人教A版（2019）必修第一册（上）第二章一元二次函数、方程和不等式单元学能测评word版含答案

人教A版（2019）必修第一册（上）第二章一元二次函数、方程和不等式单元学能测评
一、单选题
1．下列四个命题，其中真命题的个数是（ ）
（1）若，则或；
（2）若，则；
（3）已知a，b是实数，若，则；
（4）已知a是实数，不等式的解是；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．某几何体的三视图如图所示，当时，这个几何体的体积为
A．1 B． C． D．
3．已知集合， ，则
A． B． C． D．
4．若函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
5．若两个正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．，
C． D．
6．若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．随x值变化而变化
7．若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．若关于的不等式的解集为，且，则实数
A． B．
C． D．
11．已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．已知a，b为正数，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为3
C．的最大值为 D．的最小值为
三、双空题
13．已知，不等式的解集是，则b=________；若对于任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是________.
四、填空题
14．实数，满足，则的最大值是__________．
15．已知，且满足，那么的最小值为_________.
16．函数的定义域是____________.
五、解答题
17．已知函数，
（Ⅰ）当 时，解不等式 ；
（Ⅱ）比较的大小；
（Ⅲ）解关于x的不等式．
18．设为正数，求证：.
19．若，.
（1）求的取值范围；
（2）求的取值范围.
20．已知复数是方程的解，且，若（其中、为实数，为虚数单位，表示的虚部）
（1）求复数的模；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围
21．过点P（1，4）作直线L，直线L与x,y的正半轴分别交于A,B两点，O为原点,
①△ABO的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；
②当|OA|+|OB|最小时，求此时直线L的方程
22．二次函数满足，且方程有两个相等的实数根.
（1）求函数的解析式及值域；
（2）是否存在实数，使得在区间上的值域是.若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由.
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
对各命题逐个判断可得正确命题的个数.
【详解】
对于（1），因为，故是的真子集或，故（1）正确；
对于（2），不成立，故（2）错误；
对于（3），因为，故同号，所以，故（3）正确；
对于（4），当时，不等式无解；故（4）错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查命题的真假判断，注意解含参数的一元一次不等式需就一次项系数的正负分类讨论.
2．B
【解析】
【分析】
三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值．
【详解】
解：如图所示，可知．
设，
则，
消去得，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，
所以．
故选B．
【点睛】
本题考查三视图求体积，考查基本不等式求最值，是中档题．
3．C
【解析】
【详解】
，
，
则
故选
4．D
【解析】
【详解】
因为函数的定义域为实数集，所以开口向上的二次函数的图象，与 轴没有交点，即，即实数的取值范围为，故选D.
【方法点睛】本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系，属于简答题.对于定义域为求参数的题型，主要有三种：（1）根式型， ，只需 ；（2）对数型，，只需，（3）分式型，，只需.
5．D
【解析】
【分析】
由题意和基本不等式可得的最小值，再由恒成立可得的不等式，解不等式可得范围．
【详解】
正实数，满足，
，
当且仅当即且时取最小值8，
恒成立，，
解关于的不等式可得
故选：．
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题．
6．A
【解析】
【分析】
作差后配方可得．
【详解】
由题意，
所以．
故选：A．
【点睛】
本题考查比较两数大小，作差法是解决此类问题的基本方法．
7．B
【解析】
【分析】
结合含参一元二次不等式的解法即可.
【详解】
解：方程的两个根为和，
因为，所以，
故不等式的解集为．
故选：B．
8．A
【解析】
【分析】
计算，再计算交集得到答案.
【详解】
令，故，故，故集合，所以，，故选：A．
【点睛】
本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
9．B
【解析】
【分析】
利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
设，则
解得，
∴，
又，，
∴即.
故选：B.
10．D
【解析】
【详解】
因为关于的不等式 的解集为 是一元二次方程的实数根， ， ， ，解得 ，故选D.
11．D
【解析】
【分析】
求出、，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
由得，解得，则，，
故，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
12．AB
【解析】
【分析】
选项A：直接利用公式即可求得；
选项B：用“1”代换来求，即把求的最小值转化为求 的最小值；
选项C：利用公式即可求得；
选项D：利用选项A和选项B的结论来求.
【详解】
因为，所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以选项正确；
因为，
当且仅当时，等号成立，所以选项正确；
因为，
当时，即时等号成立，显然等号不成立，所以选项不正确；
因为，
所以，所以选项不正确．
故选：AB.
13． t≤-2
【解析】
【分析】
由不等式的解集是结合一元二次不等式的解集与对应的一元二次方程的解集的关系可得是的两根，由此可求，再由在上恒成立可得，由此可得t的范围.
【详解】
由不等式的解集是，可知和是方程的根，即解得，
所以，
所以不等式可化为，
令 ，由二次函数的性质可知在上单调递减，则的最小值为，所以，
故答案为：4，.
14．
【解析】
【分析】
根据等式化简得 ，且 ；代入整式中得 ，根据二次函数即可求得最大值．
【详解】
化简得，且
代入整式得
因为，所以当 时取得最大值，为
【点睛】
本题考查了消元及二次函数求最值，关键注意自变量的取值范围，属于中档题．
15．
【解析】
【分析】
由已知得，然后可配凑出基本不等式的定值，用基本不等式求得最值．
【详解】
∵，，∴，
∴，当且仅当，即，时等号成立．
故答案为：．
【点睛】
本题考查用基本不等式求最值，解题关键是“1”的代换．
16．
【解析】
【分析】
根据对数的真数大于零，偶次方根被开方数为非负数以及分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.
【详解】
依题意得，即，解得.
故填：.
【点睛】
本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.
17．（1）（2）见解析（3）见解析
【解析】
【详解】
试题分析：（1）当时，将不等式分解因式，得到解集；（2）比较大小，可以做差，然后通分，分解因式，然后讨论的范围，比较两数的大小；（3）第一步，先分解因式，第二步，根据上一问的结果得到与的大小关系，得到解集．
试题解析：解：（1）当时，有不等式，
∴， ∴不等式的解集为：；
（2）∵且
∴当时，有;
当时，有;
当时，；
（3）∵不等式
当时，有，∴不等式的解集为；
当时，有，∴不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
18．证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）利用重要不等式和立方和公式，得到三个同向不等式，三式相加即可.
试题解析：因为，
所以.
同理，
三式相加即可得
又因为，
.
考点：1、不等式的性质；2、立方和公式；3、重要不等式．
19．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）结合基本不等式整理得，当且仅当时取等号，再根据已知的范围即可得答案；
（2）由于，故只需解并结合已知条件求解即可.
【详解】
解：（1）因为，，
所以，当且仅当时取等号，
整理得：，解得：或，
又因为，，所以，
所以.
（2）因为，
，
当且仅当时取等号，
所以，
解可得，或（舍），
故.
又因为，
所以.
20．（1）10（2）
【解析】
【分析】
（1）在复数集范围内求解一元二次方程得,代入,由复数相等的条件即可求得,的值,即可求得复数的模;
（2）把代入不等式,分离参数,利用基本不等式求最值,即可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）
将 代入得:
化简可得: 则:
根据 得:
（2） 不等式在上恒成立
即在上恒成成立
当时,不等式成立;
当时,
可化简为:
(当且仅当等号成立)
(当且仅当等号成立)
综上所述,的取值范围为:.
【点睛】
本题考查了在复数集求解一元二次方程和含参数的一元二次不等式恒成立问题.求解含参数的一元二次不等式要采用分离参数法进行求解是解本题的关键.
21．①最小值为8,此时直线方程 ;② .
【解析】
【分析】
将过点作直线L设为截距式,则,①的面积为,②,分别利用均值定理解决其最值问题,进而求得直线方程;
【详解】
依题意可设直线l的方程为: )
则 ), ),直线L过点
,
又
，
①
当且仅当,即
时取等号,
的最小值为8
此时直线方程为:,即:
② )
当且仅当,即且,即
时取等号,
的值最小为9,此时直线方程为:即:
【点睛】
本题主要考查了直线方程的截距式和点斜式、一般式方程,利用均值定理求函数最值的方法,恰当的选择直线方程的形式是解决问题的关键
22．（1），值域是；（2）存在，，，详见解析
【解析】
【分析】
（1）由方程求得；由可求得，进而得到函数解析式；由二次函数性质可求得函数值域；
（2）由（1）中所求函数值域，可知；由二次函数对称轴方程可知在区间上，函数单调递增，进而得到为方程的两根，解方程可求得两根，根据可求得结果.
【详解】
（1）有两个相等实根，即有两个相等实根
，解得：
，即
当时，
的值域为
（2）由（1）知，的值域为 ，解得：
对称轴为 在上单调递增
， 为方程的两根
由得：，解得：，
，
【点睛】
本题考查二次函数解析式和值域的求解、根据函数单调性和值域求解参数值的问题；关键是能够通过函数值域确定函数在所给区间内的单调性，从而将问题转化为方程根的求解问题.
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