新疆昌吉州2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题（PDF版含答案）

2021-2022学年第一学期昌吉州期末质量检测试卷
高一年级数学
考试时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题（每小题 5 分）
A 6 x N N
1．集合 3 x

用列举法可以表示为（ ）
A 3,6 B 1,2 C 0,1,2 D 2, 1,0,1, 2 ． ． ． ．
a
1
2．“ a b 0 ”是“ b ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2
3．命题“ x R ， x x 2 0 ”的否定是（ ）
x R 2A．不存在 ， x x 2 0 B． x R ， x
2 x 2 0
x R x2C． ， x 2 0 D． x R
2
， x x 2 0
0
4．已知 f(x)的定义域是[0, )，则函数 (x 2) f (x 1)的定义域是（ ）
A．[0,2) (2, ) B．[1, 2) (2, )
C．[ 1,2) (2, ) D．[1, )
3 3
5．已知四组函数：①f(x)＝x，g(x)＝( x )2；②f(x)＝x，g(x)＝ x ；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；
④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1．
其中是同一函数的为（ ）
A．没有 B．仅有② C．②④ D．②③④
f x1 f x2
6 R f x , x
0
x
．定义在 上的偶函数 ，对任意 1 2
0, x1 x2 ，有 x1 x2 ，则（ ）
A f 3 f 2 f 1 B f 1 f 2 f 3 ． ．
C f 2 f 1 f 3 D f 3 f 1 f 2 ． ．
a 1 4 1 1
7．已知 a ，则 a 2 a 2 等于（ ）
A．2 B． 2 C． 2 D．± 2
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8 f．在用“二分法”求函数 x 2,6零点近似值时，若第一次所取区间为 ，则第三次所取区间可能
是（ ）
A 2, 1 B 1,1 2,4 5,6． ． C． D．
1 1 1
9．设 4 <( 4 )b<( 4 )a<1，那么（ ）
A．ab
10． cos 24 cos36 sin 24 cos54 （ ）
1 3
1
A． 2 B． 0 C． 2 D． 2
11．已知 tan +sin =a(a 0)， tan -sin =b，则 cos 等于（ ）
a b a b a b a b
A． 2 B． 2 C． a b D． a b
12．某班有学生参加才艺比赛，每人参加一个比赛，参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，
参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的两倍多于参加书法比赛的人
数，则参加这三项比赛的人数至少为（ ）
A．7 B．9 C．12 D．15
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题 5 分）
13．已知集合 A {3,m},B {m,m 1}，若 A B {4}，则 A B ___________.
14．下列命题中，
①幂函数的图象不可能在第四象限；
②当α＝0时，函数 y＝xα的图象是一条直线；
③当α>0时，幂函数 y＝xα是增函数；
④当α＜0时，幂函数 y＝xα在第一象限内函数值随 x值的增大而减小．
其中正确的序号为________．
f x Asin x (A 0, 0, )
15．函数 2 的部分图象如图：
f x
则 解析式 .
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f (x) sin x
16 3 f 1 f 2 f 3 f 2015 ．设函数 ，则 ________.
三、解答题
A {x 2 x 4} B {x m 1 x m217．（10 }分）已知集合 ，集合 .
（1）若 A B ；求实数 m的取值范围；
（2）命题 p : x A，命题 q : x B，若 p是 q的充分条件，求实数 m的取值集合.
18．（12分）化简求值：
（2 3（1） a
2 b）( 6 a 3 b) ( 3 4a3 6 b5 ) ；
4log2 32 log3 7 log7 9 log 6 log 3（ ） 18 18 ；
lg5 lg 20 (lg 2) 2
（3） ln e2 e ln 2 (e为自然对数的底数，e 2.71828).
sin( 3 ) cos(2 ) sin 3
f ( ) 2
19．（12分）已知 cos( ) sin( ) ．
（1）化简 f ( )；
sin
3 1

（2）若 为第四象限角且 2

5，求 f ( )的值；
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f (x) 2 cos 2x
20．（12分）已知函数 4 ， x R .
（1）求函数 f (x)的最小正周期和单调递减区间；
,
（2）求函数 f (x)在区间
8 2 上的最小值和最大值，并求出取得最值时 x的值.
2
21．（12分）已知关于 x的方程 2x ( 3 1)x m 0的两根为 sinθ和 cosθ， (0, 2 )，求：
sin
1 1 cos
（1） tan ＋ 1 tan 的值；
（2）m的值；
（3）方程的两根及θ的值.
f x ax b f 1 1
22．（12分）已知函数 4 x
2 2,2
是定义在 上的奇函数，且 3
1 f x （ ）求函数 的解析式；
f x 2,2
（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义法证明．
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参考答案
1．B
【分析】
根据集合中元素满足的条件求出 x的值，再利用列举法表示可得正确选项.
【详解】
6
N 因为 ，所以3 x 1, 2,3,6，可得 x 2,1,0, 3，
3 x
因为 x N ，所以 x 1, 2，集合 A 1,2 ，
故选：B.
2．B
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】
a a
解：由 a b 0，得 1，反之不成立，如 a 2，b 1，满足 1，但是不满足a b 0，
b b
a
故“ a b 0 ”是“ 1”的充分不必要条件．
b
故选：B
3．D
【分析】
利用存在量词命题的否定解答.
【详解】
因为存在量词命题的否定是全称量词的命题，
所以命题“ x R, x2 x 2 0”的否定是“ x R, x2 x 2 0”，
故选：D.
4．B
【分析】
利用给定条件结合函数的意义列不等式即可求解作答.
【详解】
x 2 0
因 f(x)的定义域是[0, )，则在 (x 2)0 f (x 1)中有： x 1x x 2 1
，解得 且 ，
0
答案第 1页，共 10页
所以函数 (x 2)0 f (x 1)的定义域是[1, 2) (2, ) .
答案：B
5．C
【分析】
根据函数的概念以及函数相等的判定两要素，即定义域和对应关系，即可求解.
【详解】
对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应法则不同；
对于第二、四组，定义域与对应法则都相同．
故选：C.
6．A
【分析】
由单调性的定义可得 f x 在 0, 上的单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间
上，由单调性可得大小关系．
【详解】
f xx , x 0, x x 1 f x2 因为对任意 1 2 1 2 ，有 0，x1 x2
所以 f x 在 0， 上是减函数，
因为1 2 3，所以 f 1 f 2 f 3 ，
因为 f x 是偶函数，所以 f 2 f 2 ，
即 f 1 f 2 f 3 ．
故选：C．
7．D
【分析】
1 1 2 1 1 1
由 a 2 a 2 a 2，即可求出 a a
2 a 2 的值．

【详解】
1
解：∵ a 4，
a
答案第 2页，共 10页
1 1
2

∴ a 2 a 2 a
1
2 4 2 2，
a
1 1
∴ a 2 a 2 2 .
故选：D．
8．C
【分析】
根据二分法求函数零点的步骤，结合已知条件进行分析，即可判断.
【详解】
第一次所取区间为 2,6 ，则第二次所取区间可能是 2,2 , 2,6 ；
第三次所取的区间可能是 2,0 , 0,2 , 2,4 , 4,6 .
故选：C .
9．A
【分析】
利用指数函数的单调性可得 0 a b 1，再根据指数函数和幂函数的单调性可得.
【详解】
1 1 b 1 a
1， 0 a b 1，4 4 4
因为 y a x单调性单调递减，所以 aa ab，
因为 y xa在 0,1 单调递增，所以 aa ba，
∴ ab aa ba．
故选：C.
10．C
【分析】
利用两角和的正弦公式可求得所求代数式的值.
【详解】
解：原式 cos 24 sin 54 sin 24 cos54 sin(54 24 ) sin 30
1
，
2
故选：C.
11．D
答案第 3页，共 10页
【分析】
根据给定条件求出 tan ， sin ，再利用同角公式变形计算作答.
【详解】
因 tan +sin =a(a 0) tan
a b a b
， tan -sin =b，则 ， sin ，
2 2
而a 0，则 sin 0，必有 tan 0，
tan sin 由 得： cos
sin a b
，
cos tan a b
所以 cos
a b
等于 .
a b
故选：D
12．C
【分析】
利用不等式的性质求出参加各项比赛的最少人数即可求出.
【详解】
设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为 a，b，c，且 a，b， c为正整数，
则由题意得 a b 1，b c 1，2c a 1，可得a b 2c b 1 c 1 a 1，
即c 3，所以b 4， a 5，故参加这三项比赛的人数至少为3 4 5 12．
故选：C.
13．{3,4,5}.
【分析】
根据 A B {4}求出 m，进而求出 A,B，最后求出并集.
【详解】
因为 A B {4}，所以 4 A，即m 4，则 A {3, 4},B {4,5}，于是 A B 3,4,5 .
故答案为： 3,4,5 .
14．①④
【分析】
根据幂函数的定义与性质判断．
【详解】
x 0时， xa 0，因此①正确；
当α＝0时，是直线 y＝1但去掉(0,1)这一点，故②错误；
答案第 4页，共 10页
当α>0时，幂函数 y＝xα仅在第一象限是递增的，如 y＝x2，故③错误；
当α＜0时，幂函数 y＝xα在第一象限内是减函数，④正确．
故答案为：①④．

15． y 2sin 2x
4
16．0
【分析】
根据题意得到函数周期为 6，通过周期化简式子得到原式等于
335 sin 2 3 4 5 6 sin sin sin sin sin

＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6
3 3 3 3 3 3
＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)，进一步化简得到原式等于＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)
＋f(5)，代入函数解析式求解即可.
【详解】
2
∵f(x)＝sin x的周期 T＝ ＝6.
3 3
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)
＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2014)＋f(2015)
335 sin sin 2 sin 3 sin
4
sin 5 sin 6 ＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6
3 3 3 3 3 3
＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)
＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)
sin sin 2 sin sin 4 sin 5 0
3 3 3 3
故答案为：0.
17．
（1） 2 m 2或m 5
（2） m m 2或 2 m 3
【分析】
（1）讨论 B 或B ，根据 A B 列不等式组即可求解.
（2）由题意得出 A B，再由集合的包含关系列不等式组即可求解.
（1）
∵ A B ，∴当B 时，m－1≥m2，解得：m∈ .
答案第 5页，共 10页
当B 时，m－1≥4或 m2≤2，∴ 2 m 2或m 5 .
（2）
∵x∈A是 x∈B的充分条件，∴A B，
m 1 2
∴ m2 4 ，解得：m≤－2或 2≤m≤3.
所以实数 m的取值集合为 m m 2或 2 m 3
18．
（1 5） 4a 12 ；
（2）8；
1
（3） .
4
【分析】
(1)根据指数幂的运算性质运算即可；
(2)(3)根据对数的运算性质运算即可﹒
（1）
2 3 a2 b 6 a 3 b 34 a3 6 b5
2 1 1 1 2a 3 b 2 6a 2 b 3 3 5 3a 4 b 6
5
4a 12 b0
5
4a 12 ；
（2）
4log2 3 log3 7 log7 9 log18 6 log18 3
lg 7 lg32
2log
2
2 3 log 6 3 9 2 1 8；
lg 3 lg 7 18
（3）
lg5 lg 20 (lg 2) 2 lg5 lg5 lg 4 lg 2 2 lg5 lg 2 2 1
2 ln 2 ．ln e e 2 2 4 4
19．
（1） cos
1
（2）
5
【分析】
答案第 6页，共 10页
（1）根据诱导公式化角,并约分可得 f cos .
1
（2）由诱导公式可得 cos ，代入数值可得 f 的值.
5
（1）
sin 3 cos 2 sin 3

f 2


cos sin
sin cos cos
cos
cos . sin
（2）
因为 sin
3
cos cos 1 ，所以 ，
2 5
所以 f cos 1 .
5
k ,k 5 20．（1）最小正周期为 ，单调减区间是 ， k Z ；（2） f (x) 2， 8 8 max

此时 x ， f (x)
8 min
1，此时 x .
2
【分析】
（1）直接利用周期公式计算周期，再利用整体代入法求余弦型函数的单调减区间即可；
（2）先求出 2x

的取值范围，再利用余弦函数的性质求最值及取最值的条件即可.
4
【详解】
2 2
解：（1） f (x)的最小正周期T | | 2 .
令 2k 2x

2k 5 ，解得 k x k ， k Z ，此时时， f (x)单调递减，
4 8 8
f (x) 5 的单调递减区间是 k ,k ， k Z ； 8 8
3
（2） x , ，则 2x , ， 8 2 4 2 4

故cos 2x
2
,1 ， f (x) 2 cos

2x

1, 2 ，
4 2 4

f (x) 2

max ，此时 cos 2x 1，即 2x 0，即 x ； 4 4 8
f (x) 1 cos 2x 2
3
min ，此时 ，即 2x x

，即 .
4 2 4 4 2
【点睛】
答案第 7页，共 10页
方法点睛：
解决三角函数 y Acos x 的图象性质，通常利用余弦函数的图象性质，采用整体代入
法进行求解，或者带入验证.
21．
1 3 1（ ） ；
2
（2 3） ；
2
3 1
（3）方程的两根是 , ，θ的值为 或 .
2 2 3 6
【分析】
(1)利用韦达定理建立关系，再利用同角公式化简变形即可得解.
(2)利用(1)的结论，再借助平方关系即可计算作答.
(3)利用(2)的结论解出方程，再利用特殊角的三角函数值即可得解.
（1）

sin
3 1
cos
因 sinθ和 cosθ是关于 x的方程 2x2 ( 3 1)x m 0 2的两根，则 ，

sin cos
m

2
sin cos sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 3 1
1 sin cos 所以 1 tan sin cos cos sin sin cos 2 .1
tan
（2）
由(1)知， sin cos 3 1 3 3 ，两边平方得：1+2sin cos 1，解得 sin cos ，
2 2 4
m 3 3
由(1)得 ，解得m ，此时，方程的判别式 0，
2 4 2
m 3所以 的值是 .
2
（3）
(2) 3 3 1 3 1由 知，原方程为 2x2 ( 3 1)x 0，即 (x )(x ) 0，解得 x
2 2 2 1
, x ，
2 2 2

sin 3

sin
1

2
于是有 2 或 ，而 (0,2 )，则 或 ，
1 3 3 6

cos cos 2 2
答案第 8页，共 10页
3
所以原方程的两根是 , 1，θ的值为 或 .
2 2 3 6
22．
x
（1） f x
4 x2
（2） f x 在区间 2,2 上是增函数，证明见解析.
【分析】
（1）由已知得 f x f x ，可求得 b=0，再由已知的函数值，可求得 a，得函数的解析
式；
x x 4 x x
（2）任取 x1， x2 2,2 x
1 2 1 2
，且 1 x2，作差 f x1 f x2 4 x 2 4 x 2 ，判断符号，1 2
可判断函数的单调性并得证明.
（1）
∵ f x 是奇函数，
∴ f x f x ax b ax b,即 ，
4 x2 4 x2
∴b 0．
∴ f x ax 2 ，又 f 1
1
，
4 x 3
a 1
∴ ，
4 1 3
∴a 1，
∴ f x x ．
4 x2
（2）
f x 在区间 2,2 上是增函数．证明如下:
任取 x1， x2 2,2 ，且 x1 x2，
x1 x2 x1 x2 4 x x f x1 f x2 2
1 2
4 x1 4 x
2 4 x 22 1 4 x 22 ,
∵ 2 x1 x2 2，∴ 4 x1x2 4，
∴4 x1x2 0，又 x1 x2 0 2 2， 4 x1 0， 4 x2 0，
答案第 9页，共 10页
∴ f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，
∴ f x 在区间 2,2 上是增函数．
答案第 10页，共 10页