河北省深州市长江中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题（Word版含答案解析）

长江中学2021-2022学年高二上学期期末考试
数学卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．3
2．已知圆C的圆心在直线上，且圆C与y轴的交点分别为，，则圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知双曲线C：的右焦点为，一条渐近线被圆截的弦长为2b，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
4．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，．则的面积为（ ）
A．6 B． C．8 D．
5．已知1，，，9四个实数成等差数列，1，，，，9五个数成等比数列，则等于（ ）
A．8 B．﹣8 C． D．
6．设数列的前n项和是，令，称为数列，，…，的“理想数”，已知数列，，…，的“理想数”为2012，则数列6，，，…，的理想数为（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
7．已知P是抛物线上一点，F为焦点，一个定点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知函数，若存在实数m使得不等式成立，求实数n的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每小题5分，部分选对得2分，多选得0分，共20分）
9．已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为
10．已知圆C过点，，直线m：平分圆C的面积，过点且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则（ ）
A．圆心的坐标为 B．圆C的方程为
C．k的取值范围为 D．当时，弦MN的长为
11．已知函数，，下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有两个极值点 B．当时，函数在上有最小值
C．当时，函数有三个零点 D．当时，函数在上单调递增
12．已知数列不是常数列，其前n项和为，则下列选项正确的是（ ）
A．若数列为等差数列，恒成立，则为递增数列
B．若数列为等差数列，，，则的最大值在或7时取得
C．若数列为等比数列，则恒成立
D．若数列为等比数列，则也为等比数列．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共40分）
13．已知，B是圆C：上一动点，线段AB的垂直平分线交BC于P，则动点P的轨迹方程为______．
14．函数在处的切线方程为______．
15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点，且线段的中点在C的渐近线上，当点P在C的右支上运动时，的最小值为6，则双曲线C的实轴长为______．
16．已知数列中，，，且满足，则数列前10项和等于______．
四、解答题
17．（10分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率，且______．在①过点；②过焦点且垂直于长轴的弦的长度为；③长轴长为6这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点F的直线l交椭圈于P、Q两点．当直线l的倾斜角为时，求的面积．
18．（12分）设函数．
（1）若在点处的切线为，求a，b的值；
（2）求的单调区间．
19．（12分）设是数列的前n项和，，，当时，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
20．（12分）设各项均为正数的数列的前n项和为满足
（1）证明数列为等差数列，并求其通项公式；（2）求数列的前n项和
21．（12分）已知函数．
（1）若，求的单调递增区间；
（2）已知在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
22．（12分）已知动点P到点的距离与到直线的距离相等，动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知，不垂直于坐标轴的直线l与曲线E相交于A，B两点，O是坐标原点，若OM平分，问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由
参考答案
1．解：由题意可得两圆相外切，标准方程分别为
圆心分别为，半径分别为2和1
故有，

当且仅当，即时，等号成立. 故选：C
2.解：由题意设圆心坐标为，
再由圆与轴的交点分别为，可得，解得，
则圆心坐标为，半径．
该圆的标准方程是．故选：B．
3．双曲线的渐近线方程为，即，
则点到渐近线的距离为，
因为弦长为，圆半径为，所以，即，
因为，所以，则双曲线的离心率为.故选：A.
4．解：由椭圆的方程可得，
所以，得
且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，又因为，，所以，
所以， 故选：B
5．设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则有，，解之可得，，
. 故选：A.
6．解：∵， ∴，
又数列6，a1，a2，…，a502的“理想数”为：
故选：
7．由抛物线，化为，得到，焦点，准线，
过点P作，垂足为M，则．
，又，
当A，P，M共线时，取最小值7， 故选：C．
8．解：由，求导，，
当时，，则，当时，，则，
，则，
令，则，函数，即单调递增，
令，解得：，
当时，解得：，单调递增；当时，解得：，单调递减，
当时，取得极小值，极小值为，的最小值为1，
若存在实数m使得不等式，则，
则，解得：或，
即实数n的取值范围是， 故选：A．
9．∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确. 故选：BD
10．设圆的标准方程为，
因为圆C被直线平分，
所以圆心在直线m上，可得，
由题目条件已知圆C过点，则
综上可解得， 所以圆心的坐标为，选项A正确；
圆C的方程为，选项B正确；
根据题目条件已知过点且斜率为k的直线l方程为，即，
又直线l与圆C有两个不同的交点M，N，所以点到直线l的距离小于半径r，
则利用点到直线的距离公式可得：，
解得k的取值范围为，所以选项C错误；
当时，可求得点到直线l的距离为，
所以根据勾股定理可得，
即弦MN的长为，所以弦MN的长为，选项D正确.
故选：ABD.
11．因为，则.
对于A选项，当时，，即方程有两个不等的实根，
此时，函数有两个极值点，A对；
对于B选项，当时，设的两个不等的实根分别为、，且，
由韦达定理可得，必有，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故函数在上有最小值，B对；
对于C选项，当时，，，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增.
所以，函数的极大值为，极小值为，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数只有两个零点，C错.
对于D选项，当且时，，故函数在上单调递增，D对. 故选：ABD.
12．在A中，若数列为等差数列，恒成立，则公差，故单调递增，故A正确；
在B中，若数列为等差数列，，，
则，解得，，
所以，，，
则的最大值在或7时取得，故B正确；
在C中，若数列为等比数列，则恒成立，故C正确；
在D中，若数列为等比数列， 所以，则不是常数，
故不是等比数列，故D错误． 故选：ABC．
13．如图所示，圆的圆心坐标为，半径，
因为是线段的垂直平分线上的点，所以，则，
根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以为焦点的椭圆，
其中，，则， 故P的轨迹方程为．故答案为
14．由得，则，，所以在处的切线方程为：，即. 故答案为：
15．因为，当三点共线时，取等号，此时，的中点坐标为，代入渐近线方程得，所以，故，则，因此双曲线的实轴长为2， 故答案为：2.
16．解：数列中，，，
，因为，，，
数列是以2为首项，公比为2的等比数列，，
所以时，
， 又也符合上式， 所以，
所以数列前10项和．故答案为：2036．
17．（1）设椭圆的标准方程为
若选①有，解得，所以椭圆的方程为；
若选②有，解得，所以椭圆的方程为；
若选③有，解得，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可知右焦点为，当直线的倾斜角为时，可得直线方程为.
可得坐标原点到直线的距离，
直线联立椭圆方程整理化简得：，
由弦长公式可得,
所以 提示：反设直线更简单
18．（1）的定义域为，，
因为在点处的切线为，
所以，所以；所以
把点代入得：.
即a，b的值为：，.
（2）由（1）知：.
①当时，在上恒成立，所以在单调递减；
②当时，令，解得：，列表得：
x
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以，时，的递减区间为，单增区间为.
综上所述：当时，在单调递减；
当时，的递减区间为，单增区间为.
19．（1）解：当时，，
当时，由可得，两式作差得，即，
但，故数列是从第二项开始成以为公比的等比数列，则.
综上所述，.
（2）解：，则，则，所以，，
因此，
.
20．（1），
，，
，，
所以数列为等差数列，；
（2）由（1）得，所以
，
，，
，.
21．（1）由题可知：，
当时，，由得：或，
故的单增区间为，.
（2）由（1）可知，
若在区间上单调递增，则对恒成立，
即对恒成立，
结合，从而，即对恒成立，于是.
22．（1）解：因为动点到的距离与直线的距离相等，
所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，
设的方程为，则故曲线的方程为；
（2）解：由题意设直线的方程为，
联立消整理得，
，
设，，则，，
因为平分，所以，
故，
所以，
而
由题知，所以，
所以直线的方程为，
当时，，故直线恒过定点.