2021-2022学年北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式 自主学习达标测试 (word版含答案)

2021-2022学年北师大版七年级数学下册《1-6完全平方公式》自主学习达标测试（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．已知a+b＝5，ab＝﹣2，则a2﹣ab+b2的值是（　　）
A．30 B．31 C．32 D．33
2．若x+y＝4，xy＝3，则x2+y2＝（　　）
A．7 B．10 C．16 D．22
3．若4x2﹣2kx+1是完全平方式，则常数k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
4．式子（a+b）2加上哪一项后得（a﹣b）2（　　）
A．﹣2ab B．﹣3ab C．﹣4ab D．0
5．如图，两个正方形的边长分别为a，b（a＞b），如果a+b＝10，ab＝16，则阴影部分的面积是（　　）
A．16 B．13 C．26 D．30
6．若n满足（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝1，则（n﹣2021）（2022﹣n）的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．1
7．已知x+2y＝6，xy＝3，则（x﹣2y）2等于（　　）
A．8 B．12 C．24 D．25
8．已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（　　）
A．24 B．48 C．12 D．2
9．已知（m﹣53）（m﹣47）＝25，则（m﹣53）2+（m﹣47）2的值为（　　）
A．136 B．86 C．36 D．50
10．对于代数式x2﹣2（k﹣1）x+2k+6，甲同学认为：当x＝1时，该代数式的值与k无关；乙同学认为：当该代数式是一个完全平方式时，k只能为5．则下列结论正确的是（　　）
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲乙都正确 D．甲乙都错误
11．若a+b＝﹣1，则（a+b）2的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1
12．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（　　）
A．15 B．17 C．20 D．22
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．a，b是两个实数，若a+b＝﹣3，ab＝﹣10，则a2+b2的值为 　 　．
14．若关于x的代数式x2+4mx+4是完全平方式，则常数m＝　 　．
15．设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝99，N＝98，则P＝　 　．
16．计算20212﹣2×2021×2020+20202的结果为 　 　．
17．若a+＝3，则a﹣＝　 　．
18．公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2可由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推导得出，已知（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，则（a﹣b）3＝　 　．
三．解答题（共8小题，满分60分）
19．利用乘法公式解决下列问题：
（1）若x﹣y＝8，xy＝40．则x2+y2＝　 　；
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2值．
20．用简便方法进行计算：
（1）20212﹣4040×2021+20202．
（2）20222﹣20212+20202﹣20192+…+22﹣12．
21．（1）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，求a2b+3a3b3+ab2的值；
（2）已知a+b＝8，ab＝16+c2，求（a﹣b+c）2021的值．
22．已知ab＝1，因为（a+b）2＝a2+2ab+b2＝a2+b2+2①
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝a2+b2﹣2②
所以由①得a2+b2＝（a+b）2﹣2．由②得a2+b2＝（a﹣b）2+2．
试根据上面公式的变形解答下列问题：
（1）已知a﹣b＝2，ab＝1，则下列等式成立的是　 　．
①a2+b2＝6；
②a4+b4＝38；
③（a+b）2＝8．
（2）已知a+b＝2，ab＝1．
①求代数式a2+b2的值；
②求代数式a4+b4的值；
③猜想代数式a2n+b2n（n为正整数）的值，直接写出答案，不必说明理由．
23．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是 　 　；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，直接写出x﹣2020的值．
24．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
请你根据上述解题思路回答下列问题：
（1）已知a+b＝5，ab＝7，求，a2﹣ab+b2的值．
（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值．
25．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求a2+b2的值．
（2）已知（2018﹣a）（2019﹣a）＝2047，求（2018﹣a）2+（2019﹣a）2的值．
26．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
M＝称为a，b这两个数的算术平均数，
N＝称为a，b这两个数的几何平均数，
P＝称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整；
（1）若a＝﹣1，b＝﹣2，则M＝　 　；N＝　 　；P＝　 　；
（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知，当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：　 　（把M、N、P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：∵a+b＝5，ab＝﹣2，
∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝25+6＝31．
故选：B．
2．解：∵x+y＝4，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝42﹣2×3
＝10．
故选：B．
3．解：∵4x2﹣2kx+1是完全平方式，4x2﹣2kx+1＝（2x）2﹣2kx+12，
∴﹣2kx＝±2 2x 1，
解得k＝±2．
故选：C．
4．解：由于（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∴（a+b）2+（﹣4ab）＝（a﹣b）2，
故选：C．
5．解：由题意得阴影部分的面积是：a2+b2﹣﹣
＝﹣
＝﹣﹣﹣
＝，
当a+b＝10，ab＝16时，
原式＝
＝
＝
＝26，
故选：C．
6．解：设n﹣2021＝x，2022﹣n＝y，
∴x+y
＝n﹣2021+2022﹣n
＝1，
∵（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝1，
∴x2+y2＝1，
∵x+y＝1，
∴（x+y）2＝1，
∴x2+2xy+y2＝1，
∴xy＝0，
∴（n﹣2021）（2022﹣n）＝0，
故选：B．
7．解：∵x+2y＝6，xy＝3，
∴（x+2y）2＝x2+4y2+4xy＝x2+4y2+12＝36．
∴x2+4y2＝24．
∴（x﹣2y）2＝x2+4y2﹣4xy＝24﹣4×3＝12．
故选：B．
8．解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b2＝25，（a+b）2＝49代入，可得
2ab+25＝49，
则2ab＝24，
所以ab＝12，
故选：C．
9．解：设a＝m﹣53，b＝m﹣47，则ab＝25，a﹣b＝﹣6，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝（﹣6）2+50＝86，
∴（m﹣53）2+（m﹣47）2＝86，
故选：B．
10．解：（1）当x＝1时，该代数式＝1﹣2（k﹣1）+2k+6＝9，
∴当x＝1时，该代数式的值与k无关，故甲同学的结论正确；
当代数式x2﹣2（k﹣1）x+2k+6是一个完全平方式时，
2（k﹣1）＝，即k﹣1＝，
（k﹣1）2＝2k+6，
k2﹣2k+1＝2k+6，
k2﹣4k﹣5＝0，
（k﹣5）（k+1）＝0，
k＝5或k＝﹣1，
当k＝5时，原式＝x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，
当k＝﹣1时，原式＝x2+4x+4＝（x+2）2，
∴k＝5或k＝﹣1均符合题意，
故乙同学的结论错误．
故选：A．
11．解：将a+b＝﹣1代入到（a+b）2中，即（a+b）2＝（﹣1）2＝1．
故选：D．
12．解：由题意可得：阴影部分面积＝（a﹣b） a+b2＝（a2+b2）﹣ab．
∵a+b＝10，ab＝22，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×22＝56，
∴阴影部分面积＝×56﹣×22＝28﹣11＝17．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．解：∵a，b是两个实数，a+b＝﹣3，ab＝﹣10，
∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣3）2﹣2×（﹣10）＝9+20＝29．
故答案为：29．
14．解：∵x2±4x+4＝（x±2）2，
∵x2+4mx+4是完全平方式，
∴±4x＝4mx，
∴m＝±1．
故答案为：±1．
15．解：解法一：∵M＝x+y＝99，
∴两边平方，得（x+y）2＝992，
即x2+y2+2xy＝992①，
∵N＝x﹣y＝98，
∴两边平方，得（x﹣y）2＝982，
即x2+y2﹣2xy＝982②，
∴①﹣②，得4xy＝992﹣982＝（99+98）×（99﹣98）＝197，
∴xy＝＝49.25，
即P＝xy＝49.25；
解法二：∵M＝x+y，N＝x﹣y，M＝99，N＝98，
∴，
解得：，
∴P＝xy＝98.5×0.5＝49.25，
故答案为：49.25．
16．解：20212﹣2×2021×2020+20202
＝（2021﹣2020）2
＝1．
故答案为：1.
17．解：∵（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2，
∴﹣4＝，
∴a﹣＝±．
18．解：（a﹣b）3
＝（a﹣b）2（a﹣b）
＝（a2﹣2ab+b2）（a﹣b）
＝a3﹣2a2b+ab2﹣a2b+2ab2﹣b3
＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3，
故答案为：a3﹣3a2b+3ab2﹣b3．
三．解答题（共8小题，满分60分）
19．解：（1）∵x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，
把x﹣y＝8，xy＝40，代入上式，得x2+y2＝82+2×40＝144．
故答案是：144；
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，
由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（25﹣x）2+（x﹣10）2
＝[（25﹣x）+（x﹣10）]2﹣2（25﹣x）（x﹣10）
＝152﹣2×（﹣15）
＝225+30
＝255．
20．解：（1）原式＝2 0212﹣2×2 020×2 021+2 0202
＝（2 021﹣2 020）2
＝1；
（2）2 0222﹣20212+20202﹣20192+…+22﹣12
＝（2 022+2021）（2 022﹣2021）+（2020+2019）（2020﹣2019）+…+（2+1）（2﹣1）
＝2 022+2021+2020+2019+…+2+1
＝（2 022+1）+（2021+2）+（2020+3）+…（1 002+1 001）
＝2045253．
21．解：（1）由题意得，2（a+b）＝14，ab＝10，
整理得，a+b＝7，ab＝10，
∵a2b+3a3b3+ab2
＝ab（a+3a2b2+b），
∴当a+b＝7，ab＝10时，
原式＝10（7+3×102）
＝10×307
＝3070；
（2）∵a+b＝8，ab＝16+c2，
∴（a+b）2﹣4ab
＝（a﹣b）2
＝82﹣4（16+c2）
＝64﹣64﹣4c2
＝﹣4c2，
即（a﹣b）2＝﹣4c2，
∴（a﹣b）2+4c2＝0，
∴a﹣b＝0，c＝0．
∴（a﹣b+c）2021＝（0+0）2＝02＝0．
22．解：（1）①a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝22+2×1＝6，故该选项正确；
②a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝62﹣2（ab）2＝36﹣2×12＝34，故该选项错误；
③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×1＝8，故该选项正确．
故答案为：①③；
（2）①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×1＝2；
②a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝22﹣2（ab）2＝22﹣2×12＝2；
③∵①②的答案都是2，
∴猜想：a2n+b2n＝2．
23．解：（1）∵图形②是边长为（a+b）的正方形，
∴S＝（a+b）2．
∵大正方形的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形组合而成，
∴S＝a2+2ab+b2．
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）①∵a+b＝4，
∴（a+b）2＝16．
∴a2+2ab+b2＝16．
∵a2+b2＝10，
∴ab＝3．
②设x﹣2020＝a，则x﹣2021＝a﹣1，x﹣2019＝a+1．
∵（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，
∴（a﹣1）2+（a+1）2＝130．
∴a2﹣2a+1+a2+2a+1＝130．
∴2a2＝128．
∴a2＝64．
即（x﹣2020）2＝64．
∴x﹣2020＝±8．
24．解：（1）∵a+b＝5，ab＝7，
∴＝＝＝，
a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣2ab﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝52﹣3×7＝4．
（2）（a﹣b）2+c2＝[（a﹣b）﹣c]2+2（a﹣b）c
＝（a﹣c﹣b）2+2（a﹣b）c
＝（﹣10）2+2×（﹣12）
＝76．
25．解：（1）∵a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝（﹣3）2+2×（﹣2）＝5；
（2）（2018﹣a）2+（2019﹣a）2＝[（2018﹣a）﹣（2019﹣a）]2+2（2018﹣a）（2019﹣a）
＝（﹣1）2+2（2018﹣a）（2019﹣a），
∵（2018﹣a）（2019﹣a）＝2047，
∴原式＝1+2×2047
＝4095．
26．解：（1）将a＝﹣1，b＝﹣2代入M，N，P的定义式，
得：，，，
故答案为，，；
（2）①图形如下：
②根据M2，P2，N2所表示的面积大小可得：
当a≠b时，N＜M＜P，
当a＝b时，N＝M＝P，
∴N≤M≤P，
故答案为N≤M≤P．