2021—2022学年人教版九年级数学上册第22章二次函数复习学案

二次函数
第一节：二次函数的定义
定义：一般地，形如(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
例1 当m 取何值时，函数是关于x 的二次函数？并求出这时二次函数的解析式.
题型1 二次函数的定义
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝x（x＋1） B．x2y＝1 C．y＝2x3﹣2（x﹣1）2 D．y＝x﹣0.5
2．下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．若y=(2-m)是二次函数,则m等于( )
A．±2 B．2 C．-2 D．不能确定
4．已知函数y=(k+2)是关于x的二次函数，则k=________．
5．若是二次函数，则m的值为________．
6. 已知函数
（1）当m为何值时，此函数为二次函数
（2）当m为何值时，此函数为一次函数
题型2 二次函数的一般式及函数值
二次函数的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。
把下列二次函数化为一般形式，并指出其二次项、一次项系数及常数项
（2）
（4）
题型3 利用二次函数模型解决实际问题
9．如图，在中，，，点从点沿边、匀速运动到点，过点作交于点，线段，，，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B．C．D．
第二节：二次函数的函数图象和性质
1、二次函数（a ≠ 0）的图象与性质
例1 如图， 四个二次函数的图象分别对应① ；② ；③ ；④ ，且①与③，②与④分别关于x 轴对称.
(1)比较a，b，c，d 的大小；
(2)说明a 与c，b 与d 的数量关系.
题型1 二次函数的函数图象
1．抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　）
A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2
2．在同一直角坐标系中，二次函数、、的图像的共同点是( )
A．关于y轴对称，开口向上
B．关于y轴对称，当x＜0时，y随x 的增大而减小
C．关于y轴对称，最高点是原点
D．关于y轴对称，顶点坐标是（0，0）
3．函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B． C． D．
4．已知 a≠0，在同一坐标系中，y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_____．
6．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是________．
7．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2（x≥0）和抛物线C2：y＝（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C、D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E、F，则 的值为_____．
题型2 求待定系数问题
8．若抛物线y=ax2经过点A (，－9)，则其解析式为_______________．
9．已知二次函数，如果当x=-1时y=2，那么当x=2时，y=_____．
10．二次函数有最低点，则m=__________
题型3 比较函数值大小
11．已知点（-2，），（0，），（1，）都在函数的图象上，则( )
A．＞＞ B．＞＞
C．＞＞ D．＞＞
12．已知a<－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y113．二次函数，点在函数图像上，当时，_(填“﹥”或“﹤”)．
题型4 利用函数性质解决问题
14．函数的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 2 0 2 …
根据表格回答：
（1）_________， ________；
（2）函数的解析式为 _________，定义域是 ________；
（3）请再举一些对应值，猜测该函数的图像关于________轴对称．
15. 已知函数是关于x 的二次函数.
(1)求满足条件的m 的值.
(2)当m 为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点的坐标，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
(3)当m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y 随x 的增大而减小？
16. 如图，已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）．
（1）求点A、点B的坐标； （2）连接，，求的面积．
第三节：二次函数的函数图象和性质
1、二次函数 的图象与二次函数 的图象的关系它们的形状（开口大小、方向）相同，只是上、下位置不同，二次函数的图象可由二次函数的图象上下平移|k| 个单位长度得到.
题型1 二次函数的图像及性质
1．抛物线y=x2+1的图象大致是( )
A． B． C． D．
2．二次函数y＝－x2－1的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是(　　)
A． B． C． D．
4．抛物线 的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．函数y＝x2－4的图象与y轴的交点坐标是（ 　）
A．（2，0） B．（－2，0） C．（0，4） D．（0，－4）
6．二次函数图像的对称轴是（ ）．
A．直线x=0 B．直线x=2 C．直线x=4 D．直线x= 4
7．点均在抛物线上，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．下列点中，一定在二次函数y＝x2﹣1图象上的是（　　）
A．（0，0） B．（1，1） C．（1，0） D．（0，1）
9．若二次函数的图像经过点、，则、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
10．二次函数y＝﹣2x2﹣1图象的顶点坐标为（　　）
A．（0，0） B．（0，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
11. 如图抛物线经过正方形OBAC的顶点A,B,C,则c= .
12. 已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离始终相等。如图，点M的坐标为，P是抛物线上的一个动点，则周长的最小值是 。
题型2 二次函数与二次函数的
13．二次函数y=x2的图象向上平移3个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ）．
A． B． C． D．
14. 能否通过上下平移二次函数的图像，使得新得到的函数图像过点（3，-3）？若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由。
15. 已知抛物线，当1≤x ≤5时，y的最大值是________ ．
16. 已知抛物线，当时，y的最大值是 .
17. 已知：抛物线与直线交于点（m，3）．
（1）求m和n的值；
（2）试说出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当x何值时，二次函数中y随x的增大而减小；
（4）函数与的图象是否还存在其它交点，若存在，请求出交点坐标；若没有，请说明理由．
第四节：二次函数的函数图象和性质
1. 二次函数的图象与二次函数 的图象的关系它们的形状（开口大小、方向）相同，只是左、右位置不同，二次函数 的图象可由二次函数的图象左右平移|h| 个单位长度得到.
题型1 二次函数的函数图象和性质
1．抛物线顶点坐标是
A． B． C． D．
2．在一次函数y=kx+b（k≠0）中，y随x的增大而减小，则二次函数y=k（x﹣1）2的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
3．已知A(-4，y1)，B(-3，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y=-2(x+2)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为___.
4. 已知A(，y1），B(1，y2），C(4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
题型2 二次函数与之间的关系
5．函数的图象可以由函数的图象( )得到
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
6. 抛物线向左平移3个单位长度，所得到的抛物线所对应的函数解析式为（ ）
7. 如图，坐标平面内有一顶点为A的抛物线，此抛物线与直线交于B,C两点，为正三角形，若A点的坐标为（-3，0），则此抛物线与y轴的交点坐标是 。
8.如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度．把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B．
（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；
（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．
第五节：二次函数的函数图象和性质
题型1 二次函数的函数图象和性质
1．二次函数y＝﹣（x－2）2＋1的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
2．二次函数 y＝（x﹣2）2+3，当 0≤x≤5 时，y 的取值范围为（ ）
A．3≤y≤12 B．2≤y≤12 C．7≤y≤12 D．3≤y≤7
3．如果点是抛物线上两个不同的点，那么的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．对于抛物线y＝﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（　　）
①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x＝﹣2；
③图象不经过第一象限； ④当x＞2时，y随x的增大而减小．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_____________
6．若二次函数y＝a（x＋h）2＋k的图象经过(－3，0)，(5，0)两点，则h的值为________
题型2 二次函数的平移
将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（ ）
8. 不论取任何实数，抛物线的顶点都（ ）．
在直线上 B．在直线上
C．在直线上 D．不确定
9. 已知二次函数y＝(x－2a)2＋(a－1)(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝－1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是____________________．
10.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是，过点A作轴，垂足为B，连接，抛物线经过点A，与x轴正半轴交于点C．
（1）求c的值；
（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围．
题型3 函数值大小比较
11．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x－1）2＋1的图象上．若x1＞x2＞1，则y1________y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
12．已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .
13. 如图，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，点与关于抛物线的对称轴对称．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)点是抛物线上的一点，当的面积是8，求出点的坐标；
(3)过直线下方的抛物线上一点作轴的平行线，与直线交于点，已知点的横坐标是，试用含的式子表示的长及△ADM的面积，并求当的长最大时的值．
第六节：二次函数的函数图象和性质
二次函数的各项系数的符号与图象位置间的关系：
(1)a决定抛物线的开口方向，简记为“正上负下”；
(2)c决定抛物线与y轴的交点位置，简记为“上正下负原点0”；
(3)a、b的符号共同决定对称轴x＝的位置，简记为：“左同右异y轴0”；可以由各项系数的符号来决定图象的位置，也可以由图象的位置来判断各项系数的符号．
题型1 二次函数的函数图象和性质
1．抛物线的顶点坐标是( )
A． B． C． D．
2．二次函数的顶点和对称轴分别是 （　　　）
A．，直线x=1 B．，直线x=4
C．，直线 D．，直线
3．若二次函数的图像对称轴为直线经过不同的5点，，，，，则，，的大小关系（ ）
A． B． C． D．
4．点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（　　）
A． B．4 C．﹣ D．﹣
5．已知关于x的二次函数y＝x2＋(2－a)x＋5，当1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤－2 C．a≥6 D．a＜0
题型2 二次函数与二次函数之间的转换
6．二次函数图象的顶点坐标是 ．
7．已知抛物线的顶点坐标为（3，-1），则b=_____，c=______．
8．指出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和变化情况
（1）
（2）
9．已知二次函数的图像过抛物线的顶点和坐标原点．
(1)求二次函数的解析式
(2)判断点A（-2，5）是否在这个二次函数的图像上 ．
10．抛物线y＝﹣x2＋（m－1）x＋m与y轴交于(0，3)点，
（1）求m的值；
（2）当x取何值时，抛物线在x轴的上方．
题型3 二次函数的图像与之间的关系
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+c＜，其中正确结论的个数是（　　）
A．②③④ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑤
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
13．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，直线x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c＜0；③a-b+c=-9a；④若（-3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
专题1 二次函数解析式的求法
待定系数法求二次函数解析式
用一般式（三点式）确定二次函数解析式
1．已知二次函数图像经过下列点，求二次函数的解析式：
（1）（0，-1），（1，-1），（2，3）
（2）（0，0），（2，0），（-3，3）
2．已知二次函数图像经过下列点，求二次函数的解析式：
（1）（0，-1），（1，-1），（2，3）
（2）（0，0），（2，0），（-3，3）
用顶点式确定二次函数解析式
若抛物线的顶点是，且经过，则抛物线的函数解析式为
二次函数的图象的顶点在坐标轴上，则的值为__________．
5．已知抛物线顶点为（2，3），且经过（1，2）求二次函数解析式．
用交点式确定二次函数解析式
抛物线与x轴交与，B(- 3，0)两点,求该抛物线的解析式
利用对称确定二次函数解析式
已知抛物线的对称轴为直线并且与x轴的一个交点为（3，0），那么它所对应的函数解析式是 。
利用平移求二次函数解析式
7．将抛物线的图象绕着顶点旋转后得到的抛物线是_____________
8．将抛物线绕顶点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
9．将抛物线的图象绕原点旋转，则旋转后的抛物线的函数关系式（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数的图像以x轴为对称轴翻折，翻折后它的函数解析式是_____．
利用直线与二次函数交点求解解析式
11．二次函数与直线的图象交于点
求，的值；
写出二次函数的表达式，并指出取何值时该表达式随的增大而增大？
写出该抛物线的顶点坐标和对称轴
12．如图，抛物线y＝ax2+bx过点P（﹣1，5），A（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上有一点B，当PA⊥PB时，求点B的坐标．
13．一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图象的顶点.
（1）求k，a，c的值.
（2）过点A(0，m)(0由表格信息求二次函数解析式
14．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值：
x … 0 1 2 …
y … ﹣1 m ﹣1 n …
则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最大值；②不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2；③方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣＜x＜0和2＜x＜之间；④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；其中正确的是（　　）
A．②③ B．②④ C．①③ D．③④
15．二次函数（a，b，c为常数且a≠0）中的与的部分对应值如下表：
0 1 3
3 5 3
现给出如下四个结论：①；② 当时，的值随值的增大而减小；③是方程的一个根；④当时，，其中正确结论的序号为：__ __．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …
y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3的根是_____．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：
（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；
（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．
18．根据学习函数的经验，探究函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4（b＜0）的图象和性质：
（1）下表给出了部分x，y的取值；
x L ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 L
y L 3 0 ﹣1 0 3 0 ﹣1 0 3 L
由上表可知，a＝　 　，b＝　 　；
（2）用你喜欢的方式在坐标系中画出函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4的图象；
（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质；
（4）若方程x2+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解，请直接写出m的取值范围．
几何应用中求二次函数解析式
19. 已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
20. 如图，抛物线交X轴于A、B两点，交Y轴于点C ，，求抛物线的解析式；
专题2 二次函数图像与系数之间的关系
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①3a＋b＜0；②a﹣b＋c＜0；③c＞0；④a＋b＞0．其中正确的结论有（ ）
A．仅①②③ B．仅②③④
C．仅①②④ D．①②③④
2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列命题中：①b＝﹣2a；②此抛物线向下移动c个单位后过点（2，0）；③﹣1＜a＜﹣；④方程x2﹣2x+＝0有实数根，结论正确的个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．
其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．在同一直角坐标系中，函数和函数(m是常数，且)的图象可能是( )
A．B．C． D．
5．已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
专题3 二次函数与一元二次方程和不等式之间的关系
二次函数与一元二次方程之间的关系
1．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根分别是（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线经过第四象限的点），则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个大于1的不相等实数根 B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根 D．没有实数根
3．抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值为________．
4．抛物线经过、两点，若关于的一元二次方程的一个解为，则__________．
5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；
（3）在（2）的条件下，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若∠DAB=60 ，直接写出D点的坐标．
二次函数与不等式之间的关系
6．抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
B．或 C．或 D．
7．如图，一次函数y1=kx+n（k≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，5）、B（9，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（　　）
A．﹣1≤x≤9 B．﹣1≤x＜9 C．﹣1＜x≤9 D．x≤﹣1或x≥9
8．如图，抛物线和直线，当时，的取值范围是（ ）
B．或 C．或 D．
9．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．
10．如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴交于，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集．
专题4 二次函数与几何结合问题
二次函数中的距离最值问题
1. P是抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别是M，N，则PM+PN的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．5
2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出的最小值；
（3）若抛物线上有一动点Q，使的面积为6，求点Q的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．
①求线段MN的最大值；
②当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．
二次函数中几何面积/周长最值问题
4．已知二次函数的图象以（－1，4）为顶点，且过点（2，－5）,x轴交点为A，B，（A在B左侧）．与y轴交于点C，
（1）求该函数的关系式；
（2）求△ABC的面积．
（3）若在抛物线上有一点M，使△ABM的面积是△ABC的面积的2倍，求M点坐标．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．
6．如图1，抛物线与轴交于点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点.
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是轴上的动点，求的最小周长．
（3）如图2，点是抛物线上一个动点，分别与交于点．
①若动点在第一象限，问的值是否发生变化．若不变，求出其值；若发生变化，请说明理由．
②若动点在第二象限，请给出①中类似的关于与长的结论（不必证明）．
二次函数中的存在问题
7．直线与x轴y轴分别交于点A,B，抛物线经过点A,B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P,
（1）求的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q,使是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；
8．如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（5 ，0）两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PE=3+4EF，求m的值；
（3）是否存在点P，使得△PCE与△DEF相似．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．综合与探究
如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；
(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
利用直线平移与二次函数图像交点情况求字母取值范围
【中考.菏泽】如图，在平面直角坐标系中，抛物线过，两点。
求抛物线的解析式；
记抛物线顶点为D，求的面积；
若直线向上平移c个单位所得直线与抛物线段BCD（包括两个端点B,C）部分有两个交点，求c的取值范围。
专题5二次函数实际问题
题型1 利用二次函数解决销售利润中的最值问题
求最大利润问题
例1．某超市购进一批成本为每件元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量(件)与销售单价(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
（2）若超市按单价不低于成本价，且不高于元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润(元)最大
（3）若超市要使销售该商品每天获得的利润为元，则每天的销售量应为多少件
例2．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．
（1）写出月销售利润（单位：元）与售价（单位：元/千克）之间的函数关系式．
（2）商场将在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（3）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润．
例3．某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为元．
（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
例4．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．
优选销售方案
例5．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由
例6．浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件．
（1）写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？
（3）商店的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的24%；
方案B：为了满足市场需要，每天的销售量不少于120件．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
题型2 利用建立二次函数模型解决实际中抛物线型最值问题
投球问题
例7．在一次篮球比赛中，如图队员甲正在投篮.已知球出手时离地面m，与篮圈中心的水平距离为7 m，球出手后水平距离为4 m时达到最大高度4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，那么他能否获得成功？
例8．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，如果每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球从发射出到第一次落在桌面的运行过程中，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），距桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
t（秒） 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …
x（米） 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …
y（米） 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …
（1）如果y是t的函数，
①如图，在平面直角坐标系tOy中，描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；
②当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）如果y是关于x的二次函数，那么乒乓球第一次落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
喷水问题
例9．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为_____．
例10. 某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
例11．某小区有一半径为8m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线．在距水池中心3m处达到最高，高度为5m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；
（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
拱桥问题
例12 有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为米，拱顶距离水平面米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行(　　)
A． B． C． D．
例13．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m.
例14．廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米精确到1米
题型3 利用函数思想解决几何问题中的最值问题
例15．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
例16．如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为xm，窗户的透光面积为ym2（铝合金条的宽度不计）．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．
例17．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，面积为．
（1）求与的函数解析式并求出的取值范围．
（2）当为多少时，矩形花圃面积最大，并求出最大值．
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为ts，四边形APQC的面积为ymm2．
（1）y与t之间的函数关系式；
（2）求自变量t的取值范围；
（3）四边形APQC的面积能否等于172mm2．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
题型4 增长率问题
某楼盘准备以每平方米16000元的均价对外销售，由于受有关房地产的新政策影响，购房者持币观望．开发商为促进销售，对价格进行了连续两次下调，结果以每平方米14440元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率为（　　）
A．5% B．8% C．10% D．11%
例20．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2017年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（　　）
A．y＝100（1﹣x）2
B．y＝100（1+x）2
C．y＝
D．y＝100+100（1+x）+100（1+x）2
例21．小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为y元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=500(x+1)2 B．y=x2+500 C．y=x2+500x D．y=x2+5x
例22．据农业农村部新闻部办公室2018年10月15日消息，江宁省发现疑似非洲猪瘟疫情，此次猪瘟疫情发病急，蔓延速度快.当政府和企业迅速进行了猪瘟疫情排查和处置，在疫情排查过程中，某农场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病，
(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪
(2)若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头吗