山西省大同市2021-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版含答案）

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大同市2021-2022学年高二上学期期末考试
理科数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量与共线，则实数k＝（ ）
A．0 B．1 C．－1或2 D．－2或1
2．若直线2x－（m＋1）y－2＝0与直线（m＋1）x－2my－3＝0垂直，则m＝（ ）
A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
3．已知正项等比数列中，，则（ ）
A．－1 B．0 С．1 D．2
4．与椭圆焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．已知为偶函数，且当x＞0时，，则曲线在处的切线斜率是（ ）
A．－2 B．－1 C．－e D．e
6．在四面体OABC中，，，，点M在线段OA上，且AM＝2MO，N为线段BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．若直线y＝kx＋4经过第三象限，且被圆截得的弦长为2，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
8．在正方体中，M为棱的中点，则直线AM与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．d＜0 C． D．与为的最大值
10．已知函数（m＞0）的单调递减区间为，若，则m的最大值为（ ）
A．1 В．2 C．3 D．6
11．已知点P在圆M：上，点，，则最小和最大时分别为（ ）
A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135°
12．已知抛物线，点A，B在抛物线上且位于x轴两侧，若（O为坐标原点），则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面α的一个法向量为，点，是平面α内的两点，则x＝______．
14．设，分别是双曲线E：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在E上，若线段的中点在y轴上，，则E的离心率为______．
15．已知数列满足，且，则______．
16．已知m＜0，函数，若函数与有相同的最大值，则m的取值范围为______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知向量，，若函数在区间上单调递增，求实数t的取值范围．
18．（12分）
已知圆C经过点，且与直线x－y＋2＝0相切于点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝x＋1与圆C相交于点M，N，求．
19．（12分）
已知数列是单调递减的等比数列，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，，求数列的前n项和．
20．（12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，E为棱PD的中点．
（Ⅰ）求证：平面PCD；
（Ⅱ）求平面AEC与平面PAC的夹角余弦值．
21．（12分）
已知椭圆E：（a＞b＞0）过点，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过原点O的直线l交椭圆E于M，N两点，点，求面积的最大值．
22．（12分）
已知函数．
（Ⅰ）若曲线）在点处的切线方程为y＝2x＋b，求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围．
大同市2021-2022学年高二上学期期末考试
理科数学·答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，
1．D 2．В 3．C 4．D 5．A 6．C
7．B 8．B 9．C 10．D 11．B 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．3 14． 15． 16．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解析 依题意，则．
∵在区间上单调递增，∴即在区间上恒成立．
∵函数的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，
∴只需，即．
经检验，当时，在上单调递增，符合题意，
因此实数t的取值范围是．
18．解析 （Ⅰ）过切点且与直线x－y＋2＝0垂直的直线为y＝－（x＋2），即x＋y＋2＝0，其经过圆心．
又线段AB的中垂线x＝1过圆心，联立解得
∴圆心为，半径．
所求圆C的方程为．
（Ⅱ）直线l的方程为x－y＋1＝0，
∴圆心到直线l的距离，
∴．
19．解析（Ⅰ）设数列的公比为q（0＜q＜1）．
∵，，成等差数列，∴，
即，又，0＜q＜1，得，
∴或q＝－1（舍去），∴．
(Ⅱ)∵，
∴，
．
20．解析（Ⅰ）∵平面ABCD，平面ABCD，∴，
又∵，，平面PAD，
又平面PAD，∴，
∵，且E为PD的中点，∴，又，
∴平面PCD．
（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，．
设平面AEC的法向量为，∵，，
∴即，可取．
设平面PAC的法向量为，
∵，，
∴即可取．
∴，
即平面AEC与平面PAC的夹角余弦值为．
21．解析 （Ⅰ）由题知得
∴椭圆E的方程为．
（Ⅱ）当l的斜率不存在时，．
当l的斜率为0时，．
当l的斜率存在且不为0时，设方程为y＝kx（k≠0），
由消去y得，∴，
∴．
又点到直线l的距离为，
所以，
当k＞0时，（当且仅当时取等号），
当k＜0时，．
综上可知面积的最大值为．
22．解析（Ⅰ）∵，∴，
∴曲线在点处的切线方程为，即，
又切线方程为y＝2x＋b，∴即，b＝－1．
（Ⅱ）∵，∴，
令，得，
函数有两个极值点，等价于直线y＝a和的图象在内有2个交点．
设，则．
再令，则，
当x＞0时，，∴在上单调递减，又，
∴当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减．∴．
而当x→0时，，当x→＋∞时，，
故要使直线y＝a和的图象在内有2个交点，需，即．