(共19张PPT)
第二章 解三角形
§1 正弦定理与余弦定理
1.1 正弦定理
1 | 正弦定理及其常见变形
文字语言 在一个三角形中,各边和它所对角的① 正弦 的比相等
符号语言 = = =2R(R为△ABC外接圆半径)
常见变形 a=2Rsin A,b=② 2Rsin B ,c=③ 2Rsin C ,
sin A= ,sin B=④ ,sin C=⑤ ,
a∶b∶c=⑥ sin A∶sin B∶sin C ,
=2R
1.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,即在△ABC中,a+b>c,|a-b|
2.大边对大角
a>b A>B sin A>sin B,cos A3.在△ABC中,A+B+C=π, = - sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,sin =
cos .
2 | 三角形的几个常见结论
第二章 解三角形
在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射
线AB的公共点的个数即为三角形的个数.
3 | 三角形解的个数的确定
A为锐角 A为钝角或直角
图 形
(1)a=bsin A (2)a≥b bsin A< ab a≤b
解的 情况 一解 两解 无解 一解 无解
第二章 解三角形
1.记△ABC三边a,b,c上的高分别为ha,hb,hc,则S△ABC= aha=⑦ bhb
=⑧ .
2.S△ABC= absin C=⑨ acsin B =⑩ bcsin A 或 acsin B .
3.S△ABC= r(a+b+c)(r为三角形内切圆的半径).
4.在平面直角坐标系中,已知 =(x,y), =(u,v),则△ABC的面积S= | || |sin
4| 三角形常用面积公式
A= |xv-yu|.
第二章 解三角形
所以B1.正弦定理只适用于锐角三角形. ( )
2.在△ABC中,若a=2b,则sin A=2sin B. ( √ )
3.在△ABC中,必有asin C=csin A. ( √ )
提示：由 = ,得asin C=csin A.
4.在△ABC中,一定有a∶b∶c=cos A∶cos B∶cos C. ( )
5.在△ABC中,a>b A>B sin A>sin B. ( √ )
6.已知三角形的两角和一边可确定三角形的面积. ( √ )
7.已知三角形的三个角可以确定三角形的面积. ( )
8.在△ABC中,已知a=3,b=2,A=60°,△ABC有两解. ( )
提示:由题知,sin B= = ,且b判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第二章 解三角形
已知两角和任意一边,求其他两边和另一角,由于两角已知,故第三个角确定,
进而三角形唯一,所以解是唯一的;已知两边和其中一边的对角,解三角形时,会出
现无解、一解和两解的情况,应分类讨论.
1 | 如何用正弦定理确定三角形解的个数
第二章 解三角形
根据下列条件,判断三角形解的情况.
(1)a=8,b=16,A=30°;
(2)a=18,b=20,A=60°;
(3)a=5,b=10,A=45°;
(4)a=30,b=25,A=150°.
思路点拨
求出bsin A 判断bsin A与a,b的大小关系 确定解的个数.
第二章 解三角形
解析 (1)因为A=30°,a=bsin A,所以三角形有一解.
(2)因为A=60°,所以bsin A=20× =10 ,
因为10 <18<20,即bsin A所以三角形有两解.
(3)因为A=45°,所以bsin A=10× =5 >a,所以三角形无解.
(4)因为A为钝角,且a>b,所以三角形有一解.
第二章 解三角形
正弦定理经过推广后,三角形的边角关系可用其外接圆半径来表示,经过变
形后,可以把三角形边的比转化为角的正弦比,也可以把角的正弦比转化为边的
比,为解三角形带来了更加灵活的方式.
2 | 正弦定理变形的应用
第二章 解三角形
已知△ABC中,bsin B=csin C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
思路点拨
思路1:利用正弦定理的变形,将条件中的边化为角 找出各角间的关系,判断三
角形的形状.
思路2:利用正弦定理的变形,将条件中的角化为边 找出各边间的关系,判断三
角形的形状.
第二章 解三角形
解析 解法一:由bsin B=csin C及正弦定理可得,sin2B=sin2C.
∵00,sin C>0.
∴sin B=sin C,∴B=C.
又sin2A=sin2B+sin2C,A=π-(B+C)=π-2B,
∴sin22B=2sin2B,即4sin2B·cos2B=2sin2B.
∴cos2B= .
由A=π-2B∈(0,π)知,0∴cos B= ,∴B= ,∴A= .
∴△ABC是等腰直角三角形.
解法二:由bsin B=csin C及正弦定理可得b2=c2,
∴b=c.
第二章 解三角形
由sin2A=sin2B+sin2C及正弦定理可得,
a2=b2+c2,∴A=90°,
结合b=c知,△ABC为等腰直角三角形.
第二章 解三角形
易错警示
(1)判断三角形的形状,可以从考察三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入
手,从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或角与角的
关系,从而进行判断.
(2)判断三角形的形状,主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、
钝角三角形、锐角三角形等,但要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角
三角形”的区别.
第二章 解三角形
在一些有关三角形的综合性问题中,通常运用正弦定理并结合三角变换,三
角函数的有关性质加以分析、转化,从而解决问题.
3 | 正弦定理与三角函数的综合应用
第二章 解三角形
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A= ,a=3,则△ABC的周长为
( D )
A.4 sin +3 B.4 sin +3
C.6sin +3 D.6sin +3
思路点拨
利用正弦定理求出b+c 计算周长.
第二章 解三角形
解析 由 = = ,得
= = = ,
所以b+c=2 (sin B+sin C)
=2 sin B+sin
=2
=2
=6sin .
所以△ABC的周长为a+b+c=6sin +3.
第二章 解三角形
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos C+ bsin C-a-c=0.
(1)求角B;
(2)若b= ,求2a+c的取值范围.
思路点拨
(1)用正弦定理化边为角 sin = B= .
(2)用正弦定理将2a+c化为关于A的函数 求2a+c的取值范围.
第二章 解三角形
解析 (1)由已知及正弦定理,得
sin Bcos C+ sin Bsin C-sin A-sin C=0,
因为A=π-B-C,
所以sin A=sin(B+C),
所以sin Bcos C+ sin Bsin C-sin(B+C)-sin C=0,化简,得2sin =1,
因为B∈(0,π),所以B- ∈ ,
所以B- = ,解得B= .
(2)设△ABC外接圆的半径为R,
则2R= =2,
所以2a+c=2R(2sin A+sin C)=4sin A+2sin =5sin A+ cos A=2 sin(A+θ),
第二章 解三角形
其中sin θ= ,cos θ= ,
则θ∈ ,
又因为A∈ ,所以2a+c∈( ,2 ].
第二章 解三角形(共24张PPT)
第二章 解三角形
1.2 余弦定理
1 | 余弦定理及其推论
文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
符号语言 a2=① b2+c2-2bccos A ,b2=② a2+c2-2accos B ,c2=③ a2+b2-2abcos C
推论 cos A=④ ,cos B=⑤ ,cos C=⑥
2 | 应用余弦定理及其推论解三角形的类型
已知条件 应用定理 一般解法
两边及其夹角 (如a,b,C) 余弦定理、 正弦定理 由余弦定理求第三边c;由正弦
定理求出一边所对的角;再由A+
B+C=180°求出第三个角,在有
解时只有一解
三边(a,b,c) 余弦定理 由余弦定理求出角A,B;再利用A
+B+C=180°求出角C,在有解时
只有一解
两边和其 中一边的 对角(如a, b,A) 正弦定理、 余弦定理 由正弦定理求出角B;由A+B+C=
180°求出角C;再利用正弦定理
或余弦定理求c,可有两解、一
解或无解
第二章 解三角形
1.余弦定理只适用于锐角三角形. ( )
2.由余弦定理可知a2=b2+c2+2bccos A. ( )
3.在△ABC中,若b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形.( )
提示:由cos A= >0可得A为锐角.已知一个内角为锐角的三角形不一定是
锐角三角形,所以此句话错误.
4.在△ABC中,若C=120°,则c2=a2+b2+ab. ( √ )
5.在△ABC中,若a2+c2-b2=ac,则B= . ( )
提示:由cos B= ,得cos B= ,所以B= .
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第二章 解三角形
在有关三角形的问题中,条件中的边角混合关系不利于问题的解决.一般情
况下,我们解决问题的方向是“化角为边”或“化边为角”.利用正、余弦定理
及其变形可达到“化角为边”或“化边为角”的目的.
1 | 在三角形的问题中如何实现“边角互化”
第二章 解三角形
在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,确定△ABC的形
状.
思路点拨
思路1:化角为边,找出各边间的关系,判断三角形的形状.
思路2:化边为角,找出各角间的关系,判断三角形的形状.
第二章 解三角形
解析 解法一:由正弦定理得 = ,
由2cos Asin B=sin C,得cos A= = .
又由余弦定理的推论得cos A= ,
所以 = ,
即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.
又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
所以(a+b)2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2,
即b2=c2,
所以b=c,所以a=b=c.
所以△ABC为等边三角形.
第二章 解三角形
解法二:因为A+B+C=180°,
所以sin C=sin(A+B),
又因为2cos Asin B=sin C,
所以2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin(A-B)=0.
因为A与B均为△ABC的内角,所以A=B.
由(a+b+c)(a+b-c)=3ab得(a+b)2-c2=3ab,
所以a2+b2-c2+2ab=3ab,即a2+b2-c2=ab.
由余弦定理的推论得cos C= = = ,
又0°所以△ABC为等边三角形.
第二章 解三角形
易错警示
判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,主要有以下两条途径:
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出
边的相应关系;
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒
等变换,得出内角的关系,此时要特别注意A+B+C=π这个隐含条件.
第二章 解三角形
跟踪训练1( )在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a-b)sin B.
(1)求角C;
(2)若△ABC的外接圆半径R=2,试求△ABC面积S的最大值.
思路点拨
(1)利用正弦定理将已知化角为边 求得cos C= 求出角C.
(2)利用面积公式S= absin C 将S化为关于角A的函数 求出S的最大值.
第二章 解三角形
解析 (1)由(a-c)(sin A+sin C)=(a-b)sin B及正弦定理得(a-c)(a+c)=(a-b)b,
所以a2-c2=ab-b2,
即a2+b2-c2=ab,所以cos C= = .
又因为0°(2)由题知S= absin C= × ×ab= ×2Rsin A×2Rsin B
=4 sin Asin B
=4 sin Asin(120°-A)
=4 sin A(sin 120°cos A-cos 120°sin A)
=6sin Acos A+2 sin2A
=3sin 2A- cos 2A+
=2 sin(2A-30°)+ ,
所以当2A-30°=90°,即A=60°时,Smax=3 .
第二章 解三角形
三角形共有六个元素,有时已知条件较复杂,这就需要我们辨别条件,恰当选
择定理来求解.
常见情况:
(1)当已知条件以边或正弦值之比的关系出现时,考虑选正弦定理;
(2)已知条件涉及正弦或外接圆半(直)径时,考虑选正弦定理;
(3)已知条件涉及边的平方或者边的积时,选择余弦定理.
2 | 如何选择正弦定理或余弦定理来解三角形
第二章 解三角形
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+acos C=b+c,则△ABC的形状是
( B )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
思路点拨
思路1:利用正弦定理,化边为角 化简得出cos A·(sin B+sin C)=0 cos A=0,A
= 判断出△ABC是直角三角形.
思路2:利用余弦定理,化角为边 化简得出(a2-b2-c2)(b+c)=0 a2=b2+c2,从而得
出△ABC是直角三角形.
第二章 解三角形
解析 解法一:∵acos B+acos C=b+c,
∴sin Acos B+sin Acos C=sin B+sin C.
∵A+B+C=π,
∴sin B+sin C=sin(A+C)+sin(A+B),
∴sin Acos B+sin Acos C=sin(A+C)+sin(A+B),
化简,得cos A·(sin B+sin C)=0.
又∵A∈(0,π),B∈(0,π),C∈(0,π),
∴cos A=0,即A= ,
∴△ABC是直角三角形.
解法二:∵acos B+acos C=b+c,
∴由余弦定理的推论,得a· +a· =b+c,
第二章 解三角形
化简得(a2-b2-c2)(b+c)=0.
∵b+c>0,
∴a2-b2-c2=0,即a2=b2+c2,
∴△ABC是直角三角形.
导师点睛 解法一利用正弦定理与三角恒等变换,求出A= ;解法二利用余弦定
理的推论将角化为边,通过化简求出a2=b2+c2.从运算量看,解法一优于解法二,解题
时可根据具体情况作出选择.
第二章 解三角形
设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C=2A,a+c=10,cos A= .求:
(1) 的值;(2)b的值.
思路点拨
(1)利用正弦定理 = =2cos A 求出 .
(2)思路1:由(1)及已知求出a、c,结合cos A= 用余弦定理求出b.
思路2:由(1)及已知求出a 由cos A= ,C=2A求出sin B 利用正弦定理求b.
第二章 解三角形
解析 (1)∵C=2A,cos A= ,
∴由正弦定理得 = = =2cos A= .
(2)由(1)知 = ,又a+c=10,
两式联立得a=4,c=6.
解法一:由余弦定理得42=b2+62-12b× ,
即b2-9b+20=0,
解得b=4或b=5.
当b=4时,a=b,
∴B=A,
又A+B+C=180°,C=2A,
∴A=B=45°,
第二章 解三角形
∴cos A=cos 45°= ≠ ,不符合题意,舍去;
当b=5时,经检验符合题意,
∴b=5.
解法二:由cos A= ,得sin A= = ,
所以sin C=sin 2A=2sin Acos A= ,
cos C=cos 2A=2cos2A-1= ,
所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= .
由正弦定理得b= = =5.
第二章 解三角形
导师点睛 本题中解法一直接用余弦定理得出关于b的一元二次方程,求解出b并
检验,较简便;解法二用正弦定理求解,需要计算角A,B的正弦值,特别是求角B的正
弦值时,运算量很大,因此该类型题选用余弦定理较简便.
第二章 解三角形
在解三角形问题中,必然要用到三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理
及三角形的有关性质进行边角转化,这有利于找到解决问题的思路.
解决余弦定理与三角恒等变换、平面向量的综合应用问题,其解题思路是以余弦
定理、平面向量为解题工具,通过三角恒等变换来解决,对于有些问题,也可能需
将正弦定理与余弦定理结合使用.
3 | 正、余弦定理与三角函数、平面向量的综合问题
第二章 解三角形
已知向量a=( sin ωx,cos ωx),b=(cos ωx,-cos ωx),ω>0,记函数f(x)=a·b,且f(x)
的最小正周期为 .
(1)求ω的值;
(2)设△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b所对的角为x,求此时函数f(x)的值域.
思路点拨
(1)由f(x)=a·b及向量运算得, f(x)=- +sin 由f(x)的最小正周期为 求
出ω.
(2)由b2=ac及余弦定理的推论得,cos x≥ 利用三角函数的单调性求f(x)的值
域.
第二章 解三角形
解析 (1)∵a=( sin ωx,cos ωx),b=(cos ωx,-cos ωx),
∴f(x)=a·b= sin ωxcos ωx-cos2ωx= ·sin 2ωx- =- + sin 2ωx- cos 2
ωx=- +sin ,
∴ = ,
∴ω=2.
(2)由(1)知f(x)=- +sin .
∵b2=ac,
∴在△ABC中由余弦定理的推论,得cos x= = = =
+ ≥ (当且仅当a=c时,等号成立).
又∵余弦函数y=cos x在[0,π]上是减函数,
第二章 解三角形
∴0∴- <4x- ≤ ,
∴- ≤sin ≤1,
∴-1≤- +sin ≤ ,
∴函数f(x)的值域为 .
第二章 解三角形
跟踪训练2( )在△ABC中,AB= ,BC=1,cos C= .
(1)求sin A的值;(2)求 · 的值.
思路点拨
(1)由cos C求出sin C 利用正弦定理求出sin A.
(2)由余弦定理求出AC 利用诱导公式求出cos< , > 由平面向量的数
量积求出 · .
第二章 解三角形
解析 (1)在△ABC中,由cos C= ,得sin C= ,
由正弦定理得 = ,
即 = ,
则sin A= .
(2)设AC=x(x>0),则由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·BC·AC·cos C,
即2=x2+1-2x· ,得x2- x-1=0,解得x=2或x=- (舍去),
∴AC=2.
∴ · =| |·| |·cos< , >=| || |·cos(π-C)=1×2× =- .
第二章 解三角形(共8张PPT)
第二章 解三角形
§2 三角形中的几何计算
| 三角形中的几何计算的解题思路和步骤
三角形中的几何计算包括求长度、角度、面积.
1.解题思路
解题的思路是根据已知条件或图形,找到已知、未知及求解需要的三角形.若根
据给定条件在已知的平面图形中无法求解,可添加辅助线构造三角形,使已知的
边角关系尽量放在同一个三角形中,从而达到解题的目的.
2.解题步骤
(1)审题:将已知量与所求的量标注在图形上,仔细挖掘几何图形中隐藏的几何性
质;
(2)转化:分析图形中涉及的三角形或多边形,将所求问题放到尽可能少的三角形
中;
(3)计算:合理利用正弦定理、余弦定理,选用恰当的计算公式解答.
第二章 解三角形
1.如图,在△ABC中,D为BC边上的任意一点,则sin∠BDA=sin∠CDA,cos∠BDA=
cos∠CDA. ( )
2.在△ABC中,已知a,b和角B,求c时既可用正弦定理也可用余弦定理. ( √ )
3.解决多边形中的几何计算问题可转化为三角形中的几何计算问题. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第二章 解三角形
解决这类问题的基本思路就是利用三角形的有关知识和已知条件将所求代
数式转化成有关三角形的边或角的函数,再利用函数的相关知识来求范围或最
值,同时注意边或角的范围,特别是一些隐含在已知条件中的范围.
| 与三角形有关的范围(最值)问题
第二章 解三角形
在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C,求 的取值范围.
思路点拨
由△ABC是锐角三角形及A=2B,求出角A(或B)的范围 由正弦定理将 转化为
关于A(或B)的函数 求出 的范围.
第二章 解三角形
解析 ∵在锐角三角形ABC中,A,B,C均小于90°,
即
∴30°由正弦定理知 = = =2cos B∈( , ),
∴ 的取值范围是( , ).
第二章 解三角形
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足S= (a2
+b2-c2).
(1)求角C的大小;
(2)求sin A+sin B的最大值.
思路点拨
(1)由S△ABC= absin C和已知,求出tan C 求出C.
(2)由(1)得出A+B= 将sin A+sin B转化为关于A(或B)的函数 求出sin A+
sin B的最大值.
第二章 解三角形
解析 (1)由题意可知 absin C= ×2abcos C,
所以tan C= .
因为0所以C= .
(2)由已知及(1)得sin A+sin B=sin A+sin =sin A+sin
=sin A+ cos A+ sin A= sin ≤ ,
当A= ,即△ABC为等边三角形时取等号,
所以sin A+sin B的最大值为 .
第二章 解三角形(共22张PPT)
第二章 解三角形
§3 解三角形的实际应用举例
1 | 实际测量中的有关名词与术语
名词 意义 图示
铅垂 平面 与地面垂直的平面
坡角 坡面与① 水平面 的夹角
坡比 坡面的② 垂直高度 与水平宽度之比
视角 观察物体时,从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的角
仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线③ 上方 时与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线④ 下方 时与水平线的夹角
第二章 解三角形
方向角 从指定方向线到目标方向线的
水平角(指定方向线一般是指正
北或正南方向,方向角小于90°)
南偏西60°
方位角 从正北方向⑤ 顺时针 转到
目标方向线的最小正角
第二章 解三角形
1.准确理解题意,分清已知和所求,尤其要理解应用题中的相关名词和术语;
2.根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出,即将实际问题抽象成数学问
题;
3.分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形,运用正弦定理和余弦定理正确
求解;
4.检验求得的解是否具有实际意义,并对所求的解进行取舍.
2 | 解三角形应用题的一般步骤
第二章 解三角形
3 | 测量高度的类型及解法
类型 图形 解法
底部 可达 利用直角三角形的边角关系求
解,则AB=atan C
第二章 解三角形
底 部 不 可 达 在直角三角形ABD中,BD= ,
在直角三角形ABC中,BC= ,a=CD=BC-BD=
- ,
∴AB=
在直角三角形BCD中,BC=asin∠BDC,
在直角三角形ABC中,A= -∠ACB,
∴在直角三角形ABC中,AB= = ,
∴AB=
第二章 解三角形
4 | 测量距离的类型及解法
类型 图形 解法
A,B两点间不可达又不可视 测出两边及其夹角:BC=a,AC=b,
角C,运用余弦定理得AB=
A,B两点间可视但不可达(如人
与点B在河的同侧,点A在另一
侧) 测出两角及其夹边:BC=a,角B,
角C,用三角形内角和定理求出
第三角A=π-(B+C),根据正弦定
理得 = =
= ,则AB=
第二章 解三角形
A,B两点都不可达(如点A与B在
河的同侧,人在另一侧) 先在△ADC和△BDC中分别求
出AD,BD,再在△ABD中运用余
弦定理求解.
在△ADC中,由正弦定理可得
AD= .
在△BDC中,由正弦定理可得
BD= .
在△ABD中,由余弦定理可得AB
=
第二章 解三角形
1.方向角与方位角的范围都是 . ( )
2.北偏西10°指的是方位角. ( )
3.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α=β. ( √ )
4.坡面与铅垂平面的夹角为坡角. ( )
5.如图所示,甲看物体AB的视角为30°. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第二章 解三角形
6.如图所示,N位于M的北偏东60°方向上. ( )
第二章 解三角形
在解三角形实际应用题中,作图是最关键的一步,只有根据实际问题作出准
确的图形,才能如实地反映实际情况,将实际问题抽象成解三角形的数学模型,正
确解决问题.
要正确画出和理解实际问题中的平面图形应注意以下几点:
1.准确把握实际测量中的有关名词和术语,比如方向角与方位角的区别;
2.将空间问题转化成平面问题;
3.恰当构造三角形.
1 | 如何正确画出和理解解三角形实际问题中的平面图形
第二章 解三角形
某人在塔的正东方向沿着南偏西60°的方向前进40 m以后,望见塔在东北方
向上,若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔高.
思路点拨
正确画出示意图 明确已知量与图形的关系 选择恰当三角形求解.
第二章 解三角形
解析 画示意图如图所示,此人在C处,AB为塔高,他沿CD前进,CD=40 m,此时∠
DBF=45°,从点C到点D所测塔的仰角,只有点B到CD的距离最短时,仰角最大,这是
因为tan∠AEB= ,AB为定值.
过点B作BE⊥CD于点E,连接AE,
则∠AEB=30°.
第二章 解三角形
在△BDC中,CD=40 m,∠BCD=30°,∠DBC=135°,
由正弦定理,得 = ,
所以BD= =20 (m).
在Rt△BED中,∠BDE=180°-135°-30°=15°,
则BE=BDsin 15°=20 × =10( -1)m.
所以在Rt△ABE中,∠AEB=30°,
AB=BEtan 30°= (3- )m,
即所求的塔高为 (3- )m.
易错警示
首先明确本题是空间问题,要把图画得具有立体感,其次要理解把握方向角与仰
角,能正确作出方向角与仰角.
第二章 解三角形
解三角形实际应用题的基本思路:把实际问题里的条件和所求转换成三角形
中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解.具体步骤如下:
2 | 解三角形实际应用题的思路
第二章 解三角形
如图,洪泽湖湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC是湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2 km),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光
路线PM,PN,测得AM=2 km,AN=2 km.
(1)求线段MN的长度;
(2)若∠MPN=60°,求两条观光路线PM
与PN之和的最大值.
思路点拨
(1)把已知条件转换到三角形中 在△AMN中利用余弦定理求MN.
(2)设角 在△PMN中用正弦定理表示出PM,PN 用三角函数表示出PM+PN
用三角函数的知识求PM+PN的最大值.
第二章 解三角形
解析 (1)在△AMN中,由余弦定理得,MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos 120°=22+22-2×2×
2× =12,
所以MN=2 km(负值舍去),即线段MN的长度为2 km.
(2)设∠PMN=α,
因为∠MPN=60°,所以∠PNM=120°-α.
在△PMN中,由正弦定理,得
= = .
因为 = =4,
所以PM=4sin(120°-α)km,PN=4sin α km,
所以PM+PN=4sin(120°-α)+4sin α
第二章 解三角形
=4 +4sin α
=6sin α+2 cos α
=4 sin(α+30°)km.
因为0°<α<120°,所以30°<α+30°<150°,
所以当α+30°=90°,即α=60°时,PM+PN取得最大值,最大值为4 .
故两条观光路线PM与PN之和的最大值为4 km.
第二章 解三角形
导师点睛 将实际问题转化成数学问题时,要重视以下几个方面:
第一,解答距离问题时,注意基线选择要适当,选定或创建的三角形要确定,选择正
弦定理还是余弦定理要确定.
第二,解答高度问题时,要理解仰角、俯角的概念,仰角与俯角都在同一铅垂平面
内,把“高”放在直角三角形中,根据所给的角、边的关系,求出与高相关的一条
边长,然后求高.
第三,解答角度问题时,要注意弄清方位角、方向角的概念,区分它们与三角形内
角的关系,找出它们的内在联系.
第二章 解三角形
跟踪训练(2020江苏无锡一中高一下期中, )某人沿一条折线段组成的小路
前进.从A到B,方位角(从正北方向顺时针转到AB方向所成的角)是50°,距离是
1 km;从B到C,方位角是110°,距离是1 km;从C到D,方位角是140°,距离是(3+ )km.
试求A到D的距离,并求出从A到D的方位角.
信息提取 ①从A到B,方位角是50°,距离是1 km;②从B到C,方位角是110°,距离是
1 km;③从C到D,方位角是140°,距离是(3+ )km;④求A到D的距离及从A到D的方
位角.
数学建模 画出图形,并找出图中的三角形,将实际问题转化为解三角形问题,利
用余弦定理求AC,AD,再利用正弦定理得到 = ,从而得到∠CAD=4
5°,即可得到A到D的方位角.
第二章 解三角形
解析 如图所示,
连接AC,在△ABC中,∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,
又AB=BC=1 km,所以∠BAC=∠BCA=30°,
由余弦定理可得AC=
= km.
第二章 解三角形
在△ACD中,∠ACD=360°-140°-70°-30°=120°,CD=(3+ )km,
由余弦定理得AD
=
= = km,
即A到D的距离为 km.
由正弦定理得 = ,
即sin∠CAD= = ,
又∠CAD为三角形内角,所以∠CAD=45°,
所以A到D的方位角为50°+30°+45°=125°.
易错警示 解决本题时,要注意明确“方位角”这一概念,方位角是指由正北方
向顺时针旋转到目标方向线的水平角,其范围是0°~360°.
第二章 解三角形