河南省南阳市2021-2022学年高二上学期期末考试文科数学试题（Word版含答案）

南阳市2021-2022学年高二上学期期末考试
数学试题（文）
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题域书写的答案无效．
5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知，命题“若，则，全为0”的否命题是
A．若，则，全不为0． B．若，不全为0，则．
C．若，则，不全为0． D．若，则，全不为0．
2．已知数列是公差为的等差数列，，则
A．1 B．3 C．6 D．9
3．春秋时期孔子及其弟子所著的《论语·颜渊》中有句话：“非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动。”意思是：不符合礼的不看，不符合礼的不听，不符合礼的不说，不符合礼的不做。“非礼勿听”可以理解为：如果不合礼，那么就不听。从数学角度来说，“合礼”是“听”的
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为
A． B．0 C．6 D．8
5．已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上任意一点到椭圆中心的距离的取值范围是
A． B． C． D．
6．已知函数，为的导数，则
A． B． C．1 D．
7．不等式的一个必要不充分条件是
A． B． C． D．
8．下列说法正确的个数有（ ）个
①在中，若，则
②是，，成等比数列的充要条件
③直线是双曲线的一条渐近线
④函数的导函数是，若，则是函数的极值点
A．0 B．1 C．2 D．3
9．已知动圆过定点，并且与定圆外切，则动圆的圆心的轨迹是
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．双曲线的一支
10．若函数在区间单调递增，则的取值范围是
A． B． C． D．
11．若数列的前项和，则此数列是
A．等差数列 B．等比数列 C．等差数列或等比数列 D．以上说法均不对
12．已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知命题，则命题的的否定是________．
14．抛物线的准线方程是________．
15．过点作斜率为的直线与椭圆相交于，两个不同点，若是的中点，则该椭圆的离心率________．
16．已知数列满足，设数列满足，数列 的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知，，分别为三个内角，，的对边，．
（1）求；
（2）若，的面积为，求，．
18．（本小题满分12分）已知函数，其中为实数．
（1）若函数的图像在处的切线与直线平行，求函数的解析式；
（2）若，求在上的最大值和最小值．
19．（本小题满分12分）已知数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5．
（1）求该抛物线的标准方程和的值；
（2）若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值．
21．（本小题满分12分）已知函数的图像在（为自然对数的底数）处取得极值．
（1）求实数的值；
（2）若不等式在恒成立，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，过点作直线交椭圆于、两点，的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求定点与，两点所构成的三角形的面积的最大值．
南阳市2021-2022学年高二上学期期末考试
数学试题（文）参考答案
一、选择1-5 CDBCA 6-10 CBBDA 11-12 DA．
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）由及正弦定理得．
由于，所以．
又，故．
（2）的面积，故．①
而，故．②
由①②解得（负值舍去）．
18．解：，
．
（1）由题意得，解得．
，
（2），则，解得，
，
，
当，解得，即函数在单调递减，
当，解得或，
即函数分别在，递增．
又，，，，
，．
19．（1）证明：由，以及，显然，
所以，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以；
（2）由（1）可得，，
所以数列的前项和 ①
所以 ②
则由②－①可得：
，
所以数列的前项和．
20．解：（1）∵抛物线焦点在轴上，且过点，
∴设抛物线方程为，
由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5，
即点到准线的距离等于5，
则，，∴抛物线方程为，
又点在抛物线上，
，，
∴所求抛物线方程为，．
（2）方法一：由于直线过点，可设直线方程为：，
由得，
设，，则，，
所以
，即为定值；
方法二：由于直线过点，
①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，则由
可得，，，所以；
②当直线的斜率存在时可设直线方程为：，
由得，
设，，则，．
所以
，即为定值．
综上，为定值．
21．解：（1）因为，所以，
因为函数的图像在点处取得极值，
所以，，
经检验，符合题意，所以；
（2）由（1）知，，
所以在恒成立，即对任意恒成立．
令，则．
设，易得是增函数，
所以，
所以，
所以函数在上为增函数，
则，所以．
22．解：（1）由题意的：，，，，
，
∴椭圆的方程为
（2）∵直线的斜率为，∴可设直线的方程为与椭圆的方程联立消去可得： ，
则，，
设，两点的坐标为，，由韦达定理得：
，，
．
点到直线的距离，
，
方法一：令，则，，
令，则在上的最大值为，
的最大值为2，即面积的最大值2．
方法二：因为，
当且仅当，即时，取“＝”，
所以面积的最大值2．