广东省湛江、深圳两校2022届高三上学期1月联考数学试题（Word版含答案解析）
文档属性
| 名称 | 广东省湛江、深圳两校2022届高三上学期1月联考数学试题（Word版含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 848.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-17 19:47:07 | ||
图片预览
文档简介
湛江、深圳两校2022届高三上学期1月联考
数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本卷命题范国：高考范围。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，若复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．圆柱容器内部盛有高度为的水，若放入一个圆锥（圆锥的底面与圆柱的底面正好重合）后，水恰好淹没圆锥的顶部，则圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．是周期函数 B．的图象关于对称
C．是奇函数 D．在处取得最大值
5．已知奇函数在上单调递增，且，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是椭圆上的一点，，是C的两个焦点，若为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知角满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．a，b大小关系无法确定
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C．当时， D．
10．下列说法正确的有（ ）
A．已知一组数据的方差为3，则的方差也为3
B．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4
C．已知随机变量X服从正态分布，若，则
D．已知随机变量X服从二项分布，若，则
11．已知函数，是的导函数，则下列命题正确的是（ ）
A．在区间上是增函数 B．当时，函数的最小值为
C． D．有2个零点
12．在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点，点P是线段AB上的任意一点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若存在点P，使得以点P为圆心，以1为半径的圆与圆M无公共点，则
C．若恒成立，则
D．若圆M在A，B两点处的切线互相垂直，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，，则向量与的夹角_________．
14．在的展开式中，x的系数是_________（用数字作答）．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线与双曲线（，）有公共焦点F，抛物线M与双曲线C交于A，B两点，A，B，F三点共线，则双曲线C的离心率为_________．
16．在四面体中，，，，二面角的大小为，则此四面体的外接球的表面积是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．
（1）求B；
（2）若，，求的面积．
19．（本小题满分12分）
唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取3件作检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为n．如果，再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果，再从这批唐三彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批店三彩都不能通过检验．假设这批唐三彩的优质品率为，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为，且各件唐三彩是否为优质品相互独立．
（1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；
（2）已知每件唐三彩的检验费用为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为X元，求X的分布列及数学期望．
20．（本小题满分12分）
如图，在几何体中，底面为直角梯形，，，平面，，．
（1）证明：平面平面；
（2）E为的中点，F为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且满足，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在定点Q，使得，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数（e为自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有且仅有两个零点，求实数m的取值范围．
湛江、深圳两校2022届高三上学期1月联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．D ，．
2．A ．
3．C 设圆柱的底面半径为r，圆锥的高为A，有，解得．
4．B 因为，所以的图象关于直线对称．
5．C 易知函数为偶函数，且在上单调递增，则当时，的解集为，所以的解集为．
6．A 解法一：联立和得，因为为纯角，故M在圆内．
解法二：由和可得．选A．
7．D 由，且，可知①或②，由①解得，由②有知不可能，得，，．
8．C 易知，设，
则，设，
则，所以单调递减，
所以，即，单调递减，
因为，所以．
9．BC 等差数列的前n项和为，若，
可得，，可得B正确；
∴∴故数列为递减数列，故A错误；
因为，∵，
因为数列是递减数列，当时，，
故当时，，C是正确的；
，故D错误；
故选：BC．
10．AC 对于A：由，得选项A正确；
对于B：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得，故选项B错误；
对于C：因为随机变量X服从正态分布，所以对称轴为，又，而，所以，则，故选项C正确；
对于D：因为X服从二项分布，所以，
所以，则，故选项D错误．
故选：AC．
11．ABD 当时，，，∴在区间上是增函数，A选项正确；
当时，，当且仅当时取到最小值，B选项正确；
当时，，C选项错误；
当时，，令，则，由于，，∴在上先减后增，且，∴在内只有一个零点，当时，，令，则，令的根为，，极小值，极大值，当时，，
∴在内只有一个零点，综上可知，有2个零点，D选项正确．故选ABD．
12．BC 对于A，两圆的圆心距，则，解得，即A错误；
对于B，若P为线段AB中点时，若以点P为圆心，1为半径的圆与圆M无公共点，这样的点P必存在，圆O，圆M的方程作差，可得直线AB的方程为，此时，圆M与圆P必定内含，，有，解得，即B正确；
对于C，易知O，M在直线AB的同侧，且当M在AB直线上时，，所以，即C正确；
对于D，易知，则M到AB的距离，，则或，即D错误．
13． ∵，∴，则，故．
14．240 由，可知x的系数为：．
15． 由题意可知，，因为，所以，所以，
所以，即，解得．
16． 由条件可知是等边三角形，
取AC，AD的中点M，N，和的中心E，
过点E，N分别作平面和平面的垂线，交于点O，
，，如图：
由条件可知，，，，
∴，，
∴，∴，
，．
17．解：（1）设数列的公差为．
因为，所以， 2分
解得， 4分
所以． 5分
（2）． 8分
所以
． 10分
18．解：（1）因为，
所以，所以， 2分
所以或． 4分
因为B为的内角，且，所以或． 5分
（2）由（1）得，或，
（i）当时，得， 6分
因为，，所以，即． 7分
因为无解，所以． 8分
（ii）当时，因为，
所以， 10分
所以，所以的面积为． 12分
19．解：（1）设第一次取出的3件唐三彩中恰有2件优质品为事件，第一次取出的3件唐三彩全是优质品为事件，第二次取出的3件唐三彩都是优质品为事件，第二次取出的1件唐三彩是优质品为事件，这批唐三彩通过检验为事件A，
依题意有， 1分
所以． 5分
（2）X可能的取值为300，400，600， 6分
，
，． 9分
所以X的分布列为
X 300 400 600
P
10分
． 12分
20．（1）证明：∵，，，∴， 1分
∵，∴， 2分
∵，∴，∴，
∴． 3分
∵平面，平面，∴， 4分
∵，，PA，平面，，∴平面 5分
∵平面，平面 ∴平面平面； 6分
（2）解：由AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系．
，，，，，， 8分
设平面的法向量为，
由，，
有取，，，可得平面的一个法向量为． 9分
设平面的法向量为，
由，，
有取，，，可得平面的一个法向量为． 10分
设平面与平面所成锐二面角为，
由，，，有，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 12分
21．解：（1）在中，，， 1分
所以，由余弦定理得， 3分
解得，， 4分
所以椭圆方程为； 5分
（2）解法1：假设存在点满足条件，设直线l的方程为，
设，，联立得
，， 7分
，
又因为，所以，即：， 9分
即：，将，代入化简得．
即：． 11分
计算得，所以存在点使得． 12分
解法2：假设存在点满足条件，设直线l的方程为，其中
设点M的坐标为，点N的坐标为
联立方程，消去y后整理为
有， 7分
∵ ∴
∴ 9分
∴
11分
∵ ∴
∴在x轴上存在点使得 12分
22．解：（1）当时，， 1分
∴在上单调递增，且， 2分
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 4分
（2），
∴在上单调递增， 5分
当时，，当时，，
∴存在，使得，即，即 7分
易知在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
故函数有且仅有两个零点，
（*）， 9分
令，函数，则，
即函数在上单调递减，且，
∴（*）， 11分
∵函数在上单调递增，
∴，即实数m的取值范围是． 12分
数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本卷命题范国：高考范围。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，若复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．圆柱容器内部盛有高度为的水，若放入一个圆锥（圆锥的底面与圆柱的底面正好重合）后，水恰好淹没圆锥的顶部，则圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．是周期函数 B．的图象关于对称
C．是奇函数 D．在处取得最大值
5．已知奇函数在上单调递增，且，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是椭圆上的一点，，是C的两个焦点，若为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知角满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．a，b大小关系无法确定
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C．当时， D．
10．下列说法正确的有（ ）
A．已知一组数据的方差为3，则的方差也为3
B．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4
C．已知随机变量X服从正态分布，若，则
D．已知随机变量X服从二项分布，若，则
11．已知函数，是的导函数，则下列命题正确的是（ ）
A．在区间上是增函数 B．当时，函数的最小值为
C． D．有2个零点
12．在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点，点P是线段AB上的任意一点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若存在点P，使得以点P为圆心，以1为半径的圆与圆M无公共点，则
C．若恒成立，则
D．若圆M在A，B两点处的切线互相垂直，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，，则向量与的夹角_________．
14．在的展开式中，x的系数是_________（用数字作答）．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线与双曲线（，）有公共焦点F，抛物线M与双曲线C交于A，B两点，A，B，F三点共线，则双曲线C的离心率为_________．
16．在四面体中，，，，二面角的大小为，则此四面体的外接球的表面积是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．
（1）求B；
（2）若，，求的面积．
19．（本小题满分12分）
唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取3件作检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为n．如果，再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果，再从这批唐三彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批店三彩都不能通过检验．假设这批唐三彩的优质品率为，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为，且各件唐三彩是否为优质品相互独立．
（1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；
（2）已知每件唐三彩的检验费用为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为X元，求X的分布列及数学期望．
20．（本小题满分12分）
如图，在几何体中，底面为直角梯形，，，平面，，．
（1）证明：平面平面；
（2）E为的中点，F为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且满足，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在定点Q，使得，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数（e为自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有且仅有两个零点，求实数m的取值范围．
湛江、深圳两校2022届高三上学期1月联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．D ，．
2．A ．
3．C 设圆柱的底面半径为r，圆锥的高为A，有，解得．
4．B 因为，所以的图象关于直线对称．
5．C 易知函数为偶函数，且在上单调递增，则当时，的解集为，所以的解集为．
6．A 解法一：联立和得，因为为纯角，故M在圆内．
解法二：由和可得．选A．
7．D 由，且，可知①或②，由①解得，由②有知不可能，得，，．
8．C 易知，设，
则，设，
则，所以单调递减，
所以，即，单调递减，
因为，所以．
9．BC 等差数列的前n项和为，若，
可得，，可得B正确；
∴∴故数列为递减数列，故A错误；
因为，∵，
因为数列是递减数列，当时，，
故当时，，C是正确的；
，故D错误；
故选：BC．
10．AC 对于A：由，得选项A正确；
对于B：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得，故选项B错误；
对于C：因为随机变量X服从正态分布，所以对称轴为，又，而，所以，则，故选项C正确；
对于D：因为X服从二项分布，所以，
所以，则，故选项D错误．
故选：AC．
11．ABD 当时，，，∴在区间上是增函数，A选项正确；
当时，，当且仅当时取到最小值，B选项正确；
当时，，C选项错误；
当时，，令，则，由于，，∴在上先减后增，且，∴在内只有一个零点，当时，，令，则，令的根为，，极小值，极大值，当时，，
∴在内只有一个零点，综上可知，有2个零点，D选项正确．故选ABD．
12．BC 对于A，两圆的圆心距，则，解得，即A错误；
对于B，若P为线段AB中点时，若以点P为圆心，1为半径的圆与圆M无公共点，这样的点P必存在，圆O，圆M的方程作差，可得直线AB的方程为，此时，圆M与圆P必定内含，，有，解得，即B正确；
对于C，易知O，M在直线AB的同侧，且当M在AB直线上时，，所以，即C正确；
对于D，易知，则M到AB的距离，，则或，即D错误．
13． ∵，∴，则，故．
14．240 由，可知x的系数为：．
15． 由题意可知，，因为，所以，所以，
所以，即，解得．
16． 由条件可知是等边三角形，
取AC，AD的中点M，N，和的中心E，
过点E，N分别作平面和平面的垂线，交于点O，
，，如图：
由条件可知，，，，
∴，，
∴，∴，
，．
17．解：（1）设数列的公差为．
因为，所以， 2分
解得， 4分
所以． 5分
（2）． 8分
所以
． 10分
18．解：（1）因为，
所以，所以， 2分
所以或． 4分
因为B为的内角，且，所以或． 5分
（2）由（1）得，或，
（i）当时，得， 6分
因为，，所以，即． 7分
因为无解，所以． 8分
（ii）当时，因为，
所以， 10分
所以，所以的面积为． 12分
19．解：（1）设第一次取出的3件唐三彩中恰有2件优质品为事件，第一次取出的3件唐三彩全是优质品为事件，第二次取出的3件唐三彩都是优质品为事件，第二次取出的1件唐三彩是优质品为事件，这批唐三彩通过检验为事件A，
依题意有， 1分
所以． 5分
（2）X可能的取值为300，400，600， 6分
，
，． 9分
所以X的分布列为
X 300 400 600
P
10分
． 12分
20．（1）证明：∵，，，∴， 1分
∵，∴， 2分
∵，∴，∴，
∴． 3分
∵平面，平面，∴， 4分
∵，，PA，平面，，∴平面 5分
∵平面，平面 ∴平面平面； 6分
（2）解：由AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系．
，，，，，， 8分
设平面的法向量为，
由，，
有取，，，可得平面的一个法向量为． 9分
设平面的法向量为，
由，，
有取，，，可得平面的一个法向量为． 10分
设平面与平面所成锐二面角为，
由，，，有，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 12分
21．解：（1）在中，，， 1分
所以，由余弦定理得， 3分
解得，， 4分
所以椭圆方程为； 5分
（2）解法1：假设存在点满足条件，设直线l的方程为，
设，，联立得
，， 7分
，
又因为，所以，即：， 9分
即：，将，代入化简得．
即：． 11分
计算得，所以存在点使得． 12分
解法2：假设存在点满足条件，设直线l的方程为，其中
设点M的坐标为，点N的坐标为
联立方程，消去y后整理为
有， 7分
∵ ∴
∴ 9分
∴
11分
∵ ∴
∴在x轴上存在点使得 12分
22．解：（1）当时，， 1分
∴在上单调递增，且， 2分
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 4分
（2），
∴在上单调递增， 5分
当时，，当时，，
∴存在，使得，即，即 7分
易知在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
故函数有且仅有两个零点，
（*）， 9分
令，函数，则，
即函数在上单调递减，且，
∴（*）， 11分
∵函数在上单调递增，
∴，即实数m的取值范围是． 12分
同课章节目录