河南省南阳市2021-2022学年高二上学期期末考试理科数学试题（Word版含答案）

南阳市2021-2022学年高二上学期期末考试
数学试题（理）
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“”的否定是
A． B． C． D．
2．设，则关于的不等式的解集是
A． B． C． D．
3．在中，“”是“”的．
A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
4．已知命题，命题，使得，则
A．是假命题 B．是真命题 C．是真命题 D．是真命题
5．若，满足，且，则的最大值为
A． B．3 C．5 D．7
6．已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为
A． B． C． D．
7．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．若抛物线上的一点到它的焦点的距离为6，则
A．12 B．10 C．8 D．6
9．如图所示，在正三棱柱中，是的中点，．则异面直线与所成角的正弦值为
A．1 B． C． D．
10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．已知数列满足，且，若数列的前项和为，则
A．3950 B．3953 C．3840 D．3845
11．设，且恒成立，则的最大值是
A．2 B．3 C．4 D．5
12．已知，分别是椭圆的左、右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为________．
14．记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则
________．
15．若，则双曲线的离心率的取值范围是________．
16．如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是________．
①平面的法向量与平面的法向量垂直； ②异面直线与所成的角的余弦值为；
③四面体有外接球且该球的半径等于棱长； ④直线与平面所成的角为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知，命题，不等式恒成立；命题
，使得成立．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假，为真，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）在平面四边形中，，，，，的面积为2．
（1）求的长；
（2）求的面积．
19．（本小题满分12分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”．
（1）已知等比数列满足：，，求证：数列为“数列”．
（2）已知数列满足：，，其中为数列的前项和，求数列的通项公式，并判断数列是否为“数列”．
20．（本小题满分12分）已知抛物线的通径长为，若抛物线上有一动弦的中点为，且弦的长度为3．
（1）求抛物线的方程；
（2）求点的纵坐标的最小值．
21．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面
底面，为的中点．
（1）求证：；
（2）在线段（不包括端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的任意一点，的最大值为，最小值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，若，点在上，且．试问是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
南阳市2021-2022学年高二上学期期末考试
数学试题（理）参考答案
一、选择题1—6 DBADBC 7—12 CABDCA
二、填空题13． 14．4 15． 16．②③④
三、解答题（共6题，第17题10分，第18-22题每题12分）
17．解：（1），不等式恒成立，
，即，
解得，因此，若为真命题时，实数的取值范围是
（2）若命题为真，则，，
且为假，或为真，、中一个是真命题，一个是假命题，
当真假时，，解得；
当假真时，，即，
综上所述，的取值范围为．
18．解：（1）由已知，
可得．
又，所以，所以．
在中，由余弦定理，可得，所以．
（2）由得，所以，
又，所以，
，
所以为等腰三角形，即．
在中，由正弦定理，
得，
所以．
19．（1）证明：设等比数列的公比为，则，．
由得
解得因此数列为“数列”．
（2）因为，所以．
由，，得，则．
由，得，
当时，由，
得，
整理得．
所以数列是首项和公差均为1的等差数列．
因此，数列的通项公式为，
显然数列不是“数列”。
20．解：（1）由题意可知：，所以抛物线的方程为：；
（2）方法一：由题意可知：直线斜率必存在，设其方程为：。
设，，。则：，
联立方程：得：．
所以：，．
又知：，
得
所以：
所以，点的纵坐标的最小值为
方法二：解：设，，。由题意可知：
，，，
所以：，，
又知，，所以，点的纵坐标的最小值为
21．（1）（方法一：）证明：取的中点，连结，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以底面，
取的中点，连结，则，，两两垂直，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，，，，
所以，，
则，故，
所以；
（方法二：）证明：取的中点，取的中点，连结、、，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以底面，
因为平面，所以，
可证明，
，
，
，
，
，
平面
又平面
且
∴四边形为平行四边形
（2）解：由（1）可知，，，，，，
所以，，，，
设，则，所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
因为直线与平面所成角的余弦值为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
整理可得，解得，
所以在上存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，
，此时点为靠近点的三等分点．
22．解：（1）由题意得：，，，，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）显然直线的斜率一定存在，设直线的方程为：，
将带入得：，
设，，
则，，
，
，
解得，，直线过定点或，
根据题意，在以为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于，
所以存在定点或，使得为定值。