5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式word版含答案.docx

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、单选题
1．已知，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．的内角的对边分别为，若，则的形状一定是
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
4．已知，(0, π)，则=
A．1 B． C． D．1
5．已知，且，则等于（ ）
A． B．3 C． D．
6．已知，则=（ ）．A． B． C． D．
7．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则
A． B． C． D．
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．下列对于函数 的判断正确的是
A．函数的周期为
B．对于函数都不可能为偶函数
C．,使
D．函数在区间内单调递增
12．当取得最大值时，的值是
A． B． C． D．4
13．已知tan（α+β）=，tanβ=，则tanα=（　　）
A． B． C． D．
14．已知在中，，；则（ ）
A． B． C．或 D．或
二、多选题
15．若，，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知的三个内角，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．是钝角三角形
B．
C．角的最大值为
D．角的最大值为
三、双空题
17．已知，，则_________，_______.
四、填空题
18．已知，则=_____
19．若是的内角，且，则等于______.
20．函数的最大值为__________.
21．求值：___________.
22．中，角所对的边分别为，下列命题正确的是___________.①若最小内角为，则；②若，则；③存在某钝角，有；④若，则的最小值小于．
23．设，则__________．
24．意大利画家列奥纳多.达芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点、，曲线在点处的切线，曲线在点处的切线相交于点，且为锐角三角形，则实数的取值范围为________.
25．在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2-7x+2=0的两根，求tanC=___________.
五、解答题
26．．已知都是锐角，，求的值.
27．已知是第三象限角，且，且，如何求的值呢？
28．在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且有b=2，在下列条件中选择一个条件完成该题目：①；②.
（1）求A的大小；
（2）求2a+c的取值范围.
29．设和是的内角，，求的值．
30．已知角的终边与单位圆交于点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
31．已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值．
试卷第页，共页
试卷第页，共页
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
由求解.
【详解】
因为，，
所以，
又，
则，，
又，
所以，
所以，
，
故选：D
2．D
【解析】
【分析】
利用诱导公式及和角余弦公式可得，即可求值.
【详解】
.
故选：D
3．D
【解析】
由已知等式结合正弦定理，可得，再结合三角形中角的范围分析角的关系，进而判断三角形的形状.
【详解】
由结合正弦定理，
可得，则.
所以或.所以或.
所以是等腰三角形或直角三角形.故选D.
【点睛】
本题考查解三角形问题，应用正弦定理判断三角形的形状.若已知等式中各项都含有边(或角的正弦)，可以直接利用正弦定理实现边角的转化. 解三角形的问题中经常需要用到三角恒等变换，这就需要牢记并熟练运用诱导公式、和差角公式、二倍角公式等，还要结合三角形内角的取值范围，合理地进行取舍，做到不漏解也不增解.
4．A
【解析】
【详解】
，，
，即，故
故选
5．B
【解析】
由条件可先求出，然后再利用两角和的正切三角函数公式可解.
【详解】
解析：由，且，得，故，∴．
故选：B
【点睛】
本题考查同角三角函数的关系，两角和的正切公式的应用,属于基础题.
6．D
【解析】
【分析】
先求得，然后利用两角和的余弦公式化简式子，最后计算即可.
【详解】
由，
所以
故答案为：D
7．A
【解析】
【分析】
把两边平方，利用二倍角的正弦公式可得答案．
【详解】
把两边平方得：，
即，解得.
故选：A
【点睛】
本题考查二倍角的正弦公式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
8．D
【解析】
【分析】
先求得的值，然后计算出的值，由此求得的大小.
【详解】
由于，所以，所以，.所以，所以，故选D.
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查利用三角函数值求角，属于基础题.
9．A
【解析】
【分析】
由，求出的范围和的值，利用化简计算可得答案．
【详解】
由，可得，则，
所以
故选：A
【点睛】
本题考查两角和与差的余弦公式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
10．A
【解析】
【分析】
把已知等式利用倍角公式变形，求解，再由同角三角函数基本关系式求解．
【详解】
解：由，得，
即，解得（舍或．
，．
故选：．
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，属于基础题．
11．C
【解析】
【详解】
试题分析：当时，不存在周期和奇偶性，且，可知函数，故，使，若，则，所以函数在区间内先增后减.
考点：三角函数的性质．
12．B
【解析】
【分析】
将利用两角差的正弦公式化简为，当时，取到最大值，结合诱导公式得到，从而得到的值.
【详解】
.
当，即时，取到最大值.
∴，∴，∴，，∴.
故选B
【点睛】
本题主要考查了两角差的正弦公式以及诱导公式等知识，关键是将利用两角差的正弦公式化简为，属于中档题.
13．A
【解析】
【分析】
利用两角差的正切函数的公式，化简，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意知，
则，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了两角差的正切函数公式的化简、求值问题，其中解答中合理完成角的配凑，及熟记两角差的正切公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
14．A
【解析】
先根据已知求出即或，再分析舍去即得解.
【详解】
由题得，，
两式平方相加得,
所以
或.
当时，，
所以，且,
所以且.
解之得，所以舍去.
经检验满足题意，所以.
故选：A
【点睛】
本题主要考查同角的平方关系和和角差角的正余弦公式的应用，考查三角函数的象限符号，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．BD
【解析】
直接根据三角函数值求解即可.
【详解】
解：且，
或.
故选：BD.
16．ABC
【解析】
【分析】
A. 证明,即得是钝角三角形，故该选项正确；
B. 由题得是最大角，利用分析法证明该选项正确；
C.由题证明，因为,所以角的最大值为，所以该选项正确；
D.当时 ，.所以该选项错误.
【详解】
A. 由题得,所以是钝角三角形，故该选项正确；
B. 由题得是最大角，所以，假设，所以，所以该选项正确；
C.由题得 所以，因为,所以角的最大值为，所以该选项正确；
D. 由已知得
所以,
当时 ，.所以该选项错误.
故选：ABC
【点睛】
方法点睛：最值问题常用的求解方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
17．
【解析】
【分析】
先根据诱导公式求出，再由同角三角函数的关系求出，最后再由正余弦的二倍角公式求得结果即可.
【详解】
，，所以，，
，.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查诱导公式、同角三角函数关系式、正余弦的二倍角公式，考查计算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.
18．-3/4
【解析】
【详解】
.
19．
【解析】
【分析】
利用两角和的正切公式求得，即可求出.
【详解】
由题意知，，即，
∴，
又，∴.
【点睛】
本题主要考查两角和的正切公式，属基础题．
20．
【解析】
【分析】
根据两角和的余弦公式、进行化简，结合辅助角公式，可得
然后使用整体法，结合正弦函数的性质，可得结果.
【详解】
，
因为，所以.
当，即时，
取得最小值.即取得最大值.
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查两角和的余弦公式，还考查正弦型函数的最值问题，掌握基本的三角函数的图像与性质，并学会使用整体法解题技巧，属基础题.
21．1
【解析】
【分析】
根据将展开，由此可得的关系，将数量关系代入原式可求解出原式的值.
【详解】
因为，
又，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
22．①④
【解析】
【详解】
试题分析：对①，因为最小内角为，所以，，故正确；对②，构造函数，求导得：，当时，，即，则，所以，即在上单减，由②，得，即，所以，故②不正确；对③，因为，则在钝角中，不妨设为钝角，有，，故，③不正确；对④，由＝，即，而不共线，则，解得，则是最小的边，故是最小的角，根据余弦定理，故④正确，故①④正确．
考点：1、命题真假的判定；2、函数的单调性
23．
【解析】
【详解】
试题分析：，分子分母同时除以，得，解得，所以
．
考点：三角函数——齐次方程．
24．
【解析】
【分析】
设，，设直线的倾斜角为、直线的倾斜角为，可得出、，分析得出，可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
设，，
则，.
设直线的倾斜角为，则，则为钝角，
设直线的倾斜角为，则，则为锐角，
由于轴，则、均为锐角，
因为是锐角三角形，则为锐角，
设直线、分别交轴于点、，则为钝角，
，
可得，整理可得，
，则，解得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用切线所围成的三角形形状来求参数，解题的关键在于分析出为钝角，进而结合两角差的正切公式求解.
25．-7
【解析】
【分析】
利用韦达定理结合诱导公式和两角和与差的三角公式求解即可.
【详解】
由题意可得tanA+tanBtanAtanB=，所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)==-7，
故答案为：-7.
26．
【解析】
【分析】
先根据已知求解，拆分角，结合两角差的正弦公式可求.
【详解】
因为都是锐角，，
所以，，
所以
.
【点睛】
本题主要考查三角函数的给值求值问题，这类问题一般是先根据角之间的关系，探求求解思路，拆分角是常用方法.
27．
【解析】
【分析】
首先利用诱导公式求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用两角差的余弦公式计算可得；
【详解】
解：
因为，所以，又，所以
因为是第三象限角，所以
所以
【点睛】
本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系及两角差的余弦公式的应用，属于中档题.
28．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）若选择①，根据诱导公式和两角和的余弦公式可求出结果；若选择②，根据正弦定理角化边，再根据余弦定理可求出结果；
（2）利用正弦定理边化角，将化为，根据锐角三角形得，再根据正余弦函数的单调性可求出结果.
【详解】
（1）若选择①，则，
，
，
因为，所以，
所以，因为，所以，
若选择②，则根据正弦定理得，即，
所以，因为，所以，
（2）设△ABC外接圆半径为R，，
所以
，
因为△ABC是锐角三角形，∴，所以，
所以，
因为在上是单调递增和在上是单调递减函数，
所以在上是单调递减函数，
所以，
所以.
29．
【解析】
【分析】
先求，与比较大小，确定为锐角，再求，最后根据两角和正弦公式求结果.
【详解】
因为是的内角，，所以
因为,所以
因为，所以
因此
【点睛】
本题考查同角三角函数平方关系、两角和正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
30．(1) ,,;(2) .
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据三角函数的定义得到各个三角函数值；（2）将原式子展开化简得到，根据第一问的计算结果得到最终的值．
解析：
（1）已知角的终边与单位圆交于点，
∴，，.
（2）
.
31．（1）；（2）．
【解析】
（1）利用同角三角函数的基本关系可得，再利用两角和的正切公式即可求解.
（2）首先利用二倍角公式可得，再利用齐次式即可求解.
【详解】
解：（1）因为为锐角，所以．
又，所以，
所以．
，解得．
（2）
．
试卷第页，共页
试卷第页，共页