2021-2022学年北师大版数学八年级下册1.3线段的垂直平分线教案

1.3线段的垂直平分线
一、教学目标
1．要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题。
2．能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。
3．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。
二、课时安排
1课时
三、教学重点
能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理及相关的结论。
2、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和满足条件的等腰三角形。
四、教学难点
根据命题写出已知求证和它的逆命题。
2、证明三线共点。
五、教学过程
（一）导入新课
如图：A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离年相等，码头应建立在什么位置？
引导学生回忆以前学过的线段的垂直平分线的性质：
线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（多媒体演示）
引出本节课的课题。
（二）讲授新课
1、线段垂直平分线的性质定理和判定定理
在前面我们是通过折纸得到了这个性质，现在你们能用数学方法严格证明这个结论吗？
(1)引导学生分析这个命题的题设和结论，并根据命题画出图形，写出已知求证，并证明它。
已知：如图，点P是线段AB的垂直平分线MN上的任意一点，
求证：MA=MB
证明略.
(2)你能写出它的逆命题吗？它是真命题吗？如果是请证明它。
逆命题：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
已知：线段AB，P点是平面上一点，且PA=PB。
求证：P点在线段AB的垂直平分线上。
（多种证明）
我们已经完成了线段垂直平分线的性质定理和判定定理的证明，请同学们思考一下我们可以用这两个定理来证明什么？
（引导学生得出可以用这两个定理证明线段相等、两条直线互相垂直、用尺规作线段的垂直平分线）
例1：如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC边于点D。
若BD=3，则AD=？
若∠ADC=70°，则∠B=？
若BC=5，△ADC的周长为7，则AC=？
（从例1的学习中，我们可以看到用线段的垂直平分线的性质来证明线段相等和角等）
例2：如图，A、B、C是直线l上的点，M、N在直线l的两侧，且MA=NA，MB=NB，问MN与直线l有什么样的位置关系？
2、用尺规作线段的垂直平分线
现在我们回到刚才的建造码头的例题，刚才我们已经找到了码头的位置了，你能用刚才讲过的线段垂直平分线的性质定理和判定定理探索如何用尺规作出它的位置吗？
已知：线段AB
求作：线段AB的垂直平分线
作法：1、分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C、D。
2、作直线CD。
直线CD就是线段AB的垂直平分线。
你能从上面的作法中说明直线CD就是线段AB的垂直平分线吗？
（三）重难点精讲
3、探索三角形三条边的垂直平分线相交于一点
（1）请你通过折叠的方法找出一个锐角三角形纸片每条边的垂直平分线。观察这三条垂直平分线,你发现了什么
（2）请你用利用尺规作出钝角三角形三条边的垂直平分线。再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么 与同伴交流。
通过学生的操作探索得出三角形三边的垂直平分线交于一点，并能说出证明过程。
（3）证明三角形三边的垂直平分线交于一点
如图：
在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点O，连接AO、BO、OC。
∵点O在线段AB的垂直平分线上
∴OA=OB
同理可证：OB=OC
∴OA=OC
∴点O在线段AC的垂直平分线上。
说明：要想证明三条直线相交于一点，只要能证明其中两条直线的交点也在另一条直线上即可。
（4）从上面的操作过程中，我们还能发现：锐角三角形的三边垂直平分线的交点在形内；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在形外；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在斜边的中点；
（4）从上面的证明中猜想三角形三边的垂直平分线交点的性质。
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
例2、为筹办一个大型运动会,某市政府打算修建一个大型体育中心。在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置应当与该城市的三个城镇中心(如图中P，Q，R表示)的距离相等。根据上述建议，请你试在图(1)中画出体育中心G的位置。
例3：
（1）你能作出一个底边为3cm的等腰三角形吗？你能作出几个？它们全等吗？
（2）你能作出一个底边为3cm，底边上的高为4cm的等腰三角形吗？你能作出几个？它们全等吗？
例4：在一个矩形铁皮ABCD上有一个点P，现要在这个铁皮上剪出一个等腰直角三角形，使得点P是这个三角形的直角顶点，并且斜边要落在AB边上，该如何剪？
（四）归纳小结
本节课我们主要学习了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，和如何利用这两个定理来证明线段相等、两角相等、两直线互相垂直等问题，并学会了如何用尺规作线段的垂直平分线，和利用线段垂直平分线求作三角形。还学会了证明三线共点的方法。
（五）随堂检测
1．已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是 （ ）
A.∠CAD<∠CBD B.∠CAD＝∠CBD C.∠CAD>∠CBD D.无法判断
2．如图所示，在△ABC中，AD垂直平分扫BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（ ）
A. AB＋DB>DE B. AB＋DB3．到线段AB两个端点距离相等的点，在 .
4．直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线交AB于D，若AD＝2 cm，则BD＝ cm．
六、板书设计
1.3线段的垂直平分线
1. 线段垂直平分线性质及判定 例1
2. 线段垂直平分线的画法 例2
3. 三角形各边垂直平分线的特点 ………
七、作业布置
课本习题1.8第1、2、4题。
备用:已知如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AB于点E，CD交BE于点F。
求证：BE垂直平分CD。
证明一：利用垂直平分线的判定，去证明ED=EC，；利用直线的基本性质“两点确定一条直线”得到BE是CD的垂直平分线。
证明二：抓住垂直平分线的定义，利用等腰三角形的三线合一，得到BE是CD的垂直平分线。
八、教学反思
理解和掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用定理进行证明或计算；会画线段垂直平分线；以及掌握三角形三条边的中垂线的特点，是本节课的主要内容。我们的教学通过动手操作、猜想，证明、应用的过程，渗透集合的观点和用交轨法确定某一个点的位置的思想方法；通过参与课堂活动，知道数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务，提高学习数学的兴趣。