2022版高中数学第二章解三角形本章复习提升含解析北师大版必修5（Word含答案解析）

本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略了三角形中边角关系的隐含条件
1.()在△ABC中,=.试判断△ABC的形状.
易错
2.()在△ABC中,内角A,B,C及其所对的边a,b,c满足C为钝角,c-b=2bcosA.
(1)求证:A=2B;
(2)若b=,求a的取值范围.
易错
3.(2021安徽六安一中高二上开学考试,)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,acosB=(2c-b)cosA.
(1)求A;
(2)若△ABC为锐角三角形,且a=1,求△ABC周长的取值范围.
易错
易错点2　忽略了三角形解的个数问题
4.(2019河南郑州高二期末,)已知△ABC中,满足a=3,b=2,B=30°,则这样的三角形有 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0个　　　　B.1个
C.2个　　　　D.无数个
5.(2020江西南昌二中高一下月考,)在△ABC中,a=2,A=,若此三角形有两解,则b的取值范围是　　　　.易错
6.()已知在△ABC中,a=,b=,B=45°,求角A,C和边c.
易错点3　错把空间问题看成平面问题
7.()如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60m,求建筑物的高度.
思想方法练
一、数形结合思想在解三角形中的应用
1.(2021湖南怀化高二上联考,)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3km,5km,灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与B的距离为 (深度解析)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6km　　　　B.4km
C.7km　　　　D.5km
2.()一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68km的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为 (　　)
A.km/h　　　　B.34km/h
C.km/h　　　　D.34km/h
3.()海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船,在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近,速度为每小时90km.此时海盗船距观测站10km,20min后测得海盗船距观测站20km,再过　　　　min,海盗船到达商船处.
4.()海上某货轮在A处看灯塔B,在货轮北偏东75°,距离为12km;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为8km;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求:
(1)A处与D处之间的距离;
(2)灯塔C与D处之间的距离.
二、函数与方程思想在解三角形中的应用
5.()在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,则角A的对边的长为 (　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
6.(2021广东深圳高二上调研,)如图,设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(acosC+ccosA)=2bsinB,且∠CAB=.若点D是△ABC外一点,DC=1,DA=3,则四边形ABCD面积的最大值为　　　　.
深度解析
7.()如图,有一直径为8的半圆形空地,现计划种植甲、乙两种果树,已知单位面积种植甲种果树的经济价值是种植乙种果树经济价值的5倍,但种植甲种果树需要有辅助光照.半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲种果树生长的需要,该光源照射范围是∠ECF=,点E,F在直径AB上,且∠ABC=.
(1)若CE=,求AE的长;
(2)设∠ACE=α,求该空地产生最大经济价值时种植甲种果树的面积.
答案全解全析
本章复习提升
易混易错练
1.解析　由已知得=,
即=,
所以sinAcosA=sinBcosB.
因为A∈(0,π),B∈(0,π),
所以sin2A=sin2B,
所以2A=2B或2A+2B=π,
即A=B或A+B=,
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
易错警示
由sin2A=sin2B得出两角间的关系时,容易忽略2A与2B互为补角这种情况.
2.解析　(1)证明:由c-b=2bcosA,得sinC-sinB=2sinBcosA.
在△ABC中,因为C=π-(A+B),所以sinC=sin(A+B),
所以sin(A+B)-sinB=sinAcosB+sinB·cosA-sinB=2sinBcosA,
整理得sin(A-B)=sinB.
因为C为钝角,所以0(2)由正弦定理及(1),得==.
因为b=,所以a=2bcosB=cosB.
因为角C为钝角,所以0所以a的取值范围为.
易错警示
在求a的取值范围时,需考虑C为钝角这一限制条件,否则求得的范围将扩大.
3.解析　(1)解法一:由已知得acosB+bcosA=2ccosA.由正弦定理得sinAcosB+sinB·cosA=2sinCcosA,
即sin(A+B)=2sinCcosA,
∵sin(A+B)=sinC,
∴sinC=2sinCcosA.
∵sinC≠0,∴cosA=,
∵0解法二:∵acosB=(2c-b)cosA,
∴a×=(2c-b)×,
化简得b2+c2-a2=bc,
∴cosA==.
∵0(2)∵==,且a=1,A=,
∴b=sinB,c=sinC,
∴a+b+c=1+(sinB+sinC)
=1+
=1+2sin.
∵△ABC为锐角三角形,
∴
∴∴1+2sin∈(1+,3],
即△ABC周长的取值范围为(1+,3].
易错警示
在确定B的范围时,易忽略C为锐角这一条件,需强调的是锐角三角形的三个内角都必须为锐角.
4.C　由已知及正弦定理得,=,
即=,
∴sinA=,
又∵A∈(0,π),且a>b,
∴这样的三角形有2个.故选C.
5.答案　(2,2)
解析　在△ABC中,a=2,A=,
由正弦定理可得===2,即sinB=,
又此三角形有两解,所以即2易错警示
在用正弦定理和余弦定理解三角形时,只有已知两边和一边对角时可能会出现两解的情形.如已知a,b,B,若asinB6.解析　由正弦定理得sinA=.
因为a>b,所以A=60°或A=120°.
当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,
c==;
当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,
c==.
7.解析　设建筑物的高度为hm,由题图知,PA=2hm,PB=hm,PC=hm,
∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理的推论,得cos∠PBA=
=,①
cos∠PBC==
.②
∵∠PBA+∠PBC=180°,
∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③
由①②③解得h=30或h=-30(舍去),
即建筑物的高度为30m.
思想方法练
1.C　由题意作出示意图如下:
作出示意图,利用图形直观分析各角之间的关系,体现了数形结合思想.
由题意可得∠ACB=180°-20°-40°=120°,由余弦定理可得,AB2=9+25+15=49,所以AB=7m(负值舍去).故选C.
思想方法
数形结合思想在解三角形中有着重要的作用,尤其是解三角形的实际应用问题时,往往根据题意先画出图形,再借助图形找出各个量之间的关系,这充分体现了数形结合的思想.
2.A　设这只船的航行速度为vkm/h,如图所示,
借助图形直观确定边角关系.
在△PMN中,=,
∴MN==34(km),
∴v==(km/h).
3.答案　
解析　如图,设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处,20min后,海盗船到达D处.
借助图形,确定观测站、商船、海盗船的位置、构造三角形.
在△ADC中,AC=10km,AD=20km,CD=30km,由余弦定理的推论,得cos∠ADC===,
∴∠ADC=60°.
在△ABD中,由已知得∠ABD=30°,∠BAD=60°-30°=30°,
∴BD=AD=20km,×60=(min).
4.解析　由题意,画出示意图,如图所示.
数形结合,构造三角形,便于解决实际问题.
(1)在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,则B=45°.由正弦定理,
得AD==24km,即A处与D处之间的距离为24km.
(2)在△ADC中,由余弦定理,得
CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°
=242+(8)2-2×24×8×=(8)2,
∴CD=8km,即灯塔C与D处之间的距离为8km.
5.D　∵S△ABC=bcsinA=×1×c×sin60°=,∴c=4.
利用方程思想,构造关于c的方程.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos60°=1+16-2×1×4×=13.
∴a=(负值舍去).
6.答案　+3
解析　由正弦定理可得,(sinAcosC+sinCcosA)=2sinBsinB,即sinB=2sin2B,
利用方程思想,构造关于sinB的方程.
因为sinB≠0,所以sinB=,又B为三角形内角,∠CAB=,所以B=,所以△ABC为等边三角形.在△ADC中,由余弦定理得,AC2=10-6cosD,故四边形ABCD的面积为S△ABC+S△ADC=AC2+sinD=×(10-6cosD)+sinD=+3sin,
所以当D-=,即D=时,四边形ABCD的面积最大,最大值为+3.
利用三角函数的性质求最值,体现了函数思想.
思想方法
在解三角形问题中,涉及边长、周长或面积的最值问题时常常构造函数,利用函数思想,转化为求相应函数的最值.
7.解析　(1)由题意知,点C在以AB为直径的半圆周上,所以△ACB为直角三角形,
因为AB=8,∠ABC=,
所以∠BAC=,AC=4,
在△ACE中,CE2=AC2+AE2-2AC·AE·cos∠BAC,且CE=,
所以13=16+AE2-4AE,
利用方程思想,构造关于AE的方程求解.
解得AE=1或AE=3.故AE的长为1或3.
(2)因为∠ACB=,∠ECF=,
所以∠ACE=α∈,
所以∠AFC=π-∠BAC-∠ACF=π--=-α.
在△ACF中,===,所以CF=.
在△ACE中,==,所以CE=.
若要产生最大经济价值,则需满足△ECF的面积最大,
S△ECF=CE·CF·sin∠ECF
==,
因为α∈,所以0≤sin≤1,
所以当α=时,S△ECF取得最大值,最大值为4,
利用三角函数的性质求最值,体现了函数思想.
即种植甲种果树的面积为4时,该空地产生的经济价值最大.
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