题（共75分）
16．（本题14分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求的值；
（2）求的值．
17．（本题15分）如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，，F为PA中点，，，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．
（1）求平面ABC与平面PBC所成角的大小；
（2）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，请求出FQ的长；若不存在，请说明理由．
18．（本题15分）已知是等差数列，且，；数列满足：．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为，若，求n的最大值．
19．（本题15分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦点为的抛物线的准线被椭圆C截得的弦长为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点、到直线的距离之积为1，求证：直线l与椭圆C相切．
20．（本题16分）已知
（1）证明：；
（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围．
西青区2021-2022学年高三上学期期末考试
数学答案
1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．A 9．A
10． 11． 12．16 13．或
14． 15．
16．（1）由已知结合余弦定理得，∴．
由正弦定理得
∴．
∵，∴，
∴，∴．
（2）因为，所以，则，
则，
所以．
17．（1）连接DB，如下图所示：
因为ABCD是直角梯形，且，
故可得，则，
则为直角三角形，即．
因为平面ABC，又，
则即为平面ABC与平面PBC所成角的平面角；
在中，，故，
故平面ABC与平面PBC所成角的大小为．
（2）因为平面ABCD，DA，面ABCD，故，，
又，则，即DP，DA，DC两两垂直，
故以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，，，，，，
不妨设存在点在线段EF上，使得BQ与平面BCP所成角的大小为，
则存在实数使得，即，
解得，，，即．
设平面BCP的法向量为，，
则，即，不妨取，故可得．
又，
则
故可得：，即，
整理得：，又，即可得，此时点Q与点E重合．
，则．
综上所示，在线段EF上存在点Q与点E重合，使得BQ与平面BCP所成角的大小为，且FQ的长度为．
18．（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
依题意有，解得，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴，
由可得．设，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，∴n的最大值为8．
19．（1）设椭圆C的焦距为，
抛物线D的焦点为，则，抛物线D的准线方程为，
由于抛物线D的准线被椭圆C截得的弦长为，则点在椭圆C上，
由椭圆的定义得，
∴，则，
因此，椭圆C的标准方程为；
（2）点到直线l的距离，点到直线l的距离为，则．
①若，则，显然不成立；
②，则．
将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
消去y得，
则
因此，直线l与椭圆C相切．
20．（1）令，，
，
令，可得函数在上单调递增，
因此存在，使得，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
∴函数在处取得极小值即最小值，
∴，因此；
（2）令，，．
，
函数，时，，
可得，函数在上单调递增，
∴，满足条件，
时，在上单调递增，
∴．时，
此时函数在上单调递增，
∴，满足条件，
时，存在，使得，
因此函数在上单调递减，
因此，不满足条件舍去，
综上可得，的取值范围是．
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