浙江省杭州市七县市2021-2022学年高二上学期期末学业水平测试数学试题（Word版，含答案）

杭州市七县市2021-2022学年高二上学期期末学业水平测试
数学试卷
考生须知：
本卷满分 150 分， 考试时间 120 分钟．
答题前， 请在答题卷的相应位置填写姓名、准考证号、试场号、座位号．
所有答案都必须做在答题卷标定的位置上， 务必注意试题序号和答题序号相对应．
考试结束后， 只需上交答题卷．
一、选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是 符合题目要求的。
已知全集 ， 集合 ， 则
A．
B．
C．
D．
若复数 满足 (其中 为虚数单位)， 则 的虚部是 ( )
A．
B．
C． 2
D．
已知 与拋物线 的准线相切． 则
A．
B． 16
C．
D． 8
下列命题中， 不正确的是（ ）
A． 若事件 互斥， 则
B． 若事件 互为独立， 则
C． 若事件 两两互斥， 则
D． 若事件 两两独立， 则
如图所示， 是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形， 它由一个圆锥和一个半球组合而
成， 其中， 圆锥的底面和球的直径都是 ， 圆锥的高是 ． 要对 1000 个这样
的台灯表面涂一层胶， 如果每平方米需要涂胶 100 克， 则共需胶 ( ) 克．
A．
B．
C．
D．
已知函数 ， 其图象关于点 成中心对称， 相邻两条 对称轴的距离为 ， 且对任意 ， 都有 ， 则在下列区间中， 为单 调递减函数的是 ( )
A．
B．
C．
D．
已知函数 的零点分别为 ， 下列各式 正确的是 ( )
A．
B．
C．
D．
为实数， 函数 在区间 上的最大值记为 ． 当 取得最小值时， )
A．
B．
C．
D． 1
二、选择题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分， 有选错的得 0 分， 部分选对的得 2 分。
若椭圆的焦点为 ， 长轴长为 ， 则椭圆上的点 满足 ( )
A．
B．
C．
D．
设 为两个平面， 则 的必要不充分条件是 (
A． 内有无数条直线与 平行
B． 内有两条相交直线与 平行．
C． 垂直于同一条直线
D． 垂直于同一平面
已知点 在 上， 则下列命题中正确的是 ( )
A． ， 则 的值是
B． ， 则 的值是
C． ， 则 的范围是
D． ， 且 ， 则 的范围是
定义全集 的子集 的特征函数 ．已知 ， 则以下结论 中正确的是 ( )
A． 若 ， 则对于任意 ， 都有
B． 对于任意 ， 都有
C． 对于任意 ， 都有
D． 对于任意 ， 都有
三、填空题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分， 16 题第 1 空 2 分， 第 2 空 3 分。
________．
已知 ， 则 ________．
某地现有耕地 10000 公顷．规划 10 年后粮食单产比现在增加 ， 人均粮食占有量比现在至少 提高 。如果人口年增长率为 ‰ (即千分之三)， 那么耕地平均每年至多只能减少________公顷（精确到小数点后一位， ）．
(备注：粮食单产 ， 人均粮食占有量 )
过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点， 点 在直线 上，则 的最大值是________ ； 若 为正三角形， 则其边长为________．
四、解答题： 本题包括 6 小题， 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(本小题满分 10 分)已知 分别为 的三个内角 的对边， 在①，②，③ 这三个条件中任选一个， 并解答 下列问题(如果选择多个条件分别解答， 按第一个解答计分)：
(1) 求角 ；
(2)若 ， 求 边上的中线长。
(本小题满分 12 分)某城市为节能减排， 提出了在保障生活必需的基础上， “低碳生活， 节 约用电” 的倡议。以下是某社区随机提取的 100 户居民的月平均用电量 (单位： 度) 的数据， 根据这些数据， 以 ， 240)， [240， 260)， [260， 280)， [280， 300]分组 的频率分布直方图如图所示．
(1) 求月平均用电量的 分位数 (精确到小数 点后 1 位）；
(2) 在月平均用电量最小组 和最大组 [280， 300]用户中， 各随机抽取 1 户到社区做 用电情况交流， 其中最小组的甲与最大组的 乙恰有一人被选到的概率。
(本小题满分 12 分) 莱昂哈德 欧拉 (Leonhard Euler， 瑞士数学家)， 1765 年在他的著作 《三 角形的几何学》中首次提出定理： 三角形的重心(三条中线的交点)、垂心 (三条高线的交点) 和外心 (三条中垂线的交点) 共线． 这条线被后人称为三角形的欧拉线． 已知 的顶点 ．
(1) 求 的欧拉线方程；
(2) 记 的外接圆的圆心为 ， 直线 与圆 交于 两点， 且 ， 求 的面积最大值．
(本小题满分 12 分)如图， 在四棱锥 中， 底面 是正方形， 侧棱 底面 ， 二面角 的大小是 分别是 的中点， 交 于 点 ．
(1) 求证： 四点共面；
(2) 设 是直线 的中点， 求直线 与平面 所成角的正弦值。
(本小题满分 12 分) 已知双曲线 的离心率 ， 左焦点 到其渐近线的距离为 ．
(1) 求双曲线 的方程；
(2) 设 是 轴上的点， 过 作两直线分别交双曲线 的左支于 两点和 两点， 若 两点的中点为 两点的中点为 为坐标原点， 求两 直线 OM 和 ON 的斜率之和。
(本小题满分 12 分)我们知道， 函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数， 有同学发现了更一般结论： 函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数． 试根据此结论解答下列问题：
(1) 若函数 满足对任意的实数 ， 恒有 ， 求 的 值， 并判断此函数图象是否中心对称图形 若是， 请求出对称中心坐标；（2）若（1）中的函数还满足 时， ， 求不等式 的解集；
(3) 若函数 ． 若 与 的图象有 3 个不同的交点 其中 ， 且． ， 求 值。