乐山市高中 2023 届期末教学质量检测
文科数学参考答案及评分意见
2022.1
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.
1. B 2.D 3.C 4.C 5.D
6. A 7. A 8.C 9.C 10.D
11. A 12.B
详解：
y 1
1. 【解析】由题可知直线方程为 2，即2x y 3 0，故选B.
x 2
2. 【解析】显然a,c 的位置关系是相交或异面，故选D.
2 2
3. 【解析】由题可知，圆的标准方程为 (x 1) (y 2) 9，所以圆心为 (1, 2) ，半径为3，故选C.
4. 【解析】因为BD B1D1，则 CD1B1 为所求，又△CD1B1是正三角形， CD B 60 ，故选C.1 1
x2 y2 x2 y2
5. 【解析】 k 化为标准方程为 1，则两曲线实轴长、虚轴长、焦距均不相等，而渐
25 9 25k 9k
3
近线方程同为 y x，故选D.
5
2
6. 【解析】直观图是底为 2 、高为 的平行四边形，所以面积为 2 ，故选 A.
2
7. 【解析】如图，设另一个焦点为 F ，连接 PF ，则△OFQ 的周长为
1
OF OQ QF OF (PF PF ) c a 5，故选 A.
2 C B1 1
8. 【解析】令双曲线右焦点为F ，由对称性可知， | QF | | PF |，
M A1
则 | PF | | QF | | PF | | PF | 2a ，为常数，故选C.
9. 【解析】如图，取 A1C1的中点M ，连接 AM ,易证B1M 平面 AA1C1C ，则 B1AM C B
B M 3 6
为 AB 与平面 所成的角．在直角△AB M 中， 1 故选C A1 AA1C1C 1 sin B1AM .
AB1 2 6 4
10. 【解析】设圆锥的半径为 r ，母线长 l ，因为侧面展开图是一个半圆，则 l 2 r ，即 l 2r ，又圆
2
锥的表面积为12 ，则 r rl 12 ，解得 r 2， l 4，则圆锥的高 h l 2 r2 2 3 ，所以圆
1 8 3
锥的体积V r 2h ，故选D.
3 3
11. 【解析】将三棱锥补形成正方体如图所示，正方体的边长为2 ，则体对角线长为
2 3，外接球的半径为R 3 ，所以外接球的表面积为4 R2 12 ，故选 A.
12. 【解析】如图，设抛物线的准线为 l ，过 A作 AM l 于M ，过B 作BN l 于
N ，过B 作 BK AM 于K ，设 BF m ，则 AF 3m，AB 4m，|AK | 2m，
3
∴ BAM 60 ，∴ |CF| p m 3，∴m 2 ，∴ |BK| 2 3m 4 3 ，
2
1
∴△ABC 的面积为 S S△ACF S△BCF |CF| |BK| 6 3 ，故选B.
2
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13. y 1； 14.2 ；
5
15. x2 2y2 1； 16.1 e .
3
详解：
1 2
13.【解析】抛物线 y x 可化为 x2 4y ，则其准线为 y 1.
4
1 1 2 4
14.【解析】设正方体边长为 a，则 a a ，解得a 2 .
3 2 3
x x0 2
x0 x 2 y
15.【解析】设P(x , y )，M (x, y) ，则Q(x0 ,0)，则 1 ，即 ，因为 x
0
0 0 0
1，
y y y0 2y 20
2
x2 2y2 1 M x2 2y2代入可得 ，即 的轨迹方程为 1.
16.【解析】过点O作OM PF1于M ，过点F 作 F2N PF N1于 ，因为 PF F F ，所以2 2 1 2 PN F1N ，
1
又因为 OF F ，所以 ，故 F ，又因为 ， 2 1O MN F1M 1M F1P PF1 PF2 2a
4
2
a c 2 a c
且 PF F F 2c，所以 PF 2a 2c ，因此 F2 1 2 1 1M ，所以 OM c
2 ，
2 2
2
PF x2 y2 a2
2 a c
又因为直线 与圆 有公共点，所以 OM a2 2 21 ，故c a ，
2
2 5
即3c 2ac 5a
2 0，则3e
2 2e 5 0，所以 1 e ，
3
5
又因为双曲线的离心率e 1，所以1 e .
3
三、解答题：本大题共 6小题，共 70分.
17.（本小题满分 10分）
【证明】：（1）连接 AC ， E, F 分别是 AB, BC 的中点，∴EF AC . ……………………1分
CG AH
在△ADC 中， ，∴GH AC ，∴EF GH . ……………………3分
GD HD
A
所以 E, F ,G, H 四点共面. ……………………5分
（2） EH FG P ，所以P EH ， E H
又 EH 平面 ABD， P 平面 ABD， D G ……………………7分
B
同理 P 平面BCD， ……………………8分
F
C
P为平面 ABD与平面BCD的一个公共点.
又平面 ABD∩平面BCD BD . P BD，即P, B, D 三点共线. ……………………10分
18.（本小题满分 12分）
【解析】（1）设M (x1, y1)，由定义可知 MF x1 1， ……………………2分
过M 作 x 轴的垂线，垂足为H ， FH x1 1， ……………………3分
FH x 1 1
又 xFM 60 ，则 1 ，解得 x1 3 ……………………5分
FM x1 1 2
所以 FM x1 1 4 ……………………6分
（2）设M (x1, y1)， N (x2 , y2 )
2
因为M , N 在椭圆上，则 y1 4x
2
1， y2 4x2 ， ……………………8分
y y 4
两式相减得： 1 2 ……………………9分
x1 x2 y1 y2
y y 4
又因为P(2,1)为MN 的中点，则 k 1 2 2，即 l 斜率为2 ……………………10分
x1 x2 2
此时，直线 l 的方程为 y 1 2(x 2)，即2x y 3 0 ……………………12分
19.（本小题满分 12分）
【解析】（1）取PA的中点G ，因为E 为 PD的中点，
1
所以GE AD且GE AD ……………………1分
2
又因为F 为BC 的中点，四边形 ABCD为菱形，
1
所以 BF AD且 BF AD ……………………3分
2
所以 BF GE 且 BF GE ，
故四边形BFEG 为平行四边形，所以BG EF ……………………5分
因为BG 面 PAB，EF 面 PAB，所以EF 面 PAB ……………………6分
（2）因为底面 ABCD是边长为 2的菱形， AC 2，则△ACD 为正三角形，
3 2
所以 S△ACD 2 3 ……………………8分
4
因为PA 面 ABC ，所以PA为三棱锥P ACD 的高
1 1 1 3
所以三棱锥的体积VA CDE VE ACD VP ACD 3 2 ……………………12分
2 2 3 3
20.（本小题满分 12分）
x y 1 0
【解析】（1）当a 1时，联立 得：P(1,0)，Q(3, 2)，
x2 2y
2 1
则 PQ (1 3)
2 (0 2)2 2 2 ……………………4分
（2）假设存在，设P(x1, y1)，Q(x2 , y2 )，
ax y 1 0
2 2
联立 得： (2a 1)x 4ax 3 0
x2 2y2 1
4a
x1 x2 2a2 1
由韦达定理可知， ① ……………………8分
3x1x 2
2a
2 1
因为以PQ为直径的圆经过坐标原点，则OP OQ，即 x1x2 y1y2 0② ……………………10分
2
①代入②可得，a 2 0 ，方程在实数范围内无解，故不存在. ……………………12分
21.（本小题满分 12分）
【解析】（1） △ BDM 为等边三角形， BD BM ，
则CD CM ，即M 为CC1中点， ……………………2分
在△A BM 中， A1B 5 ， A1M 31 ， BM 2，
A M 2则 1 BM
2 A B21 ，即 A1M BM ， ……………………4分
同理可得 A1M DM ， ……………………5分
又 BM DM M ， A1M 面 BDM ……………………6分
A1M S
（2） VM A BD V
△BDM
1 A1 BDM ， M 到面 A BD 的距离d ……………………8分 1 S△A1BD
1 3 2 3
又 A1B A1D 5 ，BD 2 ，则 S△ABD 2 ……………………10分 1 2 2 2
A M S
d 1 △BDM 1 ……………………12分
S△A1BD
22.（本小题满分 12分）
【解析】（1）法一：设直线 AM ， AN 的方程分别为 y 1， x 2，则M (2, 1)， N ( 2,1) ，
直线MN 的方程为 x 2y 0 ， ……………………2分
再设 AN 的方程为 x 2y 0，则直线 AM 的方程为2x y 5 0，
x2 y2 22 1
分别联立椭圆方程 1，解得 N ( 2, 1)，M ( , )，
6 3 9 9
则直线M N 的方程为 x 4y 2 0， ……………………4分
x 2y 0 2 1
联立 ，解得R( , ) ……………………6分
x 4y 2 0 3 3
法二：设点M x1, y1 , N x2 , y2 ，
若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为： y kx m ，
代入椭圆方程消去 y 并整理得： 1 2k2 x2 4kmx 2m2 6 0，
4km 2m2 6
可得 x1 x2 ， x1x2 ， ……………………2分
1 2k 2 1 2k
2
因为 AM AN ，所以 AM·AN 0，即 x1 2 x2 2 y1 1 y2 1 0，
根据 y1 kx1 m, y2 kx2 m ,代入整理可得：
2
k 2 1 x1x2 km k 2 x1 x2 m 1 4 0 ，
2 2m
2 6 4km
2
所以 k 1 km k 2 m 1 4 0，
1 2k 2 1 2k 2
整理化简得 2k 3m 1 2k m 1 0 ，
因为 A(2,1)不在直线MN 上，所以2k m 1 0，
故 2k 3m 1 0(k 1)， ……………………4分
2 1
于是MN 的方程为 y k x k 1 ，
3 3
2 1
所以直线过定点直线过定点 P , . ……………………5分
3 3
当直线MN 的斜率不存在时，可得 N x1, y1 ，
由 AM·AN 0得： x1 2 x1 2 y1 1 y1 1 0，
2
2 2 x y
2
得 x1 2 1 y1 0 ，结合
1 1 1可得：3x 21 8x1 4 0，
6 3
2
解得： x1 或 x2 2（舍）.
3
2 1
此时直线MN 过点P , . ……………………6分
3 3
2 2 1 2 4 2
（2）由（1）可知 | AR | (2 ) (1 ) ……………………8分
3 3 3
1 2 2
因为 AD MN ，取 AR 中点Q，则 DQ AR ……………………10分
2 3
4 1
此时，Q( , ) ……………………12分
3 3机密★启用前〔考试时
年月15日上午
乐山市高中2023届期未教学质量检测
文科数学
(木试卷共4页,满
试时
0分钟
本试越卷分第
选择题)和第二部分
择题)两部分.第
第二部
作
将答案答在答题卡上,在试题卷、草稿纸上答题无效满分
,考试
120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回
第一部分(选择题共60分
事项
铅笔将答業标号填涂在答蘧卡对应题月标号的位置
第
共
每
选择题:本题
题,每小题
分。在每小题给出的四个选项中,只有
符合题目要求的
直线方程为
知直线
C.平行或异面
相交或异面
的圆心坐标与半径分别是
日图,在正方体AB
面育
C与BD所成的角
A.实轴长相等
渐进线相同
斜
出边
的正方形
观图.则直观图的而积
文科数学第
是椭圆
意点,F是潲圆的左焦点Q是线段
则△O上Q的周长
知点F是双曲
的左焦
曲线石支上一动
点作y轴
垂线并延长交双
Q,当P
移动时,|P
QF的值
法斫
育三棱柱ABC-A
平面
正弦值为
知圆锥的表面积为
侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为
图,在三棱锥
棱锥S-A
求的表面积
抛物线
焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,AF
抛物线的准线
轴交于点C,则
文科数学第
第二部分(非选挥
意事项
考
米黑
笔在答題卡上题日所扑
答業
答,作图可
确认后
米黑色迹签等笔指
题卷上无效
填空题:本题共4小题,每小题
共20分
抛物线x
的准线方程是
将
方体沿相
的对角线截出
棱锥,若该棱伴的体
积为
止方体的过长为
随岡
P作x轴的垂线,垂足为
线段PQ
的轨迹方
分别为双曲线
左
为双曲线石支
满足
则双曲线的
取值范
、解答题:本大题共6小题,共7分.解答应写出文字说明、证
(本小题满分10分
D中
别是A
分
是
四点共面
与FG交于点P,求证
本小题满分]2分)
抛物线于M,N两点
若P
平分线段MN,求直
方
文科数学第
本小题满
在四桉锥
是边民为
菱形
求三棱锥
本小题满分12分
加直线
双曲
]相交于P,Q两
存在实数a,使
为直径的圆经
存在,求
值;若不存
在,说叨理由
(本小题满分12分
图,在正四棱柱ABCD-A1B1C
满
为等边三角
M⊥平而
平面A1BD的原离
本小題满分12分)
知椭圆
求出直线M
点
要证明
过A点作MN的
否
使得DQ为定值 若存在,求
DQ的值
存在
文科数学第
