新疆昌吉州2021-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版含答案解析）

2021-2022学年第一学期昌吉州期末质量检测试卷
高二年级理科数学
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（每小题5分，总分60分）
1．设，命题“若，则或”的否命题是（ ）
A．若，则或
B．若，则或
C．若，则且
D．若，则且
2．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若．则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
5．△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B．（y≠0）
C． D．
6．已知命题，，若是的一个充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为( )
A． B． C． D．
8．如图所示，直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆的两焦点分别为，，P为椭圆上一点，且，则的面积等于（ ）．
A．6 B． C． D．
10．设AB是椭圆（）的长轴，若把AB一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、… 、P99 ，F1为椭圆的左焦点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且 ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，以 为直径的圆与双曲线的右支在第一象限交于点，直线与双曲线的右支交于点，点恰好为线段的三等分点(靠近点)，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
填空题（每小题5分，总分20分）
13．若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是___________
14．若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
15．过抛物线：的焦点的直线交于，两点，若，则线段中点的横坐标为______．
16．如图所示，二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，且，，，，，则的长______．
三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，总分70分）
17．设命题p：实数x满足，其中；命题q：．
若，且为真，求实数x的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18．点与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）点在（1）中轨迹上运动轴，为垂足，点满足，求点轨迹方程.
19．设双曲线的左、右焦点分别为，，且，一条渐近线的倾斜角为60°．
（1）求双曲线C的标准方程和离心率；
（2）求分别以，为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程．
20．已知如图①，在菱形ABCD中，且，为AD的中点，将沿BE折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题：
（1）求证：BC平面ABE；
（2）若P为AC的中点，求二面角的余弦值.
21．已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线 与椭圆交于不同的两点M，N．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当的面积为时，求的值．
22．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若，是抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案
1．C
【分析】
根据否命题的定义直接可得.
【详解】
根据否命题的定义可得命题“若，则或”的否命题是若，则且，
故选：C.
2．B
【分析】
先求出的坐标，然后由可得，再根据向量数量积的坐标运算求解即可.
【详解】
因为，，所以，
因为，所以，即，解得.
故选：B
3．B
【分析】
由抛物线知识得出准线方程，再由点到焦点的距离等于其到准线的距离求出，从而得出方程.
【详解】
由题意知，则准线为，
点到焦点的距离等于其到准线的距离，
即，∴，则
故选：B.
4．A
【分析】
利用向量运算的三角形法则 平行四边形法则表示出即可．
【详解】
，
，
，
，
故选：A．
5．D
【分析】
根据三角形的周长得出，再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.
【详解】
因为，所以，
所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，
所以顶点C的轨迹方程是 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.
6．A
【分析】
先化简命题p，q，再根据是的一个充分不必要条件，由q求解.
【详解】
因为命题，或，
又是的一个充分不必要条件，
所以，
解得，
所以的取值范围是，
故选：A
7．B
【分析】
已知焦距，求出c；根据焦点在x轴上的双曲线渐近线斜率为±可求a，b关系，再结合a，b，c关系即可求解﹒
【详解】
∵双曲线1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0平行，
∴，∴b＝－2a，∵c2＝a2＋b2，∴a＝1，b＝2，
∴双曲线的方程为．
故选：B．
8．A
【分析】
取的中点为，的中点为，然后可得或其补角即为与所成角，然后在中求出答案即可.
【详解】
取的中点为，的中点为，
，，所以或其补角即为与所成角，
设，则，，
在，，
故选：A
9．B
【分析】
根据椭圆定义和余弦定理解得，结合三解形面积公式即可求解．
【详解】
由与是椭圆上一点，∴，
两边平方可得，即，
由于，，∴根据余弦定理可得，
综上可解得，∴的面积等于，
故选：B
10．D
【分析】
根据椭圆的定义，写出，可求出的和，又根据关于纵轴成对称分布，得到结果．
【详解】
设椭圆右焦点为F2，由椭圆的定义知，2，，，
．
由题意知，，，关于轴成对称分布，
．
又，
故所求的值为．
故选：D．
11．B
【分析】
分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及直角三角形的性质可求得，结合已知条件求得，分析出为的中点，进而可得出，即可得解.
【详解】
如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，
设，则由己知得，由抛物线的定义得，故，
在直角三角形中，，，
因为，则，从而得，
所以，，则为的中点，从而.
故选：B.
12．C
【分析】
设，，根据双曲线的定义可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得关于，的方程，再由离心率公式即可求解.
【详解】
设，则，
由双曲线的定义可得：，，
因为点在以为直径的圆上，所以，
所以，即，解得：，
在中，，，，
由可得，即，
所以双曲线离心率为，
故选：C.
13．(-1，0]
【分析】
将题意的命题转化条件为“，”为真命题，结合一元二次不等式恒成立即可得解.
【详解】
因为命题“，使得”是假命题，
所以其否定“，”为真命题，
即在R上恒成立.
当时，不等式为，符合题意；
当时，则需满足，解得；
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
14．
【分析】
根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】
解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
15．
【分析】
根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得为直角梯形中位线，由抛物线的定义分析可得答案．
【详解】
如图，抛物线的焦点为，准线为，
分别过，作准线的垂线，垂足为，，
则有．
过的中点作准线的垂线，垂足为，
则为直角梯形中位线，
则，即，解得.
所以的横坐标为．
故答案为：．
16．
【分析】
推导出，从而，结合，，，能求出的长．
【详解】
二面角为，是棱上的两点，分别在半平面、内，
且
所以,
所以，
，
，
的长．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查空间向量的运算法则以及数量积的运算法则，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是中档题．
17．(1) (2)
【分析】
解二次不等式，其中解得，解得：，取再求交集即可；
写出命题所对应的集合，命题p：，命题q：，由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，列不等式组可求解．
【详解】
解：(1)由，其中；
解得，
又，即，
由得：，
又为真，则，
得：，
故实数x的取值范围为；
由得：命题p：，命题q：，
由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，
A是B的真子集，
所以，即．
故实数m取值范围为：.
【点睛】
本题考查了二次不等式的解法，复合命题的真假，命题与集合的关系，属于简单题．
18．（1）；（2）
【分析】
（1）根据题意用表示出与，再代入，再化简即可得出答案。
（2）设，利用表示出点，再将点代入椭圆，化简即可得出答案。
【详解】
（1）由题意知 ，
所以化简得：
（2）设，因为，则
将代入椭圆得
化简得
【点睛】
本题考查轨迹方程，一般求某点的轨迹方程，只需要设该点为，利用所给条件建立的关系式，化简即可。属于基础题。
19．（1），2 （2）
【分析】
（1）结合，联立即得解；
（2）由题意，即得解.
【详解】
（1）由题意，
又
解得：
故双曲线C的标准方程为：，离心率为
（2）由题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为
故
即椭圆方程为：
20．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）利用题中所给的条件证明，，因为，所以，，即可证明平面；
（2）先证明平面，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解
【详解】
（1）在图①中，连接，如图所示：
因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.
因为为的中点，所以，.
又，所以.
在图②中，，所以，即.
因为，所以，.
又，，平面.
所以平面.
（2）由（1）知，，.
因为，，平面.
所以平面.
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，.
因为为的中点，所以.
所以，.
设平面的一个法向量为，
由得.
令，得，，所以.
设平面的一个法向量为.
因为，
由得
令，，，得
则，
由图象可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
21．
（1）
（2）
【分析】
（1）由椭圆的一个顶点为，得到，再由椭圆的离心率为，求得，进而求得椭圆的标准方程；
（2）由椭圆的对称性得到，联立方程组求得，根据的面积为，列出方程，即可求解.
（1）
解：由题意，椭圆的一个顶点为，可得，
又由椭圆的离心率为，可得，所以，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：设，且
根据椭圆的对称性得，
联立方程组，整理得，解得，
因为的面积为，可得，解得.
22．（1）
（2）证明见解析
【分析】
(1)联立直线和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式得到，根据韦达定理可得到最终结果；（2）代入点坐标可得到参数的值，设直线的方程为，联立该直线和抛物线方程，，代入韦达定理可得到最终结果.
（1）设点，，点，，
联立，整理得，
，
由抛物线的定义知，
解得，
抛物线的方程为．
（2），为抛物线上一点，
，即，
设，，，，直线的方程为，
由，消去得，
，，
，
即为定值．
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