2022版高中数学第二章解三角形本章达标检测含解析北师大版必修5（Word含答案）

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,B=,sinA=,AC=4,则BC= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.5　　　　B.6
C.7　　　　D.8
2.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则的值为 (　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
3.已知锐角三角形的三边长分别为1,3,a,那么a的取值范围为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(8,10)　　　　B.(2,)
C.(2,10)　　　　D.(,8)
4.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形ABC的三边,若abc=16,则三角形的面积为 (　　)
A.2　　　　B.8　　　　
C.　　　　D.
5.已知△ABC的三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c,向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为 (　　)
A.　　　　B.　　　　
C.　　　　D.
6.根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是 (　　)
A.a=8,b=16,A=30°,有两解
B.b=18,c=20,B=60°,只有一解
C.a=5,c=2,A=90°,无解
D.a=30,b=25,A=150°,只有一解
7.一角槽的横断面如图所示,四边形ADEB是矩形,且α=50°,β=70°,AC=90mm,BC=150mm,则DE的长为(　　)
A.210mm　　　　B.200mm
C.198mm　　　　D.171mm
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的值为 (　　)
A.　　　　B.
C.或　　　　D.或
9.已知在△ABC中,sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),则△ABC的形状是 (　　)
A.锐角三角形　　　　B.钝角三角形
C.等腰三角形　　　　D.直角三角形
10.在△ABC中,sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A= (　　)
A.30°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.150°
11.在△ABC中,A∶B=1∶2,CD平分∠ACB,且把△ABC的面积分成3∶2两部分,则cosA= (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.0
12.甲船在岛B的正南A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时,乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去.当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是 (　　)
A.分钟　　　　B.小时
C.21.5分钟　　　　D.2.15分钟
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.△ABC为钝角三角形,且C为钝角,则a2+b2与c2的大小关系为　　　　.
14.钝角三角形的三边长为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,则a的取值范围是　　　　.
15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若b(sinA-sinB)=asinA-csinC,且△ABC的面积为c2,则+的值为　　　　.
16.如图所示,某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处,12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方向且距海岛5km的E港口,如果轮船始终匀速直线前进,那么船速为　　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a.
(1)求;
(2)若c2=b2+a2,求B.
18.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,cosB=.
(1)若b=4,求sinA的值;
(2)若S△ABC=4,求b,c的值.
19.(本小题满分12分)在△ABC中,∠BAC=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.
20.(本小题满分12分)如图,某城市有一条东西方向的公路AO,通过市中心O后转向东偏北α角方向的OB.位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3km,且∠AOM=β.现要修筑一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,且经过大学M,其中tanα=2,cosβ=,AO=15km.
(1)求大学M与站A之间的距离AM的长;
(2)求铁路AB段的长.
21.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2C+2cosC+2=0.
(1)求角C的大小;
(2)若b=a,△ABC的面积为sinAsinB,求sinA及c的值.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=msinx+cosx(m>0)的最大值为2.
(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间;
(2)若△ABC中,f+f=4sinAsinB,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且C=60°,c=3,求△ABC的面积.
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一、选择题
1.A　由正弦定理知=,解得BC=5.
2.D　由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,即72=52+AC2-10AC·cos120°,
解得AC=3(AC=-8舍去).
由正弦定理得==.
3.B　设长为1,3,a的边所对的角分别为C,B,A,由余弦定理的推论知
即解得24.C　∵===2×4=8,
∴sinC=,∴S△ABC=absinC===.
5.B　由p∥q得(a+c)·(c-a)-b·(b-a)=0,即c2-a2-b2+ab=0,由余弦定理的推论,得==cosC,∵C为三角形内角,∴C=.
6.D　A中,∵=,
∴sinB==1,
∴B=90°,即只有一解;
B中,sinC==,
c>b,∴C>B,故有两解;
C中,∵A=90°,a=5,c=2,
∴b===,
即有解.故A、B、C都不正确,故选D.
7.A　由题图可知,∠ACB=α+β=50°+70°=120°.
在△ABC中,由余弦定理可得
AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB
=902+1502-2×90×150×
=44100,
所以AB=210mm,即DE=210mm.故选A.
8.D　∵(a2+c2-b2)tanB=ac,
∴·tanB=,
即cosB·tanB=sinB=.
∵09.D　由正弦定理和余弦定理的推论得a+b=c·,即2a2b+2ab2=ab2+ac2-a3+a2b+bc2-b3,
∴a2b+ab2+a3+b3=ac2+bc2,∴(a+b)(a2+b2)=(a+b)c2,∵a+b≠0,∴a2+b2=c2,
∴△ABC为直角三角形,故选D.
10.C　由正弦定理及已知得,a2=b2+bc+c2,
∴b2+c2-a2=-bc,∴cosA==-,又0°11.C　如图,
∵CD平分∠ACB,
∴D到AC与D到BC的距离相等,
∴△ACD中AC边上的高与△BCD中BC边上的高相等.
又∵A由题意可知,S△ACD∶S△BCD=3∶2,
∴=.
由正弦定理得=,又∵B=2A,
∴=,即=,
∴cosA=.
12.A　如图所示,设行驶x小时后甲船到点C,乙船到点D,两船相距y千米,
由题意知∠DBC=180°-60°=120°.
甲船到达B点之前时,在△BCD中,BC=(10-4x)千米,BD=6x千米,CD=y千米,
由余弦定理,得y2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)·6xcos120°
=28x2-20x+100
=28+100
=28-+100,
∴当x=时,y2有最小值,即y有最小值,此时航行的时间是×60=(分钟).
二、填空题
13.答案　a2+b2解析　∵cosC=,且C为钝角,
∴cosC<0,∴a2+b2-c2<0,
∴a2+b214.答案　≤a<3
解析　由题可知长为a+2的边所对的角为最大角,且最大角的范围是(90°,120°],
所以
解得≤a<3.
15.答案　4
解析　由正弦定理及b(sinA-sinB)=asinA-csinC,得ab=b2+a2-c2,
所以cosC==①,又C∈(0,π),所以C=,所以sinC=,由△ABC的面积为c2,得c2=absinC,即c2=3ab,代入①,得b2+a2=4ab,所以+==4.
16.答案　km/h
解析　轮船从C到B用时80分钟,从B到E用时20分钟,而船始终匀速前进,由此可得,BC=4EB.设EB=xkm,则BC=4xkm,由已知得∠BAE=30°,∠EAC=150°.
在△AEC中,由正弦定理得
=,
则sinC===.
在△ABC中,由正弦定理得=,
∴AB===,
在△ABE中,由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos30°=+25-2××5×=,故BE=(负值舍去).
∴船速v===km/h.
三、解答题
17.解析　(1)由正弦定理得,sin2AsinB+sinB·cos2A=sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=sinA,故sinB=sinA,所以=. (4分)
(2)由余弦定理的推论和c2=b2+a2,
得cosB=. (6分)
由(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2,
可得cos2B=,又cosB>0, (8分)
所以cosB=,所以B=45°. (10分)
18.解析　(1)∵cosB=>0,且0∴sinB==. (4分)
由正弦定理得=,
∴sinA===. (6分)
(2)∵S△ABC=acsinB=4,
∴×2×c×=4,∴c=5. (8分)
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=22+52-2×2×5×=17,∴b=(负值舍去). (12分)
19.解析　如图所示,设△ABC的内角∠BAC,B,C所对边分别是a,b,c,则b=3,c=6. (2分)
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,所以a=3(负值舍去). (4分)
由正弦定理得sinB===, (6分)
由题设知0在△ABD中,因为AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B, (10分)
所以AD====. (12分)
20.解析　(1)在△AOM中,AO=15km,∠AOM=β且cosβ=,OM=3km,
由余弦定理得,AM2=AO2+OM2-2AO·OM·cos∠AOM=152+(3)2-2×15×3×=72, (4分)
∴AM=6km(负值舍去),即大学M与站A之间的距离AM的长为6km.(6分)
(2)∵cosβ=,且β为锐角,
∴sinβ=, (7分)
在△AOM中,由正弦定理得,=,即=,
∴sin∠MAO=,∵∠MAO为三角形内角,
∴∠MAO=,∴∠ABO=α-, (8分)
∵tanα=2,0<α<,
∴sinα=,cosα=, (9分)
∴sin∠ABO=sin=,又∠AOB=π-α,∴sin∠AOB=sin(π-α)=, (10分)
在△AOB中,AO=15km,由正弦定理得,=,
即=,∴AB=30km,
即铁路AB段的长为30km. (12分)
21.解析　(1)∵cos2C+2cosC+2=0,
∴2cos2C+2cosC+1=0, (2分)
即(cosC+1)2=0,
∴cosC=-. (4分)
又C∈(0,π),∴C=. (6分)
(2)∵c2=a2+b2-2abcosC=3a2+2a2=5a2,
∴c=a(c=-a舍去),
即sinC=sinA, (7分)
∴sinA=sinC=. (8分)
∵S△ABC=absinC,且S△ABC=sinAsinB,∴absinC=sinAsinB, (9分)
∴·sinC=, (10分)
∴sinC=,解得c=1(负值舍去).(12分)
22.解析　(1)由题可得f(x)=msinx+cosx=sin(x+θ), (2分)
因为f(x)的最大值为,
所以=2. (3分)
又m>0,所以m=,f(x)=2sin. (4分)
由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z). (5分)
所以f(x)在[0,π]上的单调递减区间为. (6分)
(2)化简f+f=4sinA·sinB,得sinA+sinB=2sinAsinB.① (7分)
由正弦定理,得===2,所以sinA=,sinB=, (8分)
代入①式整理,得a+b=ab.② (9分)
由余弦定理,得a2+b2-ab=9,
即(a+b)2-3ab-9=0.③ (10分)
将②式代入③式,得2(ab)2-3ab-9=0,
解得ab=3或ab=-(舍去), (11分)
故S△ABC=absinC=. (12分)
11