岳阳市临湘市2021-2022学年高二上学期期末教学质量检测
数学
考生注意：1．本试卷分试题卷和答题卷，请将答案写在答题卷上，只交答题卷。
2．时量150分钟，满分150分。
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）
1．向量，向量，若，则实数
A． B．1 C． D．
2．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则
A．
B．
C．
D．
3．以轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为
A． B．
C．或 D．或
4．圆关于直线对称，则的最小值是
A． B． C． D．
5．某研究所计划建设n个实验室，从第1实验室到第n实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用多15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元.现在总共有建设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是
A．10 B．11 C．12 D．13
6．已知等比数列的各项均为正数，且，则
A．35 B．5 C． D．
7．从直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为、，则最大时，四边形（为坐标原点）面积是
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若△是等腰三角形，且，则△的周长为
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．）
9．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是
A． B．
C． D．
10．圆和圆的交点为A，B，则有
A．公共弦所在直线方程为
B．线段中垂线方程为
C．公共弦的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线距离的最大值为
11．已知数列{an}的n项和为，则下列说法正确的是
A． B．S16为Sn的最小值
C． D．使得成立的n的最大值为33
12．已知椭圆的左、右焦点分别为 ，且，点 在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是
A．的最小值为
B．椭圆的短轴长可能为2
C．椭圆的离心率的取值范围为
D．若，则椭圆 的长轴长为
三、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知等比数列满足，则_________．
14．已知圆，圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为________．
15．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是_______．
16．如图，椭圆的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点P，若过P 的直线与圆相切，则直线的斜率______；椭圆的离心率______．
四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）直线经过两直线和的交点．
（1）若直线与直线平行，求直线的方程；
（2）若点到直线的距离为，求直线的方程．
18．（本小题满分12分）已知等差数列满足：，，数列的前n项和为．
（1）求及；
（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和.
19．（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱中，
（1）求二面角的余弦值；
（2）若点P为棱的中点，点Q在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
20．（本小题满分12分）已知椭圆：过点，且离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于，两点，，求△的面积．
21．（本小题满分12分）已知数列满足，．
（1）设，求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数m，使得对任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由．
22．（本小题满分12分）如图，方程为的抛物线，其上一点到焦点的距离为，直线与交于、两点（点在轴左侧，点在轴右侧），与轴交于点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求证直线过定点，并求出定点坐标；
（3）若，，求直线的斜率的值.
(
高二数学试卷 第
1
页（共4页）
)2021 年下学期教学质量检测试卷
高二数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5分，共计 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C C C B B A
二、多项选择题：（本题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分）
题号 9 10 11 12
答案 AC ABD AC ACD
三、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．84 14． (x 6)2 (y 1)2 1
2 5 515． ， ∪ ，+
3
3
16． 3 1
3 3
四、解答题：（本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（1）3x y 4 0 （2） x 2或12x 5y 34 0
3x 4y 2 0 x 2
（1）解：由 ，解得 ，
2x y 2 0
y 2
所以两直线 l1 : 3x 4y 2 0和 l2 : 2x y 2 0的交点为 ( 2,2)．
当直线 l与直线3x y 1 0平行，设 l的方程为3x y m 0，
把点 ( 2,2)代入求得m 4，可得 l的方程为3x y 4 0．
（2）解：斜率不存在时，直线 l的方程为 x 2，满足点 A(3,1)到直线 l的距离为 5．
当 l的斜率存在时，设直限 l的方程为 y 2 k(x 2)，即 kx y 2k 2 0，
| 3k 1 2k 2 |
则点A到直线 l的距离为 5，求得 k 12 2 ，k 1 5
12
故 l的方程为 x y 2k 2 0，即12x 5y 34 0．
5
综上，直线 l的方程为 x 2或12x 5y 34 0．
1
an a 7 a a 2618.解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 d，因为 3 ， 5 7 ，所以
a1 d 5
2a1 10d 26 a1 3,d 2， 解得 ，
n(n-1)
an 3 （2 n 1)=2n+1 S
3n+ 2
n 2 n2所以 ； = = +2n .
b n 1 n 1
（Ⅱ）由已知得 n
an 3 an 2n+1 b a 3，由（Ⅰ）知 ，所以 n n ，
n
T = S (1 3 3n 1 2 3 1n n ) n 2n .2
2
19.【答案】（1） ，（2） AQ 1
3
【解析】解（1）在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，
因为 AA1 平面 ABCD， AB 平面 ABCD， AD 平面 ABCD，
所以 AB AA1, AD AA1,
因为 AB AD，所以以 A为原点，分别以 AB，AD，AA1所在的直线为 x轴， y轴， z轴， 建
立如图所示的空间直角坐标系，因为 AB AD AA1 2BC 2，
所以 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0, 2,0), A1(0,0, 2),B1(2,0, 2),C1(2,1, 2),D1(0, 2, 2) ,
所以 B1D1 ( 2,2,0),B1C (0,1, 2)，
n B1D1 2x 2y 0
设平面 B1CD1的一个法向量为 n (x, y, z)，则 ，令 x 2，则n (2,2,1)，
n B1C y 2z 0
因为 AB 平面 B1C1C，所以平面 B1C1C的一个法向量为
uuur
AB (2,0,0)，
设二面角C1 B1C D1的平面角为 ，由图可知 为锐角，
2
所以二面角C1 B1C
n AB 4 2
D1的余弦值为 cos n AB 3 2 3
（2）设 AQ (0 2)，则Q( , 0,0)，
因为点 P为 AD的中点，所以 P(0,1,0)，则 PQ ( , 1,0),B1Q ( 2,0, 2)，
m PQ x y 0
设平面B1PQ
1 1
的一个法向量为m (x1, y1, z1)，则 ，令 x1 2，则
m B1Q ( 2)x1 2z1 0
m (2, 2 , 2) ，
设直线B1C与平面 B1PQ所成角的大小为 ，
4 5
因为直线 B1C与平面 B1PQ所成角的正弦值为 ，所以
15
sin B1C m 4 4 5 ，
BC m 5 4 4 21 ( 2) 2 15
1
解得 1或 （舍去）所以 AQ 1
5
2
20. x 10【答案】（Ⅰ） y2 1；（Ⅱ） .
2 3
2 3 1 3 1 3
【解析】（Ⅰ）将 , 代入椭圆方程可得 2
2 2 2
4 1，即 1①
a b2 2a
2 4b2
2
e c a b
2 2
因为离心率 ，即 a2 2b2，②
a a 2
x2
由①②解得 b2 1， a2 2，故椭圆C的标准方程为 y2 1．
2
（Ⅱ）由题意可得 F1 1,0 ，F2 1,0 ，设直线 l的方程为 x my 1．
2
将直线 l x的方程代入 y2 1 m2中，得 2 y2 2my 1 0，
2
2m 1
设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，则 y1 y2 2 ， y1y2 2 ．m 2 m 2
所以 AF1 x1 1, y1 ， BF1 x2 1, y2 ，
3
所以 AF1 BF1 x1 1 x2 1 y1y2 x1 x2 x1x2 1 y1y2
2 2 2 2
m y1 y2 2 my1 1 my2 1 1 y y 4 2m m 2m 1 7 m1 2 2 m 2 m2 2 m2 2 ， 2 m 2 m2 2
7 m2 1 2 1
由 22 ，解得m 4，所以 y1 y2 ， y1y2 ，m 2 2 3 6
S 1 F F y y 1 2 y y 2 4y y 10因此 ABF 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
．
3
n 1
21．（1） an ；（2）存在，3．n
b b 1 1 1 1 a 1n 1 n n
（1）证明：∵ a 1 a 1 2 1
1
n 1 n 1 an 1 an 1 an 1 ，
an
又由 a1＝2，得 b1＝1，所以数列{bn}是首项为 1，公差为 1的等差数列，
1 n 1
所以 bn＝1+(n－1)×1＝n，由bn a a n 1
，得 n ．n
2a 2 4 1 1
（2）解：∵ c n ， cnc 2 n n n n 2 1 n n 2 n n 2 ，
T 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 n 2 1 3 ，
3 2 4 n n 2 2 n 1 n 2
1
依题意，要使T *n c c 对于 n∈N 恒成立，m m 1
m m 1
只需 3，解得 m≥3或 m≤-4．
4
又 m＞0，所以 m≥3，所以正整数 m的最小值为 3．
22. 5【答案】（1） x2 4y；（2）证明见解析，定点为 0,2 ；（3） .
2
p
【解析】（1）因为抛物线C的方程为 x2 2 py，所以抛物线C的准线方程为 y ，
2
Q a, 2 p因为抛物线C上一点 到焦点 F 的距离为3，所以结合抛物线定义易知，2 3，解
2
得 p 2，
故抛物线C的方程为 x2 4y， F 0,1 .
（2）由题意易知直线 AB的斜率定存在，
设直线 AB的方程为 y kx b，
4
y kx b
联立 2 ，整理得x 4y x
2 4kx 4b 0，
设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，则 x1 x2 4k， x1x2 4b，
2 2 2 2
故 y1y2 = k x1x2 + kb(x1 + x2)+b = -4bk + 4kb +b2 = b2 ，
因为OA OB 4，
所以 x 21x2 y1y2 4，即b 4b 4 0，解得b 2，
故直线 AB的方程为 y kx 2，过定点 0,2 .
（3）设直线OA的方程为 y tx，
y tx
联立 x2 ，整理得 4y x
2 - 4tx = 0，解得 x 0或4t， A 4t,4t2 ，
K 4t
2 -5 4t2 -5
则 AD = ，直线 AB方程为 y = x +5，4t 4t
2
y 4t 5 x 5 4t 2 -5
联立 4t ，整理得 x2 - x - 20= 0，
x
2 4y t
5 2
解得 x 4t或 - ， 5 25 则OA = (4t, 4tt )，B BF 5 25（ ， ） （ ，1 ）
t 4t2 t 4t2
因为OA BF 5，所以OA×BF = 20+4t2 - 25 = 0，解得 t =± ，
2
t 5 5结合图像易知， = - ，即直线OA的斜率 t的值为
2 2
52021 年下学期教学质量检测参考答案
高二 数学
一、单项选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5分，共计 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C C C B B A
二、多项选择题：（本题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分）
题号 9 10 11 12
答案 AC ABD AC ACD
三、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．84 14． (x 6)2 (y 1)2 1
15． 2
5 5
， ∪ ，+ 16
3
．
3 3 3 1 3
四、解答题：（本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（1）3x y 4 0 （2） x 2或12x 5y 34 0
3x 4y 2 0 x 2
（1）解：由 ，解得 ，
2x y 2 0
y 2
所以两直线 l1 : 3x 4y 2 0和 l2 : 2x y 2 0的交点为 ( 2,2)．
当直线 l与直线3x y 1 0平行，设 l的方程为3x y m 0，
把点 ( 2,2)代入求得m 4，可得 l的方程为3x y 4 0．
（2）解：斜率不存在时，直线 l的方程为 x 2，满足点 A(3,1)到直线 l的距离为 5．
当 l的斜率存在时，设直限 l的方程为 y 2 k(x 2)，即 kx y 2k 2 0，
| 3k 1 2k 2 | 12
则点A到直线 l的距离为 5，求得 k ，
k 2 1 5
12
故 l的方程为 x y 2k 2 0，即12x 5y 34 0．
5
综上，直线 l的方程为 x 2或12x 5y 34 0．
a a 7 a a 26
18.解：（Ⅰ）设等差数列 n 的公差为 d，因为 3 ， 5 7 ，所以
1
a1 d 5
2a1 10d 26 a1 3,d 2， 解得 ，
n(n-1)
a 3 （2 n 1)=2n+1 S 3n+ 2
所以 n ； n = 2 = n2+2n .
b a n 1 n 1
（Ⅱ）由已知得 n n
3 an 2n+1 bn an 3，由（Ⅰ）知 ，所以 ，
n
Tn = Sn (1 3 3
n 1) n 2 2n 3 1 .
2
2
19.【答案】（1） ，（2） AQ 1
3
【解析】解（1）在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，
因为 AA1 平面 ABCD， AB 平面 ABCD， AD 平面 ABCD，
所以 AB AA1, AD AA1,
因为 AB AD，所以以 A为原点，分别以 AB，AD，AA1所在的直线为 x轴， y轴， z轴， 建
立如图所示的空间直角坐标系，因为 AB AD AA1 2BC 2，
所以 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0, 2,0), A1(0,0, 2),B1(2,0, 2),C1(2,1, 2),D1(0, 2, 2) ,
所以 B1D1 ( 2,2,0),B1C (0,1, 2)，
n B1D1 2x 2y 0
设平面 B1CD1的一个法向量为 n (x, y, z)，则 ，令 x 2，则n (2,2,1)，
n B1C y 2z 0
因为 AB 平面 B1C1C，所以平面 B1C1C的一个法向量为
uuur
AB (2,0,0)，
设二面角C1 B1C D1的平面角为 ，由图可知 为锐角，
n AB 4 2
所以二面角C1 B1C D1的余弦值为 cos n AB 3 2 3
2
（2）设 AQ (0 2)，则Q( , 0,0)，
因为点 P为 AD的中点，所以 P(0,1,0)，则 PQ ( , 1,0),B1Q ( 2,0, 2)，
m PQ x1 y1 0
设平面B1PQ的一个法向量为m (x1, y1, z1)，则 ，令 x1 2，则
m B1Q ( 2)x1 2z1 0
m (2, 2 , 2) ，
设直线B1C与平面 B1PQ所成角的大小为 ，
因为直线 B1C与平面 B PQ
4 5
1 所成角的正弦值为 ，所以
15
sin B1C m 4 4 5 ，
BC m 5 4 4 21 ( 2) 2 15
1解得 1或 （舍去）所以 AQ 1
5
2
20. x 10【答案】（Ⅰ） y2 1；（Ⅱ） .
2 3
2 3 1 3 1 3
【解析】（Ⅰ）将 , 代入椭圆方程可得 2
2 2 2
4 1，即 1①
a b2 2a
2 4b2
c a2e b
2 2
因为离心率 ，即 a2 2b2，②
a a 2
2
由①②解得 b2 1， a2 x 2，故椭圆C的标准方程为 y2 1．
2
（Ⅱ）由题意可得 F1 1,0 ，F2 1,0 ，设直线 l的方程为 x my 1．
x2
将直线 l的方程代入 y2 1 2中，得 m 2 y2 2my 1 0，
2
设 A x 2m 11, y1 ， B x2 , y2 ，则 y1 y2 2 ， y1y2 2 ．m 2 m 2
所以 AF1 x1 1, y1 ， BF1 x2 1, y2 ，
所以 AF1 BF1 x1 1 x2 1 y1y2 x1 x2 x1x2 1 y1y2
3
2 2
m y y 2 my 1 my 1 1 y y 4 2m m 2m
2 1 7 m2
1 2 1 2 1 2 2 2 m 2 m 2 m2 2 m2
，
2 m2 2
7 m2 1 2 1
由 2 ，解得m
2 4，所以 y1 y2 ， y ym 2 2 3 1 2
，
6
S 1 F F y y 1因此 ABF 1 2 1 2 2 y1 y
2
2 4y y
10
1 2 2 1 2
．
3
n 1
21．（1） an ；（2）存在，3．n
b b 1 1 1 1 an 1
1 n 1
n
（ ）证明：∵ a 1
1
n 1 1 an 1 2 1 an 1 an 1 an 1 ，
an
又由 a1＝2，得 b1＝1，所以数列{bn}是首项为 1，公差为 1的等差数列，
1 n 1
所以 bn＝1+(n－1)×1＝n，由bn a 1，得 an ．n n
c 2an 2（2）解：∵ ， c c
4 1 1
2
n n n n 2 1 n n n 2 n n 2 ，
T 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1所以 n
2 1
3 ，
3 2 4 n n 2 2 n 1 n 2
1
依题意，要使Tn c c 对于 n∈N
*恒成立，
m m 1
m m 1
只需 3，解得 m≥3或 m≤-4．
4
又 m＞0，所以 m≥3，所以正整数 m的最小值为 3．
22.【答案】（1） x2 4y；（2）证明见解析，定点为 0,2 5；（3） .
2
p
【解析】（1）因为抛物线C的方程为 x2 2 py，所以抛物线C的准线方程为 y ，
2
p
因为抛物线C上一点Q a, 2 到焦点 F 的距离为3，所以结合抛物线定义易知，2 3，解
2
得 p 2，
故抛物线C的方程为 x2 4y， F 0,1 .
（2）由题意易知直线 AB的斜率定存在，
设直线 AB的方程为 y kx b，
4
y kx b
联立 2 ，整理得x 4y x
2 4kx 4b 0，
设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，则 x1 x2 4k， x1x2 4b，
2 2 2 2
故 y1y2 = k x1x2 + kb(x1 + x2)+b = -4bk + 4kb +b2 = b2 ，
因为OA OB 4，
所以 x 21x2 y1y2 4，即b 4b 4 0，解得b 2，
故直线 AB的方程为 y kx 2，过定点 0,2 .
（3）设直线OA的方程为 y tx，
y tx
联立 x2 ，整理得 4y x
2 - 4tx = 0，解得 x 0或4t， A 4t,4t2 ，
K 4t
2 -5 4t2 -5
则 AD = ，直线 AB方程为 y = x +5，4t 4t
2
y 4t 5 x 5 4t 2 -5
联立 4t ，整理得 x2 - x - 20= 0，
x
2 4y t
5 2
解得 x 4t或 - ， 5 25 则OA = (4t, 4tt )，B BF 5 25（ ， ） （ ，1 ）
t 4t2 t 4t2
因为OA BF 5，所以OA×BF = 20+4t2 - 25 = 0，解得 t =± ，
2
t 5 5结合图像易知， = - ，即直线OA的斜率 t的值为
2 2
5
