人教A版（2019）必修第一册（上）3.1函数的概念及其表示3.1.2函数的表示法word版含答案

人教A版（2019）必修第一册（上）3.1函数的概念及其表示3.1.2函数的表示法
一、单选题
1．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图象中表示函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，一动点从点出发，在直角梯形的一腰和上底上，沿匀速运动，达到点后停止运动．设点运动的时间为，的面积为．则能够反映与之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
4．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数的图像经过，，求证：这个二次函数的图像关于直线对称”，根据已知消息，题中二次函数图像不具有的性质是（ ）．
A．在轴上的截线段长是 B．与轴交于点
C．顶点 D．过点
5．已知函数，若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为．
A．3＜m＜6 B．1＜m＜3
C．0＜m＜1 D．–1＜m＜0
6．已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，其中为自然对数的底数，则函数的零点个数为（ ）．A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．函数与的图像的交点坐标为__________.
三、解答题
9．已知函数.
(1)求的值；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明.
10．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为元，每月甲、乙两户共交水费元，已知甲、乙两户该月用水量分别为.
（1）求关于的函数关系式;
（2）若甲、乙两户该月共交水费元，分别求出甲、乙两户该月的用水量.
11．已知点在函数的图象上.
（1）求函数 的解析式；
（2）求不等式的解集.
12．心理学家通过研究和实验表明，从开始上课起的30分钟内，学生注意力保持的程度指数与老师讲解所用的时间之间近似满足：若的值越大，表示学生的注意力越集中，按照上述结论，请回答以下问题：
（1）讲课开始后和讲课开始后比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？
（3）一道数学难题，需要讲解，并且要求学生的注意力指数至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由.
13．已知定义域为R的函数是以2为周期的周期函数，当时，；
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）若，求函数的零点的个数.
14．已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)若存在，对于任意，不等式都成立，求实数的取值范围.
15．已知函数.
（1）求和的值；
（2）若的最小值为，求实数的值.
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参考答案：
1．D
【解析】
根据题意，分析函数的奇偶性，排除A、B，进而分析函数值的变化趋势，排除C，即可得答案.
【详解】
根据题意，函数，其定义域为，，，则函数为非奇非偶函数，排除A、B；
又由时，，排除C.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性以及单调性，考查推理能力，属于中等题.
2．A
【解析】
直接利用函数的定义判断.
【详解】
由函数的定义可得：表示函数的图象是A，
故选：A
3．A
【解析】
【分析】
从匀速运动，三角形的高匀速上升，面积匀速增长，从匀速运动，高不变，三角形面积不变，即可得出结果.
【详解】
从匀速运动，三角形的高匀速上升，面积匀速增长，从匀速运动，高不变，三角形面积不变
故选：A
4．C
【解析】
【分析】
因为要证二次函数关于x=2对称，所以由过（1，0）和对称轴x=2,可求得函数的解析式为，可逐个分析各个选项．
【详解】
、因为图像过点，且对称轴是直线，另一点对称点，故正确；
、由过（1，0）和对称轴x=2,可求得函数的解析式为，故函数与轴交点为，故正确；
、由过（1，0）和对称轴x=2,可求得函数的解析式为，顶点坐标为
,故错误；
、，时，有一个解为，故函数与轴交点有，故正确．
故选C．
【点睛】
本题函数由二次函数条件求二次函数解析式，同时考查二次函数的图像特征．
5．B
【解析】
【详解】
试题分析：不等式的解集中的整数恰有个，即的解集中的整数恰有个.可化为即由于不等式解集中整数恰有三个，所以不等式的解为，从而解集中的三个整数为，即，，结合得，，即，选.
考点：1.绝对值不等式的解法；2.一元二次不等式的解法.
6．B
【解析】
【分析】
根据函数新定义计算在区间有解问题，列方程换元求解即可.
【详解】
选B.根据“局部奇函数”的定义可知，方程有解即可，即，所以，化为有解，令，则有在上有解，设，对称轴为.①若，则Δ＝，满足方程有解；②若，要在时有解，则需 ，解得.综上可得实数m的取值范围为．
故选：B.
7．C
【解析】
【分析】
先将函数的零点个数问题等价转化为方程根的个数问题，再分情况讨论方程的根的个数，即可得到函数的零点个数．
【详解】
函数的零点个数即方程的根的个数．
令，则原问题转化为的根的个数问题．
当时，由，解得，所以，
则当时，，解得；
当时，，得，又，
所以，解得或，
又，所以．
当时，由，得，
所以，解得，
所以，所以，解得．
综上，函数有，，1这3个零点．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查分段函数、函数的零点等，还考查了转化化归的思想好运算求解能力，属于难题.
8．
【解析】
【详解】
绘制函数和函数的图像如图所示，观察可得，交点坐标为.
9．(1)
(2)函数在区间上单调递增，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据函数解析式代入计算即可求出结果；
（2）设，且，做差，然后因式分解判断符号，结合函数单调性的定义即可得出结论.
(1)
因为，所以；
(2)
设，且，
而
因为，所以，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增.
10．（1）；（2）甲户用水量为7.5吨,乙户用水量为4.5吨
【解析】
【分析】
（1）由题意知：x≥0，令5x=4,得x=;令3x=4,得x=.将x取值范围分三段，求对应函数解析式可得答案．
（2）在分段函数各定义域上讨论函数值对应的x的值．
【详解】
(1)由题意知,x≥0,令5x=4,得x=;令3x=4,得x=.
则当0≤x≤时，
y=(5x+3x)×1.8=14.4x，
当y=4×1.8+(x )×5×3+3x 1.8=20.4x 4.8，
当x>时,y=(4+4)×1.8+( )×5×3+3×5(x )+3×3(x )=24x 9.6，
即得；
(2)由于y=f(x)在各段区间上均单增，
当0≤x≤时,y≤f()<26.4，
当当x>时，令24x 9.6=26.4，得x=1.5，
所以甲户用水量为5x=7.5吨,付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70元
乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=8.7元.
【点睛】
本题考查分段函数及利用分段函数解决实际问题，考查分析与实践能力，属于简单题。
11．（1）；（2）或.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）分别代入点，解方程可得进而得到的解析式；
（2）讨论当时，当时，由对数不等式和指数不等式的解法，即可得到所求解集．
试题解析：
（1）由题意知，，解得 ，函数的解析式为.
（2）当时，由，解得；当时，由，解得，不等式的解集为或.
12．（1）5分钟；（2）开讲10分钟后，能维持6分钟时间；（3）不能，理由见解析.
【解析】
（1）根据条件分别计算和，比较大小；（2）求分段函数每段的最值，再比较最大值；（3）求的解集，再比较时间.
【详解】
解：（1）当时，，；
当时，，.
故上课开始5分钟后，学生的注意力更集中；
（2）当时，，为开口向下的二次函数，对称轴为，
故的最大值为，
当时，，
当时，为减函数，且，
因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力(为，能维持6分钟时间；
（3）令，解得或，且当时，，
因此学生达到(含超过)55的接受能力的时间为，
故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是理解题意，并能根据分段函数求最值，解不等式，关键是根据定义域，分段求解.
13．（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）由，所以，代入计算即可.
（2）对于任意的，必存在一个，使得，则，代入中，计算即可求解.
（3）分析函数的最值，在同一坐标系下分别作出与的大致图像，观察两个函数图像的交点个数即可.
【详解】
解：（1）由题意，是以2为周期的周期函数，
∴.
（2）由题意，对于任意的，必存在一个，使得，
则，∴，
∴的解析式为：.
（3）由，，即，
∵当时，.
最小值为0，最大值1，其它区间可根据周期性进行平移.
又∵，
∴当时，；当时，
作出与的大致图像如下：
与的图像在上有10个交点，在上没有交点.
∴函数的零点的个数为10.
【点睛】
关键点点睛：（1）根据函数的周期性，把化为是解答本题的关键.（2）对于任意的，必存在一个，使得，则，然后代入已知中，即可求解函数解析式.（3）分析函数的最值，在同一坐标系下分别作出与的大致图像，函数的零点个数转化为两个已知函数图像的交点个数.
14．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
【详解】
试题分析：(Ⅰ)，讨论和时，根据分段函数的特征求解即可；
(Ⅱ) 设，分别求得和时的最小值，只需两段上的最小值均大于m即可，得到关于的不等式有解即可.
试题解析：
（Ⅰ）
当时，的单调增区间为
当时，的单调增区间为和，单调减区间为
当时，的单调增区间为和，单调减区间为.
（Ⅱ）方法一:设
当时，因为，所以.
当时，
由题意得，因为存在成立，故
所以.
方法二：
只须对任意的都成立
则只须，对任意的都成立
再设，只须
易求得.
15．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数解析式，直接代入，即可求出结果；
（2）根据二次函数的性质，结合题意，得到，求解，即可得出结果.
【详解】
（1）因为，
所以，；
（2）因为是开口向上，以为对称轴的二次函数，
又的最小值为，
所以，解得：.
【点睛】
本题主要考查由解析式求函数值，以及由二次函数的最值求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于基础题.
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