数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】选A 解：由题意可得：方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，并且，解得：．
2．【解答】选D 解：依题意，由四点共面则系数和，则．
3．【解答】选C 解：若截距相等且不为0，可以设直线方程为，将点代入得，若截距互为相反数且不为0，可以设直线方程为，将点代入得，若截距为0，则直线过原点，直线的方程为．
4．【解答】选B 解：设，，，则，，则．
5．【解答】选D 解：由椭圆的方程可得，，因为，则，即，
由椭圆的定义可得所以可得，所以．
6．【解答】选B 解：圆心坐标为：半径为，圆心到直线的距离：，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则，即，解得C=2或12．
7．【解答】选A 解：由题意得：，，则，则为等比数列，，则
年年底存栏头数为．
8．【解答】选C 解：，，或，又，
若则与矛盾，
若则，与矛盾，则，错误，错误，
且，的值是中最大的，正确，
，使成立的最小正整数的值为4043，错误．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．【解答】选CD 解：因为向量在基底下的坐标为，，，则，
设向量在基底，，下的坐标为，，，则，所以，解得，所以向量在基底，，下的坐标为．故选项A不正确；
向量，，，，2，，且与的夹角为钝角，，且，解得，且，，故选项B不正确；
直线的方向向量为，点，2，在上，则点，1，到的距离为：．
，故选项C正确；两个不同平面，的法向量分别是，且，因为，所以，则，故选项D正确．故选：CD．
10．【解答】选AC 解：根据题意，数列的通项公式，最大时，且，得则最大，A正确
等差数列与的前项和分别为与，，．故B错误
成等差数列，，则故C正确.
当时，，此时不是等比数列，故D错误．
11．【解答】选BD 解：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，把点代入，得，即．双曲线的方程为，故错误；
由，，得，双曲线的离心率为，故正确；
由双曲线的定义，则或，故错误；
双曲线的渐近线，直线与双曲线的渐近线平行，直线与只有1个公共点故正确．故选：．
12．【解答】选BCD 解：，则边上的高的斜率为，则高的方程为即；则A不正确
设的外接圆的方程为，则，解得，，，所以的外接圆的方程为．则B正确
C．则相交时，则C正确
D．所在直线的方程为；B到AC的距离为，AC=，则面积为，则D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【解答】填2 解：设四个数为，，，，由即可得,则.
14．【解答】填，． 解：（1）设点关于直线的对称点为，则这两点的中点为，，所以，解得，，所以点关于直线的对称点为，．
15．【解答】填 解法一：过、分别作准线的垂线，垂足为、，设，则 ，，则即，则，．
解法二：设直线的方程为，代入抛物线的方程得
设，，则，又则，代入有得，则．
16．【解答】填 解：，则
，则
．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【解答】解：（1）因为是等差数列，设等差数列的公差为
，所以．又，由，所以．（5分）
（2）易知，（7分）
对称轴为则，，时（10分）
（或时得，）
18．【解答】解：（1）设直线的方程：，因为在直线上，所以，设，，，由是的中点可得，，
联立，整理可得：，（2分）
所以，即，则（4分）
则直线的方程为.（5分）
解法二：设，，，由，
两式相减得（2分）
则，（4分）
则直线的方程为，即.（5分）
（2）设直线的方程：，因为在直线上，所以，
设，，，联立，整理可得：，
所以，（8分）
，
当时，，（10分）
又最小.（12分）
19．【解答】解：（Ⅰ），，
，，．（3分）
对于令，可得，解得，（4分）
为等比数列， ．（5分）
（Ⅱ），（7分）
① ②
②①得（11分）
．（12分）
20．【解答】解：（1）将圆化成标准方程得，（1分）
圆心到直线的距离，（2分）
弦长，则,（3分）
即得或，（4分）
则直线的方程为或.（5分）
（2）直线可以变形为，则直线过定点，（6分）
圆心到直线的距离，当且仅当时取等号，此时得,此时直线的方程为（8分）
又，当最小，四边形面积最小，（10分），此时最小（12分）
21．
【解答】解：（1）在正方形中，则异面直线所成夹角即所成角，取的中点，连接，因为平面平面，
平面平面，，平面，所以平面；
设，则，
所以；则异面直线所成夹角的余弦值为．（6分）
（2）因为平面，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示；由，则，，，，0，，，0，，，，，
，，，，，，设平面的一个法向量为，，，
由，得，令，得，，，（8分）
又，，，，，，所以，，，（9分）设直线与平面所成的角为，
则，解得，，即的长为（12分）
22．【解答】解：（1）由离心率为，则，得，，于是椭圆的方程为，又在椭圆上，有，得，所以椭圆的方程为.（4分）
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程得，
即，设，
则，，（6分）
直线的倾斜满足，即则即，（8分）
将，代入化简得即，则或
即，或，（10分）
若则直线的方程为，则直线过定点，与重合，舍去，
若则直线的方程为，则直线过定点
则在以为直径的圆上，圆心为中点（12分）高二数学试卷
试卷满分：150分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
x2 y21．如果方程 1表示焦点在 x轴上的椭圆，则m的取值范围是 ( )
4 m m 3
A 3 7． m B m 7 C 7． ． m 4 D． 3 m 4
2 2 2
2．若空间四点M 、 A、 B、C共面且OA 2OB 3OC kOM 则 k的值为 ( )
A．1 B． 2 C． 3 D． 6
3．过点 (1,2)作直线 l，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线 l有 ( )条．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， AB AD AA1=1，
A1AB A1AD BAD 60 ，则 BD1等于 ( )
A．1 B． 2
C D 3 2． 3 ．
2
x2 y25．已知 F1， F2 是椭圆C : 1的两个焦点，P是椭圆上一点， F
4 3 1
PF2 60 ，则△ PF1F2 的面
积是 ( )
A．3 B 4．2 C． 3 D． 3
3
6．已知圆C : (x 3)2 (y 4)2 4上有且只有三个点到直线3x 4y C 0的距离等于 1，则实数C的
取值范围是 ( )
A． 2或 12 B．12或 2 C． 2或 12 D． 12或 2
7．某养猪场 2021年年初猪的存栏数 1500，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖
出 100头．设该养猪场从 2021起每年年初的计划存栏数依次为 a1，a2，a3， ．则 2035年年底存
栏头数为 ( ) （参考数据：1.0814 2.9，1.0815 3.2，1.0816 3.4)
A．2050 B．2150 C．2250 D．2350
8 a 1．已知等比数列{an}的公比为 q，其前 n项之积为Tn ，且满足 a1 1，a 20212021a2022 1 0， 0，a2022 1
则 ( )
A． q 1 B． a2020a2022 1 0
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C．T2021的值是Tn 中最大的 D．使Tn 1成立的最小正整数 n的值为 4042
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．下列四个命题中，正确命题的有 ( )
A
．若一向量 p在基底{a,b,c}下的坐标为 (1, 2,3)，则向量 p在基底{a b，a b， c}下的坐标
3 1
为 ( , ,3)；
2 2
B．若向量 a (2, 1,2)，b ( 4,2,m) 且 a与 b的夹角为钝角，则实数m的取值范围为m 5；
C 6．已知直线 l的方向向量为 a (1,0,1)，点 A(1,2, 1)在 l上，则点 P(2,1,1)到 l的距离为 ；
2
D ．若两个不同平面 ， 的法向量分别是u,v，且 u (1,2, 2),v ( 2, 4,4) ，则 / / ．
10．下列命题正确的是（ ）
A 10．已知数列{an}的通项公式为 an (2n 1)( )
n，则该数列最大项为 a10 ；11
B S 4n 2 a 11．已知等差数列{an}与{bn}的前 n项和分别为 S n 5n 与Tn ，若 ，则 ；Tn 3n 1 b5 7
C．已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn ，若 S4 3， S8 8，则 S16的值为 24；
D．已知数列{an}是等比数列，那么下列数列{an an 1}一定是等比数列．
11．已知双曲线C过点 ( 2, 3)且渐近线方程为 y 3x，则下列结论正确的是 ( )
A C x
2
． 的方程为 y2 1；
3
B．C的离心率为 2 ；
C． P是双曲线上一点，且 | PF1 | 5，则 | PF2 | 7；
D．直线 3x y 1 0与C 只有一个公共点．
12．已知 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(1,1)， B( 2,3)，C( 1, 2)，则下列说法正确的有（ ）
A． AC边上的高所在直线的方程 7x 4y 2 0；
B． ABC的外接圆的方程为 x2 y2 3x y 4 0；
ABC 13 A 的面积l为 2 3C．过 作直线 与线2 段 BC相交，则直线 l斜率的取值范围为[ , ]；3 2
D． ．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．数列{an}前四项满足 a1、a2 、a3成等差数列，a1、a2 、a4 成等比数列，若 a1 a2 a3 a4则
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a1 a4 =______．
a3
14．已知直线 l : x y 1 0 ，点 A(3,0)，则点 A关于直线 l : x y 1 0 的对称点为_____．
15．设抛物线 y2 2x的焦点为 F ，过点 F 的直线与抛物线相交于 A、B两点（点
A在第一象限），若 AF 2FB，则 | AB | ______ ．
16．如图，锐二面角 l 的棱上有 A， B两点，直线 AC， BD分别在这个
二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB．已知 AB 4， AC BD 6，CD 2 10 ，则锐二面角
l 的平面角的余弦值是________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知 Sn 为等差数列{an}的前 n项和，且 a3 17， S7 98
（1）求{an}的通项公式；
（2）求 Sn 的最大值．
18．（12分）如图，点 A是抛物线 y2 4x上的动点，过点M (2,1)的直线 AM
与抛物线交于另一点 B．
（1）若M 为线段 AB的中点，求直线 AB的方程；
（2）已知点 P(4,0)，求四边形 AOBP面积的最小值．
19．（12分）设数列{an}中， a1 1， Sn 为其前 n项和，已知3an 1 2Sn 3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列 bn log3 an 求数列{anbn}的前 n项和Hn ．
20．（12分）已知直线 l的方程为 3mx+(2m 1)y 3 0，圆C 2: x y
2 2x 4y 1 0．
（1）若直线 l被圆C截得的弦长为 2 3，求直线 l的方程；
（2）当圆心C到直线 l的距离最大时，任取直线 l上一点 A，过 A作圆 C的切线，切点分别为 P，Q，
求四边形 APCQ的面积的最小值．
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21．（12分）已知四棱锥 S ABCD中，四边形 ABCD是正方形， SBC 为等边三角形，平面 SBC
平面 ABCD．
（1）求异面直线 BC、SD所成夹角的余弦值；
（2）若线段 AB的长为 2，线段 SA上是否存在一点 E，使直线 DE与平面 SAB所成角的余弦值为
7
？，若存在求出DE
7 的长度，若不存在，请说明理由
．
x2 y2 1 322．（12分）已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的离心率为 ，且过点 A(1, )．a b 2 2
（1）求椭圆C的方程；
（2）点M、N 在C上，且直线 AM、AN 的斜率满足 kAM kAN 1，若 AP MN于 P，在平面
内是否存在定点Q，使得 | PQ |是一个确定的常数？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
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