北京课改版八上数学 12.11 勾股定理 知识
一、选择题（共3小题；共15分）
1. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ，若 ，大正方形的面积为 ，则小正方形的面积为
A. B. C. D.
2. 如图，点 表示的实数是
A. B. C. D.
3. 如图所示，点 在正方形 的边 上，若 ，，那么正方形 的面积为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
4. 直角三角形的两边长分别为 ，，则第三边边长为 ．
5. 如图，学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为 ，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为 ，利用勾股定理求出旗杆的高度约为 ．
6. 如图，在 中，，，， 平分 交 于 点，， 分别是 ， 上的动点，则 的最小值为 ．
7. 在 中，，若 ，，则 ， ．
8. 如图所示，隔湖有两点 ，，为了测得 ， 两点间的距离，从与 方向成直角的 方向上任取一点 ，若测得 ，，那么 ， 两点间的距离是 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
9. 在 中，，，，，若 ，，分别求 ， 的长度．
10. 如图，在 中，，，，求 边上的高 ．
11. 如图，小明欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 与欲到达地点 相距 米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多 米，求该河的宽度．
12. 在一棵树 米高的 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 米处的池塘 处，另一只爬到树顶 后直接跃到池塘 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的路程相等，则这棵树高多少米
13. 在数轴上作出表示 和 的点．
14. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 ，每个小正方形的顶点叫做格点．以格点为顶点画三角形，使三角形的三边长分别为 ，，．
15. 如图，把一块等腰直角三角形零件（，其中 ），放置在一凹槽内，三个顶点 ，， 分别落在凹槽内壁上，已知 ，测得 ，，求该三角形零件的面积．
答案
第一部分
1. C 【解析】如图所示：
，
，
大正方形的面积为 ，
，
小正方形的面积为 ．
2. D
3. B 【解析】因为四边形 是正方形，
所以 ，
所以 ，
所以正方形 的面积 ．
第二部分
4. 或
【解析】（）若把两边都看做是直角边，则据已知和勾股定理，可设第三边边长为 ，则 ，
所以 ．
（）若把 长的边看做斜边，设第三边边长为 ，
则 ，
所以 ，
所以 ．
5.
6.
【解析】如图所示：在 上取点 ，使 ，过点 作 ，垂足为 ．
在 中，依据勾股定理可知 ．
，
，
当 ，， 共线，且点 与 重合时， 的值最小，最小值为 ．
7. ，
【解析】设 ，，．
由勾股定理得 ，即 ，解得 ．
故 ，．
8.
第三部分
9. ，．
10. ．
11. 设河宽为 米，即 米，
米，
由勾股定理得 ，
解得 ．
所以河的宽度为 米．
12. 设这棵树高 米，则 ，
依题意有 ，
即 ，
，
根据勾股定理，得
解得
答：这棵树高 米．
13. 所作图形如下：
14. 由于 ，因此可以构造一个两直角边长均为 的直角三角形，这个直角三角形的斜边长就是 ．要构造一条长度为 的线段，可构造一个直角边长分别为 和 的直角三角形，然后通过平移线段得到三角形．如图所示， 即为所求作的三角形．
15. 是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
该零件的面积为：．
第1页（共1 页）北京课改版八上数学 12.1-12.2 三角形的性质 知识
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图， 中，，，点 在 的延长线上，则 等于
A. B. C. D.
2. 一个同学用三根木棒拼三角形，其中符合三角形概念的是
A. B.
C. D.
3. 如图，工人师傅做了一个长方形窗框 ，，，， 分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在
A. ， 两点之间 B. ， 两点之间 C. ， 两点之间 D. ， 两点之间
4. 三角形的三边长分别为 ，，，则 的取值范围为
A. B. C. D.
5. 已知实数 ， 满足 ，则以 ， 的值为两边长的等腰三角形的周长是
A. 或 B.
C. D. 以上答案均不对
6. 如图是一块三角形木板的残余部分，量得 ，，则这块三角形木板缺少的角是
A. B. C. D.
7. 如图，一把直尺的边缘 经过一块三角板 的直角顶点 ，交斜边 于点 ，直尺的边缘 分别交 ， 于点 ，，若 ，，则 的度数为
A. B. C. D.
8. 把一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则 的度数为
A. B. C. D.
9. 如图，被纸板遮住的三角形是
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 以上三种都有可能
10. 一个三角形三个内角的度数之比为 ，这个三角形是
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定
二、填空题（共3小题；共15分）
11. 如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是利用三角形的 ．
12. 已知三角形的三边长为 ，，，满足 ，如果其周长为 ，那么该三角形的最大边长为 ．
13. 已知 ，， 是 的三条边长，化简 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
14. 如图，
（1）图中共有几个三角形 请分别表示出来．
（2）以 为内角的三角形有哪些
（3）以 为内角的三角形有哪些
（4）以 为边的三角形有哪些
15. 已知等腰三角形的周长是 ，若其中一边长为 ，求另外两边的长．
16. 已知 有两边的长分别为 和 ，第三边的长是关于 的方程 的解，求 的取值范围．
17. 如图，已知在三角形 中，， 分别是 ， 的平分线，如果 ，求 的度数．
18. 如图①，在三角形 中，，，且 于点 ．
（1）试推出 ，， 之间的关系；
（2）如图②，当点 在 的延长线上时，其他条件不变，（）中推导的结论还成立吗 请直接写出结论．
19. 在 中，，，点 在直线 上运动（不与点 ， 重合），点 在射线 上运动，且 ，．
（1）如图①，当点 在边 上时，若 ，则 ， ．
（2）如图②，当点 运动到点 的左侧时，请探究 与 之间的数量关系，并说明理由．
（3）当点 运动到点 的右侧时， 与 还满足（）中的数量关系吗 请利用图③画出图形，并说明理由．
答案
第一部分
1. C 【解析】 是 的一个外角，
，
，，
．
2. D
3. B
4. B
5. C
【解析】根据题意得，，，
解得 ，，
① 是腰长时，三角形的三边分别为 ，，，
，
，， 不能组成三角形，
② 是底边时，三角形的三边分别为 ，，，
能够组成三角形，
周长 ；
综上所述，三角形的周长为 ．
6. B 【解析】缺少的角为 ．
7. C 【解析】，
，
，
，
，
．
8. D
9. D
10. C
第二部分
11. 稳定性
12.
13.
【解析】，
，
，
，
，，
第三部分
14. （1） 图中共有 个三角形，分别是 ，，，，，，，．
（2） 以 为内角的三角形有 ，．
（3） 以 为内角的三角形有 ，．
（4） 以 为边的三角形只有 ．
15. 当腰长为 时，底边长 ，，， 能构成三角形，此时另外两边长为 ，；
当底边长为 时，三角形的腰长为 ，，， 能构成三角形，此时另外两边长为 ，．
故另外两边的长度是 ， 或 ，．
16. 解关于 的方程 ，得 ．
由题意，得 ，即 ，
所以 ，
所以 ．
17.
18. （1）
（2） （）中推导的结论仍成立，．
19. （1） ；
【解析】，
在 中，，，
，
，
，，
，
．
（2） ，
在 中，，
，
在 中，，
，
，
，
，，
，
．
（3） 如图，
在 中，，
，
，
在 中，，
，
，
，
，，
，
．
第1页（共1 页）北京课改版八上数学 12.9 逆命题、逆定理 知识
一、选择题（共2小题；共10分）
1. 有下列四个命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中真命题的个数为
A. B. C. D.
2. 用三个不等式 ，， 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为
A. B. C. D.
二、填空题（共1小题；共5分）
3. 命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
4. 判断下列语句是不是命题，若是命题，把它改写成“如果 那么 ”的形式．
（1）作线段 的中点 ．
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
5. 下列定理有没有逆定理 为什么
（1）对顶角相等．
（2）全等三角形的对应边相等．
6. 如图所示，直线 ，直线 与 ， 分别交于 ， 两点，点 是线段 上的一个动点（不与 ， 重合），试判断 ，， 这三个角之间有怎样的数量关系．先用量角器量一量，得出你的猜想，再证明．
答案
第一部分
1. B 【解析】①平行于同一条直线的两条直线平行，为真命题．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，为真命题．
③两条直线被第三条直线所裁，同位角相等，为假命题．
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，为假命题．
故真命题的个数为 个．
2. D 【解析】命题①，如果 ，，那么 ．
，．
整理得 ．
命题①是真命题．
命题②，如果 ，，那么 ．
，．
．
，，．
命题②是真命题．
命题③，如果 ，，那么 ．
，．
，
，，．
命题③为真命题．综上，真命题的个数为 ．
第二部分
3. 同旁内角互补，两直线平行
【解析】命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，故其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”．
第三部分
4. （1） 不是命题．
（2） 是命题．改写为：在同一平面内，如果有两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
5. （1） 定理“对顶角相等”的逆命题是：相等的两个角是对顶角．这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．
（2） 定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是：三边对应相等的两个三角形是全等三角形，这是一个真命题．所以“全等三角形的对应边相等”有逆定理.
6. 猜想：．
证明：如图所示，过点 作 ，
所以 （两直线平行，内错角相等）．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
第1页（共1 页）北京课改版八上数学 12.10 轴对称和轴对称图形 知识
一、选择题（共7小题；共35分）
1. 年 月北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是
A. B.
C. D.
2. 下列图形中对称轴的条数最少的是
A. 正五边形 B. 等边三角形
C. 正方形 D. 长宽不等的长方形
3. 甲、乙两人各用一张正方形的纸片 折出一个 角（如图），两人做法如下：
甲：将纸片沿对角线 折叠，使 点落在 点上，则 ；
乙：将纸片沿 ， 折叠，分别使 ， 落在对角线 上的一点 ，则 ．
对于两人的做法，下列判断正确的是
A. 甲乙都对 B. 甲对乙错 C. 甲错乙对 D. 甲乙都错
4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
A. B.
C. D.
5. 下列语句：①两个图形关于某条直线对称，对应点一定在该直线的两旁；②平面上完全相同的两个图形一定关于某条直线对称；③如果线段 和 关于某条直线对称，那么 ；④如果 ， 两点到直线 的距离相等，那么 ， 两点关于直线 对称，其中正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形 ，图中， 度．
A. B. C. D.
7. 如图，已知一条笔直的河 ，牧马人从 地出发，到河边 处饮马，然后到 地，现有如下四种方案，其中使牧马人所走路径最短的是
A. B.
C. D.
二、解答题（共4小题；共52分）
8. 如图，在 的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中 是一个格点三角形．在每张图中画出一个与 成轴对称的格点三角形，并将所画三角形涂上阴影．
9. 如图，画出线段 关于直线 的对称线段 ．
10. 如图，在 外有一点 ．
（1）试画出点 关于直线 的对称点 ，再画出点 关于直线 的对称点 ；
（2）试探索 与 的数量关系并说明理由；
（3）若点 在 的内部，上述结论还成立吗 若成立，请说明理由；若不成立，请写出此时 与 的数量关系．
11. 如图， 与 关于直线 对称，请仅用无刻度的直尺，在图（）与（）中分别作出直线 ．
答案
第一部分
1. D
2. D
3. A
4. C
5. A
【解析】对应点也可能在对称轴上，故①错误；
全等图形经过折叠不一定能完全重合，故②错误；
， 到直线 的距离相等，但 ， 不一定关于直线 对称，故④错误；
易知③正确，故选A．
6. C 【解析】五边形 为正五边形，
所以 ，
因为 ，
所以 为等腰三角形，
正五边形一个内角为：，
所以 ．
故选：C．
7. D
第二部分
8. 如图所示．
9. 略．
10. （1） 如图（）所示．
（2） ．
理由：如图（），
点 关于直线 的对称点为 ，点 与 关于直线 对称，
，，
，即 ．
（3） 若点 在 的内部，结论 还成立．
理由：如图（），
点 关于直线 的对称点为 ，点 与 关于直线 对称，
，，
11. 如图（），过 ， 的交点和点 作直线，
该直线就是所求作的直线 ．
如图（），过 ， 的延长线的交点和 ， 的延长线的交点作直线，
该直线就是所求作的直线 ．
第1页（共1 页）北京课改版八上数学 12.6 等腰三角形 知识
一、选择题（共7小题；共35分）
1. 如图， 是等腰三角形 的顶角平分线，，则 等于
A. B. C. D.
2. 等腰三角形的一个内角为 ，则另外两个内角的度数分别是
A. ， B. ， 或 ，
C. ， D. ， 或 ，
3. 如图，在 中，，点 在 边上，且 ，则 的度数为
A. B. C. D.
4. 若等腰三角形的顶角为 ，则它的底角的度数为
A. 或 B. C. D.
5. 如图，过等边三角形 的顶点 作射线，若 ，则 的度数是
A. B. C. D.
6. 下列判断正确的个数是
（）能够完全重合的两个图形全等；
（）两边和一角对应相等的两个三角形全等；
（）两角和一边对应相等的两个三角形全等；
（）全等三角形对应边相等．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 如图，在 中，，， 是 的角平分线，则图中的等腰三角形共有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（共4小题；共20分）
8. 如图，平面内四条线段 ，，， 首尾顺次连接，，．点 在 的延长线上， 的平分线和 平分线交于点 ，则 度．
9. 若等边 的边长 为 ，则该三角形的高为 ．
10. 如图，某失联客机从 地起飞，飞行 到达 地，再折返飞行 到达 地后在雷达上消失，已知 ，则失联客机消失时离起飞的位置 地的距离为 ．
11. 如图所示，在 中，， 是 边上的高，那么 度．
三、解答题（共7小题；共91分）
12. 等腰三角形腰与底边长的比是 ，且周长为 ，求这个三角形各边的长．
13. 上午 时，一艘轮船从 处出发以每小时 海里的速度向正北航行， 时到达 处，则轮船在 处测得灯塔 在北偏西 ，航行到 处时，又测得灯塔 在北偏西 ，求从 到灯塔 的距离．
14. “三等分角器”是利用阿基米德原理做成的.如图， 为要三等分的任意角，图中 ， 两滑块可在角的两边上滑动，且始终保持 ．求证：．
15. 如图， 是等边三角形，．动点 从点 出发，以 的速度在边 的延长线上运动．以 为边作等边三角形 ，点 ， 在直线 同侧．连接 ， 相交于点 ．设点 的运动时间为 ．
（1）当 时，；
（2）求证：；
（3）求 的度数；
（4）设 与 交于点 ， 与 交于点 ，连接 ，当点 将边 分成 的两部分时，直接写出 的周长．
16. 已知，在 中，，，点 为 的中点．
（1）如图①，若点 ， 分别为 ， 上的点，且 ，求证：；
（2）若点 ， 分别为 ， 延长线上的点，且 ，那么 吗 请利用图②说明理由．
17. 如图， 中， 平分 ， 平分 ， 过点 交 于点 ，交 于点 ，且 ，，．求 的长．
18. 如图，点 在 上，，求证：．
答案
第一部分
1. B 【解析】 是等腰三角形 的顶角平分线，，
是 的中线，
．
2. D 【解析】分两种情况讨论：（）若等腰三角形的顶角为 ，则它的底角 ；（）若等腰三角形的底角为 ，则它的另外一个底角为 ，顶角为 ．故选D．
3. D 【解析】，
，
，
，，
设 ，则 ，，
可得 ，解得：，则 ．
4. B 【解析】 等腰三角形的顶角为 ，
它的底角的度数为 ．
5. A
6. C 【解析】（）能够完全重合的两个图形全等，正确；
（）两边和一角对应相等的两个三角形全等，必须是 才可以得出全等，错误；
（）两角和一边对应相等的两个三角形全等，是一角的对边或两角的夹边对应相等，正确；
（）全等三角形对应边相等，正确．所以有 个判断正确．
7. C 【解析】，
是等腰三角形．
，，
是 的角平分线，
，
，
，
，
是等腰三角形．
，，
，
，
，
是等腰三角形．
故图中的等腰三角形有 个．
第二部分
8.
【解析】设 ，，，
即 ，故 ，
．
9.
10.
【解析】连接 ，
因为 ，，
所以 为等边三角形，
所以 ．
11.
【解析】设 ，则 ．
在 中，由三角形内角和定理有 ，
所以 ，
所以 ．
又因为 是 边上的高，
所以 ，
所以 ．
第三部分
12. ，，．
13. 由题意得： 海里，
，
海里，
答：从 到灯塔 的距离为 海里．
14. ，
．
．
，
．
．
．
．
15. （1）
【解析】 ， 都是等边三角形，
当 时，，
．
故答案为 ．
（2） 是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
．
（3） ，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
（4） 或
【解析】如图 中，
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
当 时，，
的周长为 ，
如图 中，当 时，， 的周长为 ，
综上所述， 的周长为 或 ．
16. （1） 连接 ，如图①所示．
，，
为等腰直角三角形，．
点 为 的中点，
，．
，，
．
在 和 中，
，
．
（2） ，证明如下：
连接 ，如图②所示．
，
．
，，
．
在 和 中，
，
．
17. 平分 ，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
．
18. 在 与 中，
．
．
在 与 中，
．
第1页（共1 页）北京课改版八上数学 12.4 全等三角形 知识
一、选择题（共4小题；共20分）
1. 如图，，，则下列结论中，错误的是
A. B.
C. D.
2. 如图，，若 ，，，则 的度数为
A. B. C. D.
3. 如图，若 ，则下列结论中一定成立的是
A. B.
C. D.
4. 下列各组的两个图形属于全等图形的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共3小题；共15分）
5. 如图， 与 全等，这可表示为 ，其中 与 是对应角， 与 是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 ．
6. 如图所示，沿直线 对折， 与 重合，则 ， 的对应边是 ， 的对应边是 ， 的对应角是 ．
7. ，若 的面积为 ， 边上的高为 ，则 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
8. 如图，，，，求 的长．
9. 如图所示，把大小为 的正方形方格图形分割成两个全等的图形，请在图中沿虚线画出四种不同的方法.
10. 如图，，点 在边 上，求证：．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. A 【解析】A、 ，
，
，
即 ，本选项结论成立；
B、 ，
，而 与 不一定相等，本选项结论不成立；
C、 ，
，而 与 不一定相等，本选项结论不成立；
D、 ，
，而 与 不一定相等，本选项结论不成立；
故选：A．
4. D 【解析】A中两个嘴巴不能完全重合，故本选项错误；
B中两个正方形边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；
C中圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；
D中两个图形能完全重合，故本选项正确．
第二部分
5. ， 与 ， 与 ， 与 ， 与
6. ，，，
【解析】沿直线 对折， 与 重合，则 ，
的对应边是 ， 的对应边是 ， 的对应角是 ．
7.
【解析】，
．
，
，
．
第三部分
8. ，，
，
，
．
9. 如图所示，答案不唯一.
10. ，
，，
，
即 ，
，
，
．
第1页（共1 页）北京课改版八上数学 12.12 勾股定理的逆定理 知识
一、选择题（共4小题；共20分）
1. 以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2. 满足下列条件的 不是直角三角形的是
A. ，， B. ，，
C. D.
3. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是 ，，，，，选取其中三块（可重复选取）按如图所示的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
二、填空题（共2小题；共10分）
5. 欲检验画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为 和 ，对角线长为 ，则该画框 ．（填“合格”或“不合格”）
6. 已知 中，周长为 ，，则 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
7. 三角形的三边长分别为下面各数时，试判断这些三角形是否为直角三角形．
（1），，；
（2），，；
（3），，．
8. 如图，四边形 中，， 平分 ，， 为 上一点，，，求 的长．
9. 如图所示，在 中，，，，点 是 外一点，连接 ，，且 ，．
（1）求 的长．
（2）求四边形 的面积．
答案
第一部分
1. B 【解析】A．，不能构成直角三角形；
B．，能构成直角三角形；
C．，不能构成直角三角形；
D．，不能构成直角三角形．故选B．
2. D 【解析】A．，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．，，
，，，
不是直角三角形，故本选项符合题意．
3. C 【解析】A．，故能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B．，故能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C．，故不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D．，故能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
4. B 【解析】当选取的三块纸片的面积分别是 ，， 时，围成的直角三角形的面积是 ；
当选取的三块纸片的面积分别是 ，， 时，围成的直角三角形的面积是 ；
当选取的三块纸片的面积分别是 ，， 时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是 ，， 时，围成的直角三角形的面积是 ；
又 ，
为了使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，应选取的三块纸片的面积分别是 ，，．
第二部分
5. 合格
【解析】由 ，得该画框的两边与一条对角线组成了直角三角形，故画框的两边垂直，故合格．
6.
第三部分
7. （1） ，
此三角形是直角三角形．
（2） ，
此三角形是直角三角形．
（3） ，
此三角形不是直角三角形．
8. ，，，
，
，
，
，
，
平分 ，
．
9. （1） 在 中，，，，
所以 ，
所以 ．
（2） 因为 ，，
所以 ，
由（）知 ，即 ，
所以 ，
所以 是直角三角形，且 ，
所以 ．
由（）知在 中，，，，
所以 ．
所以 ．
第1页（共1 页）北京课改版八上数学 12.7 直角三角形 知识
一、选择题（共4小题；共20分）
1. 在 中，若一个锐角等于 ，则另一个锐角的度数为
A. B. C. D.
2. 如图，在 中，，，垂足为 ．下列结论中，不一定成立的是
A. 与 互余 B. 与 互余
C. D.
3. 如图，若 ，，，则
A. B. C. D.
4. 如图，已知 ，，， 相交于点 ，给出下列五个结论
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确结论有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（共3小题；共15分）
5. 在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的 倍还多 ，则较小的锐角度数是 ．
6. 如图， 为 中斜边 上的一点，且 ，过 作 的垂线，交 于 ，若 ．则 的长为 ．
7. 如图，正方形网格中，点 ，，， 均在格点上，则 ．
三、解答题（共2小题；共26分）
8. 如图，已知 ， 与 交于点 ，．求证：．
9. 如图， 是 的高， 为 上一点， 交 于点 ，且 ，，试说明 与 的位置关系．
答案
第一部分
1. C 【解析】 直角三角形中，一个锐角等于 ，
另一个锐角的度数 ．
故选：C．
2. D
3. C 【解析】如图，连接 并延长，
则 ，，
故选C．
4. D
第二部分
5.
【解析】设另一个锐角为 ，则一个锐角为 ，
由题意得 ，解得 ，．
这两个锐角的度数分别为 ，，其中较小的锐角度数是 ．
6.
【解析】连接 ，
为 中斜边 上的一点，
且 ，过 作 的垂线，交 于 ，
，
在 和 中，（已知），（公共边），
，
，
又 ．
．
7.
【解析】在 和 中，
，
，
，
，
，即 ，
．
第三部分
8. ，，
在 与 中
，
．
9. 是 的高，
．
在 和 中，
．
．
，
．
．
．
第1页（共1 页）北京课改版八上数学 12.8 基本作图 知识
一、选择题（共9小题；共45分）
1. 观察下列作图痕迹，所作 为 的边 上的高的是
A. B.
C. D.
2. 如图，点 在 的边 上，用尺规作出了 ，作图痕迹中，弧 是
A. 以 点 为圆心， 为半径的弧
B. 以点 圆心， 为半径的弧
C. 以点 为圆心， 为半径的弧
D. 以点 为圆心， 为半径的弧
3. 如图，在三角形 中，， 平分 交 于点 ，且 ，，则点 到 的距离为
A. B. C. D.
4. 如图， 的三边 ，， 的长分别 ，，， 是 三条角平分线的交点，则
A. B. C. D.
5. 如图，如果点 在 的角平分线上，，，那么和 相等的线段是 ．
A. B. C. D.
6. 如图，在 中，，， 垂直平分 ，则 的度数等于
A. B. C. D.
7. 根据下列已知条件，能作出唯一的 的是
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，
8. 如图，已知 ，，用尺规作图的方法在 上取一点 ，使得 ，则下列选项正确的是
A. B.
C. D.
9. 如图，已知 是 的边 上的点， 于点 ， 点 ，，， 与 交于点 ，下列结论：
（） 平分 ；
（）；
（）；
（）图中共有 对全等三角形．
其中一定正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（共1小题；共5分）
10. 如图，， 的垂直平分线 交 于点 ，，，则 的周长是 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
11. 如图，已知线段 ，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写画法）
（1）画线段 ，使 ；
（2）画线段 ，使 ．
12. 如图，在下面 中，用尺规作出 边上的高及 的平分线（不写作法，保留作图痕迹）
13. 如图， 交 于 ， 交 于 ，若 ，．
（1）求证： 平分 ；
（2）已知 ，，求 的长．
14. 已知：线段 ，．求作：直角 ，使 ，，．
15. 如图， 中，， 边的垂直平分线分别交 于点 ，，垂足分别为点 ，， 的周长为 ．
（1）求 中 边的长度．
（2）若 ，求 的度数．
16. 回答下列问题：
（1）【知识运用】如图①，，，， 相交于点 ．求证：．
（2）【数学思考】如图②，已知三个点 ， 和 ，只允许用圆规作点 ，使得 ， 两点关于 所在的直线对称．
17. 如图，已知线段 ， 和 ，求作一个钝角 ，使得 ，，．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. C 【解析】过 作 于 ，
，，
，，
平分 ，且 ，
，
即 到 的距离为 ．
4. C 【解析】 是 三条角平分线的交点，，， 的长分别 ，，，
．
5. A
6. B 【解析】，，
．
垂直平分 ，
，
，
．故选B．
7. A 【解析】当 ，， 时，根据“”可判断 的唯一性．
8. D 【解析】因为 ，
而 ，
所以 ，
所以点 在 的垂直平分线上，
即点 为 的垂直平分线与 的交点．
9. C 【解析】，，
， 是直角三角形，
，
，
是 平分线，故（）正确．
，
，故（）正确．
根据（）中结论，，
根据（）中结论，，
，故（）正确．
，
，，
在 和 中，
，
，
，
，
有 对全等，故（）错误．
第二部分
10.
【解析】 的垂直平分线 交 于点 ，
，
的周长是 ，
故答案为：．
第三部分
11. （1） 如答图 ，线段 即为所求．
（2） 如答图 ，线段 即为所求．
12. 高是过 作 的垂线，高和角平分线都是线段．
13. （1） ，，
，
在 和 中，
（），
，
，，
平分 ；
（2） ，
，，
，
，
．
14. 如图， 为所作．
15. （1） 的中垂线交 于点 ， 的中垂线交 于点 ，
，，
则 的周长 ，
．
（2） ，
，
，，
，，
，，
，
．
16. （1） ，，
， 在线段 的垂直平分线上，
．
（2） 以 为圆心， 的长为半径画弧，再以 为圆心， 的长为半径画弧，两弧交于点 ，点 即为所求．
，，
， 在线段 的垂直平分线上，
， 两点关于 所在的直线对称．
17. 略．
第1页（共1 页）北京课改版八上数学 12.5 全等三角形的判定 知识
一、选择题（共3小题；共15分）
1. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明 的依据是
A.
B.
C.
D. 角平分线上的点到角两边距离相等
2. 如图，四边形 的对角线 ， 相交于点 ，，下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中所有正确结论的序号是
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②
3. 如图，已知 ，，， 在同一条直线上，，，则下列条件中，不能判断 的是
A. B. C. D.
二、填空题（共2小题；共10分）
4. 如图，在正方形 中，边长为 的等边 的顶点 ， 分别在 和 上，下列结论：① ② ；③ ；④ ．则正确结论的序号是 （把你认为正确的都填上）．
5. 如图，，，垂足分别为 、 ，，，，点 为 边上一动点，当 时，形成的 与 全等．
三、解答题（共10小题；共130分）
6. 如图，已知 ，．求证：．
7. 如图，点 在 的外部，点 在 边上， 交 于点 ，若 ，．求证：．
8. 已知：点 ，，， 在同一条直线上，，，，求证：．
9. 画 ，使 厘米， 厘米，．
10. 求证：等腰三角形两底角相等．
11. 如图，在 中， 是 边上的点（不与 ， 重合），， 分别是 及其延长线上的点，．请你添加一个条件，使 （不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．
（1）你添加的条件是： ；
（2）证明：
12. 如图，，， 三点共线，，，，求证：．
13. 如图，四边形 中，，，，垂足分别为 ，，且 ，那么 吗 为什么
14. 将一块直角三角板 放置在 上，使得该三角板的两条直角边 ， 恰好分别经过点 ，．
（1）如图①，当 时， ， ．
（2）如图②，改变直角三角板 的位置，使该三角板的两条直角边 ， 仍然分别经过点 ，，那么 的大小是否发生变化 若变化，请举例说明；若没有变化，请探究 与 的关系．
15. 如图，在 中，，角平分线 ， 交于 ，求证：．
答案
第一部分
1. A
2. B 【解析】，
，，．
，
，
，①正确．
，，，
，
，②③正确．
④由已知条件无法得证．
3. D 【解析】A．，，
又 ，，
在 和 中，
．
B．在 和 中，
．
C．，，
在 和 中，
．
D．，，，
三角形全等不可通过 证明．
故正确答案为D．
第二部分
4. ①②④
5.
【解析】当 时，，
，，
，
，，
，
在 和 中
，
故答案为：．
第三部分
6. ，，
，即 ．
在 和 中，
．
7. ，，
．
，
．
在 与 中，
．
8. ，
，即：，
，
，
在 和 中，
，
，
．
9. 如图所示：
10. 已知：如图，在 中，．
求证：．
证明：过点 作 于点 ，
，，
（等腰三角形三线合一）．
又 ， 为公共边，
．
．
11. （1） （或点 是线段 的中点）或 或
【解析】（或点 是线段 的中点）或 或 中任选一个即可．
（2） 以 为例进行证明：
，
，
在 与 中，
．
12. ，
，
在 和 中，
，
．
13. 因为 ，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，，
从而有 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，
在 和 中，
所以 ，
所以 ．
14. （1） ；
（2） 没有变化．
，
，
，
15. 在 上截取 ，连接 ．
易证 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，，
所以 ，
易证 ，
所以 ，
所以 ．
第1页（共1 页）北京课改版八上数学 12.3 三角形中的主要线段 知识
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 如图所示，在 中，已知点 ，， 分别为边 ，， 的中点，且 ，则 等于
A. B. C. D.
2. 如图所示，有一条线段是 的中线，该线段是
A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段
3. 如图所示，在 中，，， 是 的角平分线，则 的度数为
A. B. C. D.
4. 如图所示在 中， 边上的高线画法正确的是
A. B.
C. D.
5. 如图所示， 中 边上的高线是
A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段
6. 如图，在 中， 平分 交边 于点 ．若 ，，则 的大小为
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
7. 如图， 为 的中线，，，若 的周长为 ，则 的周长为 ．
8. 如图，在 中，， 平分 ，点 在 延长线上，且 ．若 ，则 的度数是 ．
9. 如图，在一个 的长方形网格中，每个网格都是边长为 个单位长度的小正方形， 的每个顶点都在网格的格点上，则 的面积为 ．
10. 如图，已知 是 的边 上的中线， 是 的边 上的中线，若 的面积为 ，则 的面积为 ．
三、解答题（共4小题；共52分）
11. 如图，在 中，，中线 把 分成两个小三角形．若 的周长比 的周长大 ，求 的长．
12. 如图，在 中， 是 边上的高，点 是 上一点， 交 于点 ，且 ，求证： 是直角三角形．
13. 如图，在 中，，．
（1）作 边上的高 ．
（2）若 ，求点 到 的距离．
14. 我们把图 中的图形称为“ 字形”，我们知道 ．
阅读下面的内容，解决问题：
如图 ，， 分别平分 ，，若 ，，求 的度数．
解析：， 分别平分 ，，
，，
由上面的结论，得
① ②得 ，即 ，
．
（1）如图 ，射线 的反向延长线平分 ， 平分 ，若 ，，猜想 的度数，并说明理由；
（2）在图 中， 平分 ， 平分 ，猜想 与 ， 之间的关系，直接写出结论，不需要说明理由；
（3）在图 中， 平分 ， 平分 ，猜想 与 ， 之间的关系，直接写出结论，不需要说明理由．
答案
第一部分
1. B 【解析】．
2. B 【解析】通过观察可知，点 为线段 的中点，则线段 符合题意．
故选B．
3. A 【解析】，
．
4. B 【解析】在 中， 边上的高线画法正确的是B，故选：B．
5. C
6. B 【解析】，
又 平分 ，
，
．
第二部分
7.
8.
【解析】，，
，
平分 ，
，
，
，
故答案为：．
9.
【解析】过点 作 延长线的垂线 交 的延长线于 ，
10.
第三部分
11. 是 的中线，
.
的周长比 的周长大 ，
.
，
．
12. 是 边上的高，
，
，，
，
是直角三角形．
13. （1） 如答图， 即为所求．
（2） 如答图，过点 作 ，交 的延长线于点 ．
，
．
点 到 的距离为 ．
14. （1） ．
理由如下：
射线 的反向延长线平分 ， 平分 ，
，．
由题意，得 ，
又 ，，
又
① ②得 ，
又 ，
，
，，
．
（2） ．
（3） ．
第1页（共1 页）
