第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式word版含答案

第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式
一、单选题
1．已知，，则
A． B． C． D．
2．角顶点在原点，始边为x轴正半轴，点是角的终边与单位圆的交点，则（ ）
A． B． C．-3 D．3
3．若，则
A． B． C． D．
4．对于任意的，下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知,是第二象限角，则
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，若，则＝（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
9．已知，且是第四象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．cos（35°+x）cos（55°–x）–sin（35°+x）sin（55°–x）的值是
A．0 B．–1
C．±1 D．1
12．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知，，且，那么
A． B． C． D．
二、多选题
14．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数t的可能取值为（ ）
A．1 B． C．3 D．4
三、填空题
15．已知，且，则为___________．
16．化简：______．
17．________．
18．函数的图象中相邻两对称轴的距离是______.
19．已知，，，，则______．
20．______．
四、解答题
21．（1）已知，，求的值；
（2）已知，求下列各式的值：
①；
②.
22．设函数，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且.
（Ⅰ）若点的坐标为，求的值；
（Ⅱ）若点为线性约束条件所围成的平面区域上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数的最小值和最大值．
23．已知，为第三象限角.
（1）求，的值；
（2）求的值.
24．已知，均为锐角，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
25．已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
26．在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于A，两点，已知点A，的横坐标分别为，．
（1）求的值；
（2）化简并求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【详解】
因为，所以，所以.
所以.
故选B.
2．B
【分析】
根据终边上的点写出，结合二倍角余弦公式即可求值.
【详解】
由题意知：，由二倍角余弦公式，有.
故选：B.
3．A
【分析】
直接平方打开，利用两角差的余弦展开逆用求解即可.
【详解】
原式
【点睛】
本题主要考查了两角差的余弦展开及同角三角函数的基本关系，解题的关键利用化简求值，属于基础题.
4．C
【分析】
A.取特殊值判断；B.取特殊值判断；C. 由，得到，再利用的单调性判断；D.由，得到，再利用的值域判断.
【详解】
A.当 时，不成立，故错误；
B.当 时，不成立，故错误；
C. 因为，所以，
又因为在R上是减函数，
所以，故正确；
D. 因为，所以，所以，故错误.
故选：C
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质以及函数的单调性，还考查了特殊值法的应用，所以基础题.
5．A
【分析】
先利用诱导公式得到，再利用同角的三角函数的基本关系式求出其值即可.
【详解】
因为,是第二象限角，所以.
而，故.故选A.
【点睛】
本题考查同角的三角函数基本关系式和诱导公式，属于基础题.
6．A
【分析】
利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值.
【详解】
.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用诱导公式和二倍角的余弦公式求值，要观察角与角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.
7．C
【分析】
，，利用两角和与差的正弦拆分和，求出，由得出以及角的范围，从而求出，再求出，结合角的范围求出结果.
【详解】
解：因为
若，则，即，
，则，所以，，即
又，所以.
故选：C
8．A
【分析】
根据已知条件得出角的范围，从而求出，的值，再由，运用余弦的差角公式，可求得值.
【详解】
因为，，，，
又，所以，，
所以，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查两角和的三角函数，同角三角函数的关系，诱导公式，三角函数的性质，关键在于尽可能地缩小角的范围，运用已知的角表示待求的角，属于中档题.
9．B
【分析】
由诱导公式化简得，再由即可得解.
【详解】
∵，
∴．由是第四象限角，
∴．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了诱导公式及同角三角函数关系，属于基础题.
10．D
【分析】
利用诱导公式由得到，由易得，再由求解.
【详解】
因为，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数基本关系式以及诱导公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11．A
【解析】
cos（35°+x）cos（55°–x）–sin（35°+x）sin（55°–x）=cos[（35°+x）+（55°–x）]=cos90°=0，故选A．
12．C
【分析】
根据题意，得到，进而求得，结合诱导公式和余弦的倍角公式，即可求解.
【详解】
因为，且，所以，
即化简为，则，
所以，
故选：C.
13．C
【详解】
由0<β<α<，得到0<α–β<，因为cosα=，cos（α–β）=cos（β–α）=，所以sinα=，sin（β–α）=–sin（α–β）=–=–，则cosβ=cos[（β–α）+α]=cos（β–α）cosα–
sin（β–α）sinα=×–（–）×，所以β=．故选C．
14．CD
【分析】
令，则，可判断是奇函数且单调递增，不等式可变形得，所以，
令，换元法求出的最大值，即可．
【详解】
令，则，的定义域为，
，
所以，所以是奇函数，
不等式等价于
，
即，
当时单调递增，可得单调递增，单调递增，单调递减，
所以在单调递增，又因为
为奇函数且定义域为，
所以在上单调递增，所以，即，令，只需，
令，则，，
所以，对称轴为，所以时，
，
所以，可得实数的可能取值为3或4.
故选：CD．
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是构造函数，且是奇函数且是增函数，去掉外层函数，将原不等式转化为函数恒成立问题．
15．
【解析】
【分析】
根据任意角的三角函数的诱导公式化简求出sinφ的值，然后根据的范围和三角函数定义求出cosφ的值，进而求出结果．
【详解】
解：由cos（）＝得﹣sinφ＝，
即sinφ＝-，
， .
所以cosφ＝，
.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查三角函数的诱导公式和定义，考查三角函数已知值求角和已知角求值，比较基础．
16．1
【分析】
化切为弦，通分后利用两角和的余弦变形，再由倍角公式化简得答案．
【详解】
解：
．
故答案为1．
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角和的余弦，是基础题．
17．
【分析】
利用诱导公式得出，，利用两角和的正弦公式可求得结果.
【详解】
，，
所以，
.
故答案为：.
18．
【分析】
根据两角和与差的余弦公式化简函数解析式，根据解析式求出周期，从而可得结果.
【详解】
因为，
所以，
所以相邻两对称轴的距离是周期的一半，即为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了两角和与差的余弦公式，考查了余弦函数的周期，考查了余弦函数的对称轴，属于基础题.
19．
【分析】
根据三角函数的诱导公式得到，用已知角表示未知角，即，按公式展开即可．
【详解】
∵，∴，
又∵，∴.
∵，∴，
又∵，∴.
∵
∴，
∴.
故答案为：
【点睛】
方法点睛：给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
20．
【分析】
根据诱导公式化为到范围内可求得结果.
【详解】
.
故答案为：.
21．（1）；（2）①；②
【分析】
（1）根据角的范围及同角三角函数关系式中的平方关系，先求得，再由商数关系式即可求得的值；
（2）由题意可检验时等式不成立；当时，根据三角函数齐次式转化，分子分母同时除以，再解方程即可求得的值；将三角函数式转化为齐次式，即可分子分母同时除以，代入的值即可得解.
【详解】
（1）因为，所以，
由，
结合同角三角函数关系式可知，
∴.
（2）①由题意，若，则，故，
则，
解得.
②由①知，
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系式的简单应用，利用齐次式求三角函数值，属于基础题.
22．（1）2（2）函数的最小值为1，最大值为
【解析】
【分析】
（1）若P点的坐标为，根据三角函数的定义，可得，，代入可得的值；
（Ⅱ））若点为线性约束条件上的一个动点，则，结合正弦函数的图象和性质可得函数f（a）的最小值及取得最小值时的α的值．
【详解】
（1）∵点的坐标为，可得，
∴由三角函数的定义，得，，
故.
（2）不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影2部分的及其内部区域，
其中、，，
∵为区域内一个动点，且为角终边上的一点，
∴运动点，可得当与点重合时，取得最大值为；
当与线段上一点重合时，取得最小值为．由此可得.
∵，
∴由，可得，
当即时，取得最小值；
当即时，取得最大值.
综上所述，函数的最小值为1，最大值为.
【点睛】
本题考查的知识点是线性规划，正弦函数的图象和性质，和差角公式，是三角函数与线性规划的综合应用，难度中档．
23．（1），；（2）
【分析】
（1）根据同角三角函数关系计算得到答案.
（2）计算，，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】
（1），为第三象限角，故，.
（2），，
.
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，和差公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.
24．（1）；（2）．
【分析】
（1）首先利用二倍角公式求，再利用三角恒等变换，求的值；（2）求的值，再根据角的范围求的值．
【详解】
（1）由，则．
所以，．
（2）因为，为锐角，则，所以
．
所以，．
又，所以．
25．（1）；（2）.
【分析】
（1）由为锐角，可求出，利用同角之间的关系可求出.
（2）根据结合余弦的差角公式可得出答案.
【详解】
（1），，
（2）由为锐角，，
.
【点睛】
方法点睛：本题考查同角三角函数的关系，余弦函数的差角公式以及角的变换关系，在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：，，等等，属于一般题.
26．（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知条件可知求得，，已知式变形为，代入可得答案；
（2）由已知得， ，代入可得答案.
【详解】
解：（1）由已知条件可知：，又，所以，，，
，
（2），又，所以，从而；
.
【点睛】
易错点点睛：在根据同角三角函数关系求函数值时，注意根据角的范围取符号.
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