砚山县第三高级中学 2021-2022 学年上学期期末考试
高二年级数学试卷
一、选择题（共 12小题，每题 5分，共 60分）
1．设全集U 1,0,1,2,3,4 ，集合M 1,0,1 ， N 0,1,2 ，则 U M N （ ）
A． 0,1 B． 3, 4 C．{-1,0,1, 2} D． 1,3,4
2．若 zi = 2 + i，则 z （ ）
A．1 2i B．2i 2 C．2i 1 D．1 + 2i
3．在 ABC 中， AB 6 ， A 45 ， B 75 ，则 BC （ ）
A. 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 4
4．在下列函数中，既是奇函数且在 (0, )上是减函数的是（ ）
A． f (x)
1
B． f (x) x2 C． f (x) ex D． f (x) x3
x
5．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为 4的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）
16 8
A．16 B．8 C． D．
6．某校高一年级一名学生七次月考数学成绩（满分 100分）分别为 78，82，84，84，86，89，
96，则这名学生七次月考数学成绩的第 80百分位数为（ ）
A．82 B．84 C．89 D．96
7．已知向量 a 3,2,5 ，b 1, x, 1 ，且 a b 2，则 x的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知O为原点，点 A 2, 2 ，以OA为直径的圆的方程为( )
A． x 1 2 2 2 2 y 1 8 B． x 1 y 1 8
C x 1 2． y 1 2 2 D． x 1 2 y 1 2 2
9 x
2 y2
．椭圆 ＋ ＝1的焦点在 x轴上且焦距为 2，则 m的值等于（ ）
m 4
A．5 B．5或 8 C．5或 3 D．3
2 2
10．双曲线C : x y 1的离心率为 3，则 m=（ ）
m 4
A．3 B 1． 2 C．2 D．1
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11 2．设数列 an 的前 n项和为 Sn，若 Sn n ，则 a1 a3 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．设 an 为递减的等比数列，a1 a2 11， a1 a2 10，则 lga1 lga2 lga10 （ ）
A．35 B.55 C． 55 D． 35
二、填空题（共 4小题，每题 5分，共 20分）
13 ．已知向量 a =(x+5，2)， b =(4，3-4x)
，若 a b，则实数 x的值等于___________.
14．在某项竞赛活动中，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为 0.4和 0.6，且两人是否获得一等
奖相互独立，则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是__________.
15．直线 l经过点M (2,1)，且与直线 y = 2x平行，则 l的方程为__________．
16．在等比数列{an}中， a1 1， a4 8，则{an}的公比为 ，{an}的前 6项和为 ．
三、解答题（共 6小题，17题 10分其他每题 12分，共 70分）
17 ．已知函数 f x sin 2x
6
.
（1）求函数 f x π的最小正周期及 f( )2 ；
（2）求函数 f x 的单调递增区间；
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18. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以 160,180 ， 180,200 ， 200,220 ，
220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中 的值；
（2）在月平均用电量为 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 的四组用户中，用分
层抽样的方法抽取 户居民，则月平均用电量在 220,240 的用户中应抽取多少户？
19．如图，在四棱锥 P-ABCD中， PD 2 AD =4，PD DA，PD DC，底面 ABCD为
正方形，M，N分别为 AD，PD的中点.
（1）求证： PA∥平面 MNC；
（2）求直线 PB与平面 MNC所成角的正弦值.
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20．已知直线 l经过两条直线 2x y 3 0和 4x 3y 5 0的交点，且与直线 x y 2 0垂
直．
（1）求直线 l的一般式方程；
（2）若圆C的圆心为点(3,0)，直线 l被该圆所截得的弦长为 2 2，求圆C的标准方程．
21．已知抛物线 E : y 2 x和直线 l : y kx 2．
（1）求抛物线焦点到准线的距离；
（2）若直线 l与抛物线E有两个不同的交点，求 k的取值范围；
22.设 Sn为等差数列{an}的前 n项和，已知 S3＝a7，a8－2a3＝3.
(1)求 an；
(2) 1设 bn＝ ，求数列{bS n
}的前 n项和 Tn.
n
第 4 页 共 4 页参考答案：
1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】A 5.【答案】C 6.【答案】C
7.【答案】C 8.【答案】D 9.【答案】A 10.【答案】B 11.【答案】B 12.【答案】D
13 13
13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】2x y 3 0 16.【答案】2 (2分) 63（3分）
2 25
17.【答案】（1）T f( π 12 ) = 2；（2） k , k k Z【解析】 6 3
分析：（1）根据三角函数周期公式即可求函数 f x 的最小正周期；
（2）根据三角函数周单调性即可求函数 f x 的单调增区间；
详解：
1 （ ）对于函数 f x sin 2x
2 π 1 ，它的最小正周期为T （2分）；6 f( ) = 2 （3分）2 2
（2）令 2k 2x
2k ,k Z，
2 6 2
求得 2k 2x
2
2k ,k Z ，即 k x
k ,k Z .
3 3 6 3
所以，函数 f x 的单调递增区间是 k , k k Z .（5分） 6 3
18. (1)x=0.0075, (2)应抽取 5户
解答过程需要有必要的文字说明，第二问需要求出每 5户抽一户，言之有理，计算正确即可给分。
19.【答案】
（1）见解析；
1
（2） .
6
【分析】
(1)利用中位线定理证明 PA∥MN，然后由线面平行的判定定理证明即可；
(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面
MNC的法向量，由向量的夹角公式求解即可.
（1）
∵M ，N分别为 AD， PD的中点，
∴PA∥MN，
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又 PA 平面MNC，MN 平面MNC，
故 PA∥平面MNC；
亦可以用空间向量法进行证明。
（2）
由题可知 DA、DC、DP两两垂直，故以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
因为 PD 2 AD 4，
则 B(2，2， 0)，C(0，2， 0)， P(0，0， 4)，M (1，0， 0)， N (0，0， 2)，
∴ PB (2,2, 4),NC (0,2, 2),MN ( 1,0,2) ，
设平面MNC的法向量为 n (x, y, z)，
n M N x 2z 0则 ，
n NC 2y 2z 0
令 y 1，则 z 1， x 2，
n 故 (2,1,1)，
| cos PB, n | | P B n | 2 1∴ ，| PB || n | 4 4 16 4 1 1 6
1
故直线 PB与平面MNC所成角的正弦值为 .
6
20.【答案】
（1） x y 1 0
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（2） (x 3)2 y2 4
【分析】
（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线 l的方程；
（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．
（1）
2x y 3 0 x 2
解：由题意知
4x 3y 5
，解得
0 y 1
，
直线 2x y 3 0和 4x 3y 5 0的交点为 (2,1)；
设直线 l的斜率为 k， l与直线 x y 2 0垂直， k 1；
直线 l的方程为 y 1 (x 2)，化为一般形式为 x y 1 0；
（2）
解：设圆C的半径为 r，则圆心为C(3,0)到直线 l : x y 1 0的距离为
d | 3 0 1| 2 | AB | 2 2
2 2 ，由垂径定理得 r
2 d 2 ( )2 ( 2)2 ( )2 4 ，
1 1 2 2
解得 r= 2，
圆C的标准方程为 (x 3)2 y2 4．
21.【答案】
1 1（ ） 2
1
（2） k 且 k 0
8
【分析】
(1)根据抛物线方程写出焦点坐标，准线方程即可得解.
(2)联立直线 l与抛物线 E的方程，借助判别式 0求解即得.
（1）
1
抛物线 E : y 2 x的焦点 F ( ,0) 1，准线为直线： x
4 4
，
1
所以抛物线焦点到准线的距离为 2 .
（2）
y2 x
依题意，由 消去 x得： ky2 y 2 0，
y kx 2
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1 8k 0 k 1因直线 l与抛物线 E有两个不同的交点，则 k 0，且 ，
8
k k 1所以 的取值范围是 且 k 0 .
8
22.解 (1)设数列{an}的公差为 d，
3a1＋3d＝a1＋6d，
由题意得
a1＋7d －2 a1＋2d ＝3，
解得 a1＝3，d＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.
n n－1
(2)由(1)得 Sn＝na1＋ d＝n(n＋2)，
2
1 1
1 1 －
∴bn＝ ＝ n n＋2 .
n n＋2 2
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn
1 1 1 1 1 1 1
1 1－ － － －
＝ 3 ＋ 2 4 ＋…＋ n－1 n＋1 ＋ n n＋2
2
1 1 1
1 1＋ － －
＝ 2 n＋1 n＋2
2
1 1
3 1 ＋
＝ － n＋1 n＋2 .
4 2
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