山西省怀仁市2022届高三上学期期末考试数学（文）试题（Word版含答案）

怀仁市2022届高三上学期期末考试
数学（文）
（考试时间120分钟，满分150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1．复数z满足则z对应复平面内的点的坐标为（ ）
A． В． C． D．
2．已知集合，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．人类社会初期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳记数”，当时有位母亲为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗（从右到左），满七进一，那么孩子已经出生多少天？（ ）
A．1326 B．510 C．429 D．336
4．某商场为了了解销售活动中某商品销售量y与活动时间x之间的关系，随机统计了某5次销售活动中的商品销售量与活动时间，并制作了下表：
活动时间x 2 4 5 6 7
销售量y 25 40 60 70 80
由表中数据可知，销售量y与活动时间x之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为，则的值为（ ）
A．10.75 B．10.25 C．9.75 D．9.25
5．若，则（ ）
A． B． С． D．
6．在公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．已知F是抛物线的焦点，过焦点F的直线交抛物线的准线于点Q，点A在抛物线上且，则直线的斜率为（ ）
A． В． C． D．
9．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．过圆上一点A作圆的切线，切点为B，则的最小值为（ ）
A．2． B． C． D．
11．已知是函数相邻的两个零点，若函数在上的最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．设平面向量，若，则等于_______．
14．设函数的图像在点处的切线方程为_______．
15．已知F为双曲线的上焦点，A为C的上顶点，B为C上的点，且垂直于y轴．若的斜率为，则C的离心率为_______．
16．在中，设分别为角对应的边，若，且，则面积的最小值为_______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（本小题12分）已知等差数列为递增数列，且满足，且成等比数列，
（1）求数列的通项公式；
（2）令为数列的前n项和，求．
18．（本小题12分）2021年10月16日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）
天文爱好者 非天文爱好者 合计
女 20 50
男 15
合计 100
（1）将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？
（2）现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“天文爱好者”的概率．
附：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（本小题12分）已知梯形如图（1）所示，其中，，过点A作的平行线交线段于M，点N为线段的中点现将沿进行翻折，使点D到达点P置，且平面平面，得到的图形如图（2）所示．
（1）求证：；
（2）若，求点C到平面的距离．
20．（本小题12分）已知为椭圆的左右顶点，P为椭C圆上异于的点，直线与的斜率之积为
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知定点，若直线与相C交于两点，求证为定值．
21．（本小题12分）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若，使得不等式成立，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．【选修4-4：极坐标与参数方程】（10分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，是曲线C上的两点，若，求的最大值．
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数．
（1）求解不等式的解集；
（2）记的最小值为m，若，且，证明：．
怀仁市2022届高三上学期期末考试数学（文）答案
一、选择题（60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A B C C C B A D B C D
二、填空题（20分）
13． 14． 15．2 16．
三、简答题（共70分）
17．（本小题12分）【解析】
解：（1）设等差数列的公差为，则，因为成等比数列，所以，即，解得（舍去）或，
所以；……6分
（2）因为，所以
所以
．……12分
18．（本小题12分）【解析】（1）
天文爱好者 非天文爱好者 合计
女 20 30 50
男 35 15 50
合计 55 45 100
故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者，与性别有关；……6分
（2）按分层抽样抽取的5人中：
2名为“天文爱好者"，编号为；
3名为“非天文爱好者”，编号为，
则从这5人中随机选出3人，所有可能结果如下：
，
共10种情况，其中至少有1人是“天文爱好者”的有9种，概率为……12分
19．（本小题12分）【解析】（1）证明：如图，在平面图形中，连接交于O，连接．
因为，所以四边形平行四边，所以．
在中，由余弦定理，得，
所以，则，故，
则，则，故．
因为分别为中，所以，所以．
在四棱锥中，连接，因为平面平面，
且平面平面平面，故平面．
因为平面，故．
又，故平面．
而平面，故……6分
（2）解：如图，取的中点O，连接．
由（1）可知，则，
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面．
又，所以点P到平面的距离为，
，
所以．
由（1）可知，，且．
设点C到平面的距离为h．
因为，即V，所以，
即点C到平面的距离为1．……12分
20．（本小题12分）【解析】（1）设，因为直线与的斜率之积为，所以，
又
所以
由①②得，所以
所以椭圆的方程为……5分
（2）由，得，
设
有
所以为定值……12分
21．（本小题12分）【解析】：（1）函数的定义域为，由题意可知，当时，，所以在上为增函数，当时由，，得，若时，，若时，所以在上为减函数，在上为增函数．……6分
（2）由题意可知，使得不等式成立，即
使得成立，
令，
则
当时，所以在上单调递增，所以，解得所以，当时，若，则，若则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，解得，与矛盾，舍去，当时所以函数在单调递减，所以，不符合题意，舍去．
综上，a的取值范围为……12分
22．（本小题10分）【解析】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为：
即：
根据可得：
曲线C的极坐标方程为：……5分
（2）设则
当时，……10分
23．（本小题10分）【解析】：（1）
则等价于或或，……3分
解得或或．
综上，不等式的解集为；……5分
（2）证明：由（1）知，的最小值为3，即，则……6分
由，知，
……8分
．……9分
当且仅当且时等号成立．
．……10分