2021-2022学年人教版九年级数学下册第27章相似 寒假自主提升专题训练 （word版含答案）

2021-2022学年人教版九年级数学下册《第27章相似》寒假自主提升专题训练（附答案）
1．下列图形中，为轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．1、2、3 B．4、5、7 C．5、13、6 D．7、3、10
3．一个多边形，其每个内角都是140°，则该多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．下列多边形中，内角和是一个三角形内角和的4倍的是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
5．如图，直线AC、DF被三条平行线所截，若DE：EF＝1：2，AB＝2，则AC的值为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．
6．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为（　　）
A．12.5 B．12 C．8 D．4
7．如图，△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任意一点，BE交AD于O．某同学在研究这一问题时，发现了如下事实：①当＝＝时，有＝＝；
②当＝＝时，有＝；
③当＝＝时，有＝；…；则当＝时，＝（　　）
B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC＝2，则AD的长是（　　）
A． B． C．﹣1 D．+1
9．下列每组的两个图形：两个等腰三角形；两个直角三角形；两个正方形；两个矩形；两个边长相等的菱形；两个正五边形；其中相似的有（　　）
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
10．下列线段中，能成比例的是（　　）
A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm
C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm
11．如果＝，那么的值是（　　）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
12．如图，Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝3BO，点B在反比例函数y＝的图象上，OA交反比例函数y＝（k≠0）的图象于点C，且OC＝2CA，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
13．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CB，AB的中点，连接CF并延长，与DA的延长线交于点M，连接DE交CF于点P，连接AP，则有下列结论：①∠BCF＝∠CDE；②AP＝AD：③CM＝CD+DE；④S△CDM＝5S四边形EPFB，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论①∠AED＝∠ADC；②＝；③AC BE＝12；④3BF＝4AC，其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝BC，CE＝AC，BE、AD相交于点F，连接DE，则下列结论：①∠AFE＝60°；②DE⊥AC；③CE2＝DF DA；④AF BE＝AE AC，正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
16．如图，已知 ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：
①DB＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BHD∽△BDG．
其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
17．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣4） D．（﹣2，﹣1）
18．如图，为了测量旗杆AB的高度，小凡在距旗杆底部B点10.8米的C点处放置了一面镜子，当小凡行走到与BC位于同一直线的E点处时，恰好能从镜子中观察到旗杆顶部的A点．已知小凡眼睛所在的D点离地面的高度是1.6米，CE＝2.7米，则旗杆AB的高度是（　　）
A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9.6米
19．△ABC与△DEF相似且面积比为1：16，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
20．如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：
①∠BEC＝∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG＝CH+GH；④∠AEB+∠ACE＝90°，其中正确的结论有　 　（将所有正确答案的序号填写在横线上）．
21．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为2，则平行四边形ABCD的面积是　 　．
22．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，若BD＝1，AD＝3，则CD＝　 　．
23．如图，正方形ABCD边长为8，点E，F分别在边BC，CD上，且EF⊥AE，若AE＝10，则四边形AEFD的周长为　 　．
24．如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．
（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD．（要求：新图与原图的相似比为2：1）；
（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标；
（3）求△OCD的面积；
（4）如果△OAB内部一点M的坐标为（m，n），写出点M在△OCD内的对应点N的坐标．
25．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠AFB＝∠D．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB＝4，AD＝3，∠BAE＝30°，求BF的长．
26．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．
（1）求证：△ADE∽△EFC；
（2）若AB＝7，BC＝14，DE：FC＝5：2，求四边形BDEF的周长．
27．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF＝AD，连接BC、BF．
（1）求证：△CBE∽△AFB；
（2）当时，求的值．
28．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G
（1）求证：△AMF∽△BGM；
（2）连接FG，如果α＝45°，AB＝，BG＝3，求FG的长．
29．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：DF DE＝CE CB；
（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
30．如图，直立在B处的标杆AB＝2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD＝8m，FB＝2.5m，人高EF＝1.5m，求树高CD．
31．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE，交EC的延长线于B，测得AB＝6m，求池塘的宽DE．
32．已知平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，﹣1），C（3，0）．
（1）画出以点O为位似中心，将△ABC放大到原来2倍的△A′B′C′；
（2）分别写出A′B′C′三点的坐标．
33．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，点D是BC上一点，以DA为一边，点D为顶点作∠ADE＝∠C，DE交线段AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE．
（2）当AE＝ED时，求BD的长．
34．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
参考答案
1．解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：A、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项错误；
B、5+4＞7，能组成三角形，故此选项正确；
C、5+6＜13，不能组成三角形，故此选项错误；
D、3+7＝10，不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
3．解：∵多边形的每个内角都等于140°，
∴多边形的每个外角都等于180°﹣140°＝40°，
∴边数n＝360°÷40°＝9，
故选：D．
4．解：设这个多边形的边数为n．
由题意得：（n﹣2）×180°＝4×180°．
解得：n＝6．
答：这个多边形的边数为6．
故选：C．
5．解：∵l1∥l2∥l3，
∴，又AB＝2，
∴BC＝4，
∴AC＝AB+BC＝6．
故选：A．
6．解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
解得，EF＝8，
故选：C．
7．解：过D点作BE的平行线交AC于F，
∵D为BC的中点，∴DF是△BCE的中位线．
∵＝，∴＝．
∵DF是△BCE的中位线，∴F是EC的中点，∴＝．
∵BE∥DF，∴＝＝．
故选：C．
8．解：∵∠A＝∠DBC＝36°，∠C公共，
∴△ABC∽△BDC，
且AD＝BD＝BC．
设BD＝x，则BC＝x，CD＝2﹣x．
由于＝，
∴＝．
整理得：x2+2x﹣4＝0，
解方程得：x＝﹣1±，
经检验，x＝﹣1±是原方程的解，
∵x为正数，
∴x＝﹣1+．
故选：C．
9．解：两个等腰三角形，其形状不确定，故不一定相似；
两个直角三角形，直角三角形中的两个锐角的大小不确定，无法判定三角形相似；
两个正方形，其边长的比值相等，对应角相等，故此图形相似；
两个矩形，其边长的比值不相等，无法判定相似；
两个边长相等的菱形，其对应角无法确定是否相等，无法判定相似；
两个正五边形，其边长的比值相等，对应角相等，故此图形相似；
故选：A．
10．解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
所给选项中，只有D符合，3×18＝6×9，故选：D．
11．解：∵设＝＝k，
∴x＝2k，y＝3k，
∴＝＝﹣5，
故选：C．
12．解：如图，作CH⊥x轴于H，作BE⊥x轴于E．设B（m，n）．
∵∠BOC＝∠CHO＝∠BEO＝90°，
∴∠COH+∠HCO＝90°，∠COH+∠BOE＝90°，
∴∠BOE＝∠COH，
∴△COH∽△OBE，
∴＝＝，
∵AO＝3OB，OC＝2CA，
∴CO＝2OB，
∴OH＝2n，CH＝2m，
∴C（﹣2n，2m），
∵mn＝2，
∴k＝﹣4mn＝﹣8，
故选：D．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE＝∠B＝90°，CD＝BC＝AB，
∵E、F分别是CB，AB的中点，
∴BF＝AB，CE＝BC，
∴BF＝CE，
∴△DCE≌△CBF（SAS），
∴∠BCF＝∠CDE，
故①正确；
∵∠CDE+∠CEP＝90°，
∴∠BCF+∠CEP＝90°，
∴∠CPE＝90°，
即CF⊥DE，
∵BF＝AF，∠B＝∠BAM＝90°，∠BFC＝∠AFM，
∴△BCF≌△AMF（ASA），
∴AM＝BC，
∴AD＝AM，
∴AP＝AD，
故②正确；
∵△DCE≌△CBF，
∴CF＝DE，
∵∠FAM＝90°，
∴FM＞AM，
即FM＞CD，
∴CM＝CF+FM＝DE+FM＞CD+DE；
故③错误；
设CE＝a，S△CDM＝b，则BC＝2a，AB＝AD＝AM＝CD＝2a，BF＝AF＝a，
∴MD＝AD+AM＝4a，
∴CF＝＝a，
∵∠BCF＝∠PCE，∠B＝∠CPE＝90°，
∴△CPE∽△CBF，
∴，
∴S△CDM＝5b，
∴S四边形EPFB＝4b，
∵BC∥AD，
∴△CPE∽△MPD，
∴＝，
∴S△MPD＝16b，
∵＝，
∴S△CPD＝4b，
∴S△CDM＝S△CPD+S△MPD＝4b+16b＝20b，
∴S△CDM＝5S四边形EPFB．
故④正确．
∴其中正确的结论有①②④．
故选：C．
14．解：①∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC，
∵∠EAD＝∠DAC，
∴∠AED＝∠ADC．
故本选项正确；
②∵AD平分∠BAC，
∴＝＝，
∴设AB＝4x，则AC＝3x，
在直角△ABC中，AC2+BC2＝AB2，则（3x）2+49＝（4x）2，
解得：x＝，
∵∠EAD＝∠DAC，∠ADE＝∠ACD＝90°，
∴△ADE∽△ACD，得DE：DA＝DC：AC＝3：3＝1：，故不正确；
③由①知∠AED＝∠ADC，
∴∠BED＝∠BDA，
又∵∠DBE＝∠ABD，
∴△BED∽△BDA，
∴DE：DA＝BE：BD，由②知DE：DA＝DC：AC，
∴BE：BD＝DC：AC，
∴AC BE＝BD DC＝12．
故本选项正确；
④连接DM，
在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线，
则DM＝MA．
∴∠MDA＝∠MAD＝∠DAC，
∴DM∥BF∥AC，
由DM∥BF得FM：MC＝BD：DC＝4：3；
由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC＝FM：MC＝4：3，
∴3BF＝4AC．
故本选项正确．
综上所述，①③④正确，共有3个．
故选：C．
15．解：∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°
∵BD＝BC，CE＝AC
∴BD＝EC
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABE+∠EBD＝60°
∴∠ABE+∠CBE＝60°
∵∠AFE是△ABF的外角
∴∠AFE＝60°
∴①是对的；
如图，从CD上截取CM＝CE，连接EM，则△CEM是等边三角形
∴EM＝CM＝EC
∵EC＝CD
∴EM＝CM＝DM
∴∠CED＝90°
∴DE⊥AC，
∴②是对的；
由前面的推断知△BDF∽△ADB
∴BD：AD＝DF：DB
∴BD2＝DF DA
∴CE2＝DF DA
∴③是对的；
在△AFE和△BAE中，∠BAE＝∠AFE＝60°，∠AEB是公共角
∴△AFE∽△BAE
∴AF BE＝AE AC
∴④是正确的．
故选：A．
16．解：∵∠BDE＝45°，DE⊥BC
∴DB＝BE，BE＝DE
∵DE⊥BC，BF⊥CD
∴∠BEH＝∠DEC＝90°
∵∠BHE＝∠DHF
∴∠EBH＝∠CDE
∴△BEH≌△DEC
∴∠BHE＝∠C，BH＝CD
∵ ABCD中
∴∠C＝∠A，AB＝CD
∴∠A＝∠BHE，AB＝BH
∴正确的有①②③
故选：B．
17．解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以﹣2，
故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（﹣2，﹣4），
故选：C．
18．解：过点C作镜面的法线CH，由光学原理得∠DCH＝∠ACH，
∵∠DCE＝90°﹣∠DCH，
∠ACB＝90°﹣∠ACH，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠DEC＝∠ABC＝90°，
∴△CDE∽△CAB，
∴＝，
即＝，
解得AB＝6.4（m）．
答：旗杆AB高为6.4米．
故选：A．
19．解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为1：16，
∴它们的相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：4．
故选：C．
20．解：①BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝ACD，
∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠DCE＝∠CBE+∠BEC，
∴∠EBC+∠BEC＝（∠BAC+∠ABC）＝∠EBC+BAC，
∴∠BEC＝∠BAC，故①正确；
∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故②错误．
③BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵GE∥BC，
∴∠CBE＝∠GEB，
∴∠ABE＝∠GEB，
∴BG＝GE，
同理CH＝HE，
∴BG﹣CH＝GE﹣EH＝GH，
故③正确．
④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝ED，
∵CE平分∠ACD，
∴EN＝ED，
∴EN＝EM，
∴AE平分∠CAM，
设∠ACE＝∠DCE＝x，∠ABE＝∠CBE＝y，∠MAE＝∠CAE＝z，如图，
则∠BAC＝180°﹣2z，∠ACB＝180﹣2x，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2y+180°﹣2z+180°﹣2x＝180°，
∴x+z＝y+90°，
∵z＝y+∠AEB，
∴x+y+∠AEB＝y+90°，
∴x+∠AEB＝90°，
即∠ACE+∠AEB＝90°，故④正确；
故答案为：①③④．
21．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△DEF：S△BCF＝（）2，
又∵E是AD中点，
∴DE＝AD＝BC，
∴DE：BC＝DF：BF＝1：2，
∴S△DEF：S△BCF＝1：4，
∴S△BCF＝8，
又∵DF：BF＝1：2，
∴S△DCF＝4，
∴S ABCD＝2（S△DCF+S△BCF）＝24．
故答案为：24．
22．解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°．
∵AD⊥BC于点D，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C，∠B＝∠CAD，
∴△ABD∽△CAD，
∴AD2＝BD CD，
∵BD＝1，AD＝3，
∴CD＝9，
故答案为：9
23．解：在正方形ABCD中，
AE＝10，AB＝8，
∴由勾股定理可知：BE＝6，
∴CE＝8﹣6＝2
∵∠AEB+∠FEC＝90°，
∠AEB+∠EAB＝90°
∴∠FEC＝∠EAB
∴△AEB∽△EFC
∴＝
∴，
∴CF＝，
∴DF＝8﹣＝
由勾股定理可知：EF＝，
∴四边形AEFD的周长为：8+10++＝27
故答案为：27
24．解：（1）如图：
（2）C（﹣6，﹣2），D（﹣4，2）；
（3）如图所示：
∵DE＝4，OE＝2，OF＝2，EF＝4，CF＝6，
∴S△OCD＝S梯形CDEF﹣S△ODE﹣S△OCF＝（DE+CF） EF﹣DE OE﹣CF OF，
＝×（4+6）×4﹣×4×2﹣×6×2，
＝10；
（4）∵△OAB内部一点M的坐标为（m，n），
∴点M在△OCD内的对应点N的坐标为（﹣2m，﹣2n）．
25．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AED．
又∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB．
∴∠ABE＝90°．
又∠BAE＝30°，AB＝4，
∴AE＝＝＝
∵由（1）知，△ABF∽△EAD，
∴＝．即＝，
∴BF＝．
26．解：（1）∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，∠EFC＝∠B，∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠EFC，
∴△ADE∽△EFC；
（2）∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴DE＝BF，BD＝EF，
∵△ADE∽△EFC，
∴＝＝，
∴＝，＝，
∵AB＝7，BC＝14，
∴BD＝2，BF＝10，
∴四边形BDEF的周长＝2（2+10）＝24．
27．（1）证明：∵AE＝EB，AD＝DF，
∴ED是△ABF的中位线，
∴ED∥BF，
∴∠CEB＝∠ABF，
又∠C＝∠A，
∴△CBE∽△AFB．
（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，
∴，
又AF＝2AD，
∴．
28．（1）证明：∵∠DME＝∠A＝∠B＝α，
∴∠AMF+∠BMG＝180°﹣α，
∵∠A+∠AMF+∠AFM＝180°，
∴∠AMF+∠AFM＝180°﹣α，
∴∠AFM＝∠BMG，
∴△AMF∽△BGM；
（2）解：当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC，
∵M为AB的中点，
∴AM＝BM＝2，
∵△AMF∽△BGM，
∴，
∴AF＝＝＝，AC＝BC＝4 cos45°＝4，
∴CF＝AC﹣AF＝4﹣＝，CG＝BC﹣BG＝4﹣3＝1，
∴FG＝＝＝．
29．（1）证明：∵平行四边形ABCD，∠AFE＝∠B，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠CED，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，
∴∠C＝∠AFD，
∴△ADF∽△DEC，
∴＝，即DF DE＝CE AD，
则DF DE＝CE CB；
（2）解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：DE＝＝3，
∵△ADF∽△DEC，
∴＝，即＝，
解得：AF＝2．
30．解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF＝GB＝DH＝1.5米，EG＝FB＝2.5米，GH＝BD＝8米，
∴AG＝AB﹣GB＝2.4﹣1.5＝0.9米，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴＝，
∴＝，
解得：CH＝3.78米，
∴DC＝CH+DH＝3.78+1.5＝5.28米．
答：故树高DC为5.28米．
31．解：∵AB∥DE，CD＝30m，AC＝5m，AB＝6m，
∴△ABC∽△DEC．
∴AC：CD＝AB：ED，
∴5：30＝6：ED，
解得，ED＝36m，
答：池塘的宽DE是36m．
32．解：（1）如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″即为所求；
（2）如图所示：A′（4，4），B′（2，﹣2），C′（6，0）；
A″（﹣4，﹣4），B″（﹣2，2），C″（﹣6，0）．
33．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴＝，
即＝，
∵AE＝ED，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠ADE＝∠C，
∴∠ADE＝∠DAE＝∠B＝∠C，
∴△ABC∽△EAD，
∴＝，
即＝，
∴＝，
∴＝，
解得CD＝，
BD＝BC﹣CD＝6﹣＝．
34．（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE＝AB＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE＝AF：CF，
∵CE＝AB，
∴CE＝×6＝3，
∵AD＝4，
∴，
∴．