山西省怀仁市2022届高三上学期期末考试数学（理）试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 山西省怀仁市2022届高三上学期期末考试数学（理）试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 621.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-17 20:02:33 | ||
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文档简介
仁市2022届高三上学期期末考试
数学（理）
（考试时间120分钟，满分150分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．关于复数（a，，为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A．若则 B．若为的共轭复数，则，
C．复数的虚部为 D．若，则在复平面内对应的点的坐标为
3．已知，，则“存在使得”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件； B．必要而不充分条件；
C．充分必要条件； D．既不充分也不必要条件；
4．某商场为了了解销售活动中某商品销售量y与活动时间x之间的关系，随机统计了某5次销售活动中的商品销售量与活动时间，并制作了下表：
活动时间x 2 4 5 6 8
销售量y 25 40 60 70 80
由表中数据可知，销售量y与活动时间x之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为，据此模型预测当时，的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则下列结论正确的序号是（ ）
①，②，③，④若，则
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
6．过抛物线的焦点F的直线l与拋物线交于A，B两点，若，则等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
7．已知函数，，则图像为如图的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
8．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数（ ）
A．30种 B．42种 C．64种 D．86种
9．已知点P为圆上动点，O为坐标原点，则向量在向量方向上投影的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，是函数（，）相邻的两个零点，若函数在上的最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A，B，D，F，C在正视图中分别对应点A，B，E，F，C且，，异面直线AB，CD所成的角的余弦值为，则该圆柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．关于x的方程有三个不等的实数解，，，且，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．1
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．若的展开式中第5项为常数项，则该常数项为__________（用数字表示）．
14．已知函数，的图像在点处的切线方程为__________．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线的左支上存在一点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点H，且，则此双曲线的离心率为_________．
16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则的面积的最大值为__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17．（本小题12分）已知为等比数列，，记数列满足，且
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数n，设，求的前项的和．
18．（本小题12分）2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目．下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：
2022年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自2020年11月）
2022年2月 北京赛区 延庆赛区 张家口赛区
开幕式 冰壶 冰球 速度滑冰 短道速滑 花样滑冰 高山滑雪 有舵雪橇 钢架雪车 无舵雪橇 跳台滑雪 北欧两项 越野滑雪 单板滑雪 冬季两项 自由式滑雪 当日决赛数
5日 * * 1 1 * 1 1 * 1 1 6
6日 * * 1 * 1 1 1 1 1 1 7
说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛．
（1）（i）若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰球和跳台滑雪的概率；
（ii）若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛不在同一赛区的概率；
（2）若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记X为赛区的个数，求X的分布列及期望．
19．（本小题12分）已知梯形如图（1）所示，其中，，，，过点A作BC的平行线交线段CD于M，点N为线段BC的中点．现将沿AM进行翻折，使点D到达点P的位置，且平面平面，得到的图形如图（2）所示．
图（1） 图（2）
（1）求证：；
（2）若，若点H为线段PC的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题12分）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调区间；
（2）若对任意的和，恒成立，求实数b的取值范围．
21．（本小题12分）已知椭圆，离心率为，它的短轴长等于双曲线的虚轴长
（1）求椭圆C的方程
（2）已知，是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点
①若直线AB的斜率为，求四边形面积的最大值
②当A，B运动时，满足，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．【选修4-4：极坐标与参数方程】（本小题10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），M是上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转得到线段ON，设点N的轨迹方程为曲线。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）在（1）的条件下，若射线与曲线，分别交于两点A，B（除极点外），且有定点，求的面积。
23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题10分）已知函数，．
（1）求解不等式的解集；
（2）记的最小值为，若，，且，证明：．
仁市2022届高三上学期期末考试
数学（理）答案
一．选择题（60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C C B B D A B C A D
二．填空题（20分）
13．35 14． 15． 16．
三．简答题（共70分）
17．（本小题12分）【解析】（1）∵，，可知
又因为，得
故， 4分
（2）当n为奇数时前项中所有的奇数项的和为：
n为偶数时，
，
记
两式相减，化解得
故，前项的和 12分
18．（本小题12分）【解析】（1）
（i）记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰球和跳台滑雪”为事件A．
由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有种不同方法，其中恰好看到冰球和跳台滑雪，共有2种不同方法．
所以，恰好看到冰球和跳台滑雪的概率． 3分
（ii）记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件B．
由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有种不同方法，
其中两场决赛恰好在北京赛区共有2种不同方法，在张家口赛区共有．
所以．
所以两场决赛不在同一赛区得概率为． 6分
（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3．
根据题意，，
，
．
随机变量X的分布列是：
X 1 2 3
P
数学期望． 12分
19．（本小题12分）【解析】（1）证明：如图，在平面图形中，连接BD交AM于O，连接MN．
因为，，所以四边形为平行四边形，所以．
在中，由余弦定理，得，
所以，则，故，
则，则，故．
因为M、N分别为CD、BC的中点，所以，所以．
在四棱雉中，连接MN，因为平面平面，
且平面平面，平面，故平面．
因为平面，故．
又，，故平面．
而平面，故． 6分
（2）解：如图，取AM的中点O，连接PO．
由（1）可知，则，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面．连接OB，又所以以O为坐标
原点以向量，\，分别为x轴y轴z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系。
则：，，，，
所以，
所以，
设是平面的一个法向量
所以即令，得
由（1）知，平面．所以是平面的一个法向量。
所以
所以平面平面所成锐二面角的余弦值为 12分
20．（本小题12分）【解析】：（1）当时，，
当时，在上恒成立，函数在上单调递减；
当时，由得：；由得：．
∴当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是 4分
（2）对任意的和，恒成立等价于：
，，恒成立．
即，，恒成立．
令：，，，
则得，
由此可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴当时，，即
又∵，
∴实数b的取值范围是：． 12分
21．（本小题12分）【解析】（1）
解：因为椭圆的短轴长等于双曲线的虚轴长，所以，
又椭圆的离心率为，
所以，所以，
所以椭圆C的方程为； 4分
（2）解：（1）设，，直线AB的方程为，
联立，消y得，
，解得，
，，
则四边形面积，
所以当时，； 8分
（2）当时，PA、PB的斜率之和为0，
设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为，
直线PA的方程为，
联立，消y得，
则，
同理，
所以，，
从而，所以直线AB的斜率为定值 12分
22．（本小题10分）【解析】（本小题10分）【解析】：（1）由题意得曲线的直角坐标方程为，即，故曲线的极坐标方程为，即，设点，则由已知得，代入曲线的极坐标方程得，即曲线的极坐标方程为 5分
（2）将代入曲线，的极坐标方程得，，
又因为，所以 ，
所以 10分
23（本小题10分）【解析】：（1）
则等价于或或， 3分
解得或或．
综上，不等式的解集为； 5分
（2）证明：由（1）知，的最小值为3，即，则 6分
由，，知，，
∴ 8分
． 9分
当且仅当且时等号成立．
∴ 10分
数学（理）
（考试时间120分钟，满分150分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．关于复数（a，，为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A．若则 B．若为的共轭复数，则，
C．复数的虚部为 D．若，则在复平面内对应的点的坐标为
3．已知，，则“存在使得”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件； B．必要而不充分条件；
C．充分必要条件； D．既不充分也不必要条件；
4．某商场为了了解销售活动中某商品销售量y与活动时间x之间的关系，随机统计了某5次销售活动中的商品销售量与活动时间，并制作了下表：
活动时间x 2 4 5 6 8
销售量y 25 40 60 70 80
由表中数据可知，销售量y与活动时间x之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为，据此模型预测当时，的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则下列结论正确的序号是（ ）
①，②，③，④若，则
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
6．过抛物线的焦点F的直线l与拋物线交于A，B两点，若，则等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
7．已知函数，，则图像为如图的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
8．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数（ ）
A．30种 B．42种 C．64种 D．86种
9．已知点P为圆上动点，O为坐标原点，则向量在向量方向上投影的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，是函数（，）相邻的两个零点，若函数在上的最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A，B，D，F，C在正视图中分别对应点A，B，E，F，C且，，异面直线AB，CD所成的角的余弦值为，则该圆柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．关于x的方程有三个不等的实数解，，，且，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．1
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．若的展开式中第5项为常数项，则该常数项为__________（用数字表示）．
14．已知函数，的图像在点处的切线方程为__________．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线的左支上存在一点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点H，且，则此双曲线的离心率为_________．
16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则的面积的最大值为__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17．（本小题12分）已知为等比数列，，记数列满足，且
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数n，设，求的前项的和．
18．（本小题12分）2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目．下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：
2022年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自2020年11月）
2022年2月 北京赛区 延庆赛区 张家口赛区
开幕式 冰壶 冰球 速度滑冰 短道速滑 花样滑冰 高山滑雪 有舵雪橇 钢架雪车 无舵雪橇 跳台滑雪 北欧两项 越野滑雪 单板滑雪 冬季两项 自由式滑雪 当日决赛数
5日 * * 1 1 * 1 1 * 1 1 6
6日 * * 1 * 1 1 1 1 1 1 7
说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛．
（1）（i）若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰球和跳台滑雪的概率；
（ii）若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛不在同一赛区的概率；
（2）若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记X为赛区的个数，求X的分布列及期望．
19．（本小题12分）已知梯形如图（1）所示，其中，，，，过点A作BC的平行线交线段CD于M，点N为线段BC的中点．现将沿AM进行翻折，使点D到达点P的位置，且平面平面，得到的图形如图（2）所示．
图（1） 图（2）
（1）求证：；
（2）若，若点H为线段PC的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题12分）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调区间；
（2）若对任意的和，恒成立，求实数b的取值范围．
21．（本小题12分）已知椭圆，离心率为，它的短轴长等于双曲线的虚轴长
（1）求椭圆C的方程
（2）已知，是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点
①若直线AB的斜率为，求四边形面积的最大值
②当A，B运动时，满足，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．【选修4-4：极坐标与参数方程】（本小题10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），M是上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转得到线段ON，设点N的轨迹方程为曲线。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）在（1）的条件下，若射线与曲线，分别交于两点A，B（除极点外），且有定点，求的面积。
23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题10分）已知函数，．
（1）求解不等式的解集；
（2）记的最小值为，若，，且，证明：．
仁市2022届高三上学期期末考试
数学（理）答案
一．选择题（60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C C B B D A B C A D
二．填空题（20分）
13．35 14． 15． 16．
三．简答题（共70分）
17．（本小题12分）【解析】（1）∵，，可知
又因为，得
故， 4分
（2）当n为奇数时前项中所有的奇数项的和为：
n为偶数时，
，
记
两式相减，化解得
故，前项的和 12分
18．（本小题12分）【解析】（1）
（i）记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰球和跳台滑雪”为事件A．
由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有种不同方法，其中恰好看到冰球和跳台滑雪，共有2种不同方法．
所以，恰好看到冰球和跳台滑雪的概率． 3分
（ii）记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件B．
由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有种不同方法，
其中两场决赛恰好在北京赛区共有2种不同方法，在张家口赛区共有．
所以．
所以两场决赛不在同一赛区得概率为． 6分
（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3．
根据题意，，
，
．
随机变量X的分布列是：
X 1 2 3
P
数学期望． 12分
19．（本小题12分）【解析】（1）证明：如图，在平面图形中，连接BD交AM于O，连接MN．
因为，，所以四边形为平行四边形，所以．
在中，由余弦定理，得，
所以，则，故，
则，则，故．
因为M、N分别为CD、BC的中点，所以，所以．
在四棱雉中，连接MN，因为平面平面，
且平面平面，平面，故平面．
因为平面，故．
又，，故平面．
而平面，故． 6分
（2）解：如图，取AM的中点O，连接PO．
由（1）可知，则，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面．连接OB，又所以以O为坐标
原点以向量，\，分别为x轴y轴z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系。
则：，，，，
所以，
所以，
设是平面的一个法向量
所以即令，得
由（1）知，平面．所以是平面的一个法向量。
所以
所以平面平面所成锐二面角的余弦值为 12分
20．（本小题12分）【解析】：（1）当时，，
当时，在上恒成立，函数在上单调递减；
当时，由得：；由得：．
∴当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是 4分
（2）对任意的和，恒成立等价于：
，，恒成立．
即，，恒成立．
令：，，，
则得，
由此可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴当时，，即
又∵，
∴实数b的取值范围是：． 12分
21．（本小题12分）【解析】（1）
解：因为椭圆的短轴长等于双曲线的虚轴长，所以，
又椭圆的离心率为，
所以，所以，
所以椭圆C的方程为； 4分
（2）解：（1）设，，直线AB的方程为，
联立，消y得，
，解得，
，，
则四边形面积，
所以当时，； 8分
（2）当时，PA、PB的斜率之和为0，
设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为，
直线PA的方程为，
联立，消y得，
则，
同理，
所以，，
从而，所以直线AB的斜率为定值 12分
22．（本小题10分）【解析】（本小题10分）【解析】：（1）由题意得曲线的直角坐标方程为，即，故曲线的极坐标方程为，即，设点，则由已知得，代入曲线的极坐标方程得，即曲线的极坐标方程为 5分
（2）将代入曲线，的极坐标方程得，，
又因为，所以 ，
所以 10分
23（本小题10分）【解析】：（1）
则等价于或或， 3分
解得或或．
综上，不等式的解集为； 5分
（2）证明：由（1）知，的最小值为3，即，则 6分
由，，知，，
∴ 8分
． 9分
当且仅当且时等号成立．
∴ 10分
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