第四章指数函数与对数函数4.2指数函数4.2.1指数函数的概念word版含答案

第四章指数函数与对数函数4.2指数函数4.2.1指数函数的概念
一、单选题
1．若函数则
A． B． C． D．
2．椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，则四边形的周长为
A．6 B． C．12 D．
3．函数是指数函数，则有（ ）
A．或 B． C． D．，且
4．下列函数中为指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列四类函数中，具有性质“对任意的，，函数满足=”的是
A．指数函数 B．对数函数 C．一次函数 D．余弦函数
6．已知点列均在函数图像上，点列满足，若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知是奇函数，则实数a的值等于
A．1 B． C．0 D．
8．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时
9．已知，且的图象如图所示，则等于（ ）
A． B． C． D．或
二、多选题
10．已知函数，则（ ）
A． B．的最小值为2
C．为偶函数 D．在上单调递增
11．已知函数，，则，满足（ ）
A． B．
C． D．
E.
三、填空题
12．如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成，在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．
13．设函数发f（x）=，则f（f（-4））=________．
14．若的图象过点，则______.
15．下列函数中是指数函数的是________(填序号)．
①；②；③.
16．已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.
17．设函数，________.
18．某电子元件厂生产一种元件的原成本为10元，在今后5年内，计划使成本平均每年比上一年降低1%，则成本y随经过的年数x变化的函数关系式是__________．
19．若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数a的取值范围是___________.
20．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的取值范围为______．
四、解答题
21．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为10000 m2，每年增长10%，经过x年，森林面积为y m2.
（1）写出x，y之间的函数关系式；
（2）求出经过10年后森林的面积.（可借助于计算器）
22．已知函数＝.
（1）求，的值；
（2）由（1）中求得的结果，你发现与有什么关系？并证明你的发现；
（3）求的值．
23．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求的取值范围
24．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率.
（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末 1959年末的人口总数大约分别为5.5亿和6.7亿.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型．(精确到0.0001)
（2）以（1）中的模型作预测，大约在哪一年我国人口总数达到13亿？(参考数据：，，，，)
25．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
26．某林区2018年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.
（1）若经过x年后，该林区的木材蓄积量为万立方米，求的表达式，并求此函数的定义域；
（2）作出函数的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【详解】
试题分析：由，则 .
考点：分段函数及对数运算性质．
2．C
【详解】
∵过 的直线与椭圆交于两点，点关于 轴的对称点为点 ，
∴四边形 的周长为 ，
∵椭圆
，
∴四边形 的周长为12．
故选C．
【点睛】本题考查椭圆的定义，考查四边形的周长，正确运用椭圆的定义是解题的关键．
3．C
【分析】
根据指数函数定义得到，排除的情况得到答案.
【详解】
由指数函数的概念得，解得或．
当时，底数是1，不符合题意，舍去；当时，符合题意.
故选：C．
4．C
【分析】
根据指数函数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据指数函数的定义知，，
可得函数不是指数函数；函数不是指数函数；函数是指数函数；函数不是指数函数.
故选：C.
5．A
【详解】
考点：指数的运算性质．
专题：计算题．
分析：运用对数函数的性质，即可得出结论．
解答：解：∵
∴对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足=f（xy）
函数f（x）为指数函数．
故选A．
点评：本题主要考查了对数函数的性质，只要熟练掌握对数的运算性质，此类题就比较简单．
6．B
【分析】
根据题意，得出的解析式，讨论和时，满足的条件，从而求出的取值范围.
【详解】
由题意得，点满足，
由中点坐标公式，可得的中点为：，
即，
当时，以为边长能构成一个三角形，
，
只需，即，
即有，解得；
同理，解得，
综上，的取值范围是或，
故选：.
【点睛】
本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了数列递推公式的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题.
7．A
【分析】
由求得，然后检验即可．
【详解】
是奇函数，则，解得，
时，，，满足题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，对奇函数而言，如果存在，则必有．
8．B
【分析】
根据保鲜时间与储藏温度满足函数关系：，并结合食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，可求出，然后再将代入，即可得出答案.
【详解】
解：由题可知，保鲜时间与储藏温度满足函数关系：，
则，即，所以，
于是当时，＝18(小时).
故选：B.
9．C
【分析】
由题可知，函数过，代入函数解析式中，求出参数的值，即可求出函数解析式，在代入求函数值．
【详解】
由题中图象知，函数过，，则，所以．又，所以（负值舍去），故，
．
故选
【点睛】
本题主要考查含指数函数解析式和函数值的计算，属于基础题．
10．BC
【分析】
A直接代入计算并验证；B利用换元法得到，结合基本不等式确定最值；C根据奇偶性的定义判断即可；D由B中换元法，所得对勾函数的性质可直接判断单调区间.
【详解】
A：，错误；
B：令，则当且仅当，即时取等号，正确；
C：且，为偶函数，正确；
D：由B，若，，则 在 上递减，在 上递增，所以在上递减，上递增，错误；
故选：BC.
11．ABD
【分析】
依次判断每个选项：奇函数，为偶函数，A正确；根据单调性得到B正确；计算得到C不正确；D正确；E不正确，得到答案.
【详解】
A正确，，，
所以；
B正确，因为函数为增函数，所以；
C不正确，；
D正确，；
E不正确，.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，奇偶性，函数值的计算，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
12．
【分析】
设黑色直角三角形的直角边长为a，则白色直角三角形的直角边长为，分别求出白色部分、黑色部分的面积，由几何概型中面积型概率计算公式计算即可.
【详解】
设黑色直角三角形的直角边长为，则白色直角三角形的直角边长为，
黑色部分的面积为：，白色部分面积为：，
所以此点取自黑色部分的概率为.
故答案为：
【点睛】
本题考查几何概型，属于基础题.
13．4
【详解】
点评：本题主要考察分段函数求值，主要是要正确把握函数的概念.
14．2
【分析】
把已知点代入函数，即可解得a值.
【详解】
解：函数f（x）的图象过点（2，4），可得4＝a2，又a＞0，解得a＝2．
故答案为2
【点睛】
本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．
15．③
【分析】
根据指数函数定义判断．
【详解】
①中指数式的系数不为，故不是指数函数；
②中，指数式的系数不为，故不是指数函数；
③是指数函数．
故答案为：③
16．
【分析】
当时，利用及求得函数的解析式.
【详解】
当时，，由于函数是奇函数，故.
【点睛】
本小题主要考查已知函数的奇偶性以及轴一侧的解析式，求另一侧的解析式，属于基础题.
17．
【分析】
已知分段函数的解析式，分别求出和的值，即可得到结果.
【详解】
则
故答案为
【点睛】
本题考查了求分段函数的值问题，解题时需要判断输入值的大小，本题较为基础.
18．y＝10·0.99x(x＝1,2,3,4,5)
【分析】
根据成本每年比上一年降低1%，可以先算出第一年产量，依此类推，找出规律，可以算出年产量随经过年数变化的函数关系．
【详解】
设成本经过x年降低到y元，
第一年为 y=10（1-1%）
第二年为 y=10（1-1%）（1-1%）=10（1-1%）2
…
则随着年数n变化的函数关系式是
故答案为y＝10·0.99x(x＝1,2,3,4,5)．
【点睛】
本题考查函数解析式的求法．增长率问题是一重要的模型．本题主要考查建立函数关系，用数学知识解决实际问题的能力．
19．
【分析】
由题意得在上恒成立，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，设，研究的最小值即可．
【详解】
解：因为函数与是区间上的“2阶依附函数”，
所以在上恒成立，
又在上单调递增，则，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
，
令，，设，易知在上单调递增，
所以，
所以，
故答案为：．
20．
【分析】
先根据已知求出，再利用余弦定理求出，即得面积的取值范围.
【详解】
因为，
所以,
因为，
因为.
由余弦定理得，
因为三角形是锐角三角形，所以且.
所以.
因为，
所以面积的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的应用和最值的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．（1）y＝10000（1＋10%）x（x∈N*）；（2）25937.42 m2.
【分析】
（1）由已知中现有森林面积为10000 m2，每年增每年增长10%，经过x年，森林面积为y＝10000（1＋10%）x（x∈N*）；
（2）将x＝10代入x，y之间的函数关系式计算即可求出结果.
【详解】
（1）当x＝1时，y＝10 000＋10 000×10%＝10 000×（1＋10%）；
当x＝2时，y＝10 000（1＋10%）＋10 000（1＋10%）×10%＝10 000（1＋10%）2；
当x＝3时，y＝10 000（1＋10%）2＋10 000（1＋10%）2×10%＝10 000（1＋10%）3；
……
所以x，y之间的函数关系式是y＝10 000（1＋10%）x（x∈N*）；
（2）当x＝10时，y＝10 000（1＋10%）10≈25 937.42，
即经过10年后，森林面积约为25 937.42 m2.
22．
（1）1；
（2），证明见解析；
（3）2020.
【分析】
（1）利用解析式直接求出，的值；
（2）根据解析式直接求即可确定结论.
（3）根据（2）的结论：，结合目标式求值即可.
（1）
由＝，则，.
（2）
由（1）可发现.证明如下：
，是定值．
（3）
由（2）知：，
∴，
∴＝2020.
23．（1）；（2）.
【分析】
（1）由三角函数的公式化简已知函数可得，利用周期公式即可求解；
（2）由的范围，求出的范围，结合正弦函数的性质可得结果.
【详解】
（1），
所以函数的最小正周期为．
（2）时，，
，
∴．
∴的取值范围为．
24．（1）；（2）大约在1990年我国人口总数达到13亿.
【分析】
（1）由时，和时，，通过计算即可得人口增长模型；
（2）将代入，计算整理得．
【详解】
解：（1）由条件知，研究的是1950年开始的人口变化，即时，，
时，，
则，得，
又，，
∴，得，
∴我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型为；
（2）将代入，得，
∴，
得.
故以（1）中的模型作预测，大约在1990年我国人口总数达到13亿．
25．（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）
【详解】
分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．
（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率为P（M）=．
点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
26．（1）；（2）函数图像详见解析；经过9年.
【分析】
（1）根据指数函数模型，求得该林区的木材蓄积量的表达式，并求得定义域.
（2）根据单调性，作出函数的图像，根据图像与直线的交点，判断出要经过的年数.
【详解】
（1）现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为；经过2年后木材蓄积量为；
所以经过年后木材蓄积量为.
所以.
（2）作出函数的图像，如图所示.
设直线与函数的图像交于点，则，点的横坐标的值就是时（木材蓄积量为300万立方米时）所经过的年数的值.因为，则取，所以经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
【点睛】
本小题主要考查指数函数模型在生活中的运用，属于基础题.应用题中的增长率问题，一般是应用指数型函数，不要只考虑增长而使用了其他的函数模型.
答案第1页，共2页
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