山西省怀仁市2021-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版含答案）

怀仁市2021-2022学年高二上学期期末考试
理科数学I卷
（考试时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的焦点为上顶点为A，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．若两直线与平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的导函数为，若已知的图像如图，则下列说法正确的是（ ）
A．一定存在极大值点 B．在（0，+∞）单调递增
C．一定有最小值 D．不等式一定有解
5．设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线C上，且，点P是抛物线C的准线上的一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列是首项为a，公差为1的等差数列，数列满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．过点作圆的两条切线，切点分别为点A，B，则四边形的面积为（ ）
A． B．6 C． D．3
10．在公比为为q等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
11．已知函数的图象在点处的切线L与直线平行，若数列的前n项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．数列中，满足，设，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为_______．
14．设点和，在直线上找一点P，使取到最小值，则这个最小值为_________．
15．已知点Р为椭圆上的动点，为圆的任意一条直径，则的最大值是_________．
16．设函数是函数的导函数，已知，且，则使得成立的x的取值范围是_________．
三．解答题（本大题共6小题共70分）
17．（10分）（1）若在是减函数，求实数m的取值范围．
（2）已知函数在R上无极值点，求a的值;
18．（12分）设为数列的前n项和，，且
（1）证明．数列为等差数列;
（2）若数列满足，求数列的前n项和
19．（12分）已知圆
（1）若直线L与圆C相切，且直线L在两坐标轴上的截距相等，求直线L的方程;
（2）求与圆C和直线都相切的最小圆的方程．
20．（12分）如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面．
（1）求证：平面;
（2）求二面角的正弦值：
（3）在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由．
21（12分）．已知椭圆的右焦点，右顶点为A，点P是椭圆上异于点A的任意一点，的面积的最大值．
（1）求椭圆C的离心率;
（2）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为Q，圆B同时与x轴和直线l相切，圆心B在直线上，且，求椭圆C的方程．
22．（12分）设函数，其中…为自然对数的底数．
（1）讨论的单调性;
（2）当时，证明：函数无零点;
（3）确定a的所有可能取值，使得在区间内恒成立;
怀仁市2021-2022学年高二上学期期末考试
理科数学I卷答案
一、选择题1～5 DCDCB 6～10 ADDBD 11~12 AC
二、填空题13． 14． 15．19 16．
三、解答题．
17（10分）．（1）解 依题意知，在内恒成立，
所以在内恒成立，所以，因为的最小值为1，
所以，所以实数m的取值范围是． 5分
（2）解，依题意有，
即，，解得 10分
18．解：（1）∵，
∴，整理得，
两边同时除以得，，首项，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列 6分
（2）由（1）得，即，
当时，，
当时，也满足上式，∴数列的通项公式为，
令数列的前n项和为﹐
则①，
两边同时乘以2，得②，
①━②
．12分
19（本大题12分）．解：（1）当直线L过原点时，设直线L的方程为．
即，解得
所以﹐ 2分
当直线L不过原点时，设直线L的方程为，圆的
标准方程为
若直线L与圆C相切，，得或3，
所以直线L的方程为，或者： 4分
综上：或或 6分
（2）根据题意，由于﹐所以直线与圆C相离，
所求最小的圆心一定在过圆C的圆心的直线上，
且到直线的距离为﹐ 8分
设最小的圆心为，所以，
得，或者，根据题意， 10分
所以最小的圆的方程为 12分
20．（本大题12分）（1）证明：∵四边形为矩形，∴，
又平面平面，平面平面，
∴平面．
取D为原点，所在直线为x轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
如图，则，
设平面的法向量，∵，
由，取，得，又，
∴，，又∵平面，∴平面： 4分
（2）解：，
设平面的法向量，
则，取，得
设平面的法向量，
则，取，得，
设二面角的平面角为，
则
∴二面角的正弦值 8分
（3）解：假设在线段上存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，，则，
解得，∴，
平面的法向量，
∵直线与平面所成角的正弦值为
∴,解得或
∵，∴或 12分
21．（本大题12分）
解：（1）当点P位于椭圆的上或下顶点时，的面积最大，
此时有，即∵，∴，
得或（舍），∴离心率
故椭圆C的离心率为． 4分
（2）由题可知，直线l的方程为椭圆的方程为，
联立，得，
解得或，当时，，当时，，
∴点Q的坐标为
∵点B在直线上，∴可设点B为，
又，∴即，∴，点．
∵圆B同时与x轴和直线l相切，∴即，解得．
故椭圆C的方程为 12分
22．（本大题12分）解：（1）．
．
当时，，∴函数在上单调递减
当时，由，
∴函数在上单调递减，单调递增
综上可得，当时，函数在上单调递减
当时，函数在上单调递减，单调递增 4分
（2）证明：当时，要证明：函数无零点即可证明．，即证明
令．∴函数在上单调递增，
令．∴当时，．因此当时，函数无零点 8分
（3）解：化为：
令可得．
恒成立
令
当时，．令函数在上单调递增
∴的最小值为．
∴时，．
综上可得：时，．在上单调递增
∴，即在上单调递增
∴，即 12分