人教A版（2019）必修第一册必杀技第二章2.1等式性质与不等式性质word版含答案.docx

人教A版（2019）必修第一册必杀技第二章2.1等式性质与不等式性质
一、单选题
1．若，下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则下列不等式正确的是（ ）．A． B． C． D．
3．已知都是正数,不等式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．若和均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是
A． B．
C． D．
5．在投资生产产品时，每生产需要资金200万，需场地，可获得300万；投资生产产品时，每生产需要资金300万，需场地，可获得200万，现某单位可使用资金1400万，场地，则投资这两种产品，最大可获利
A．1350万 B．1475万 C．1800万 D．2100万
6．若是任意实数，，则下列不等式成立的是（　　）．
A． B． C． D．
7．下列不等式正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．下列三个不等式中，恒成立的个数有　　
①；②；③，，，．A．3 B．2 C．1 D．0
9．若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数，不等式恒成立，则实数t的取值范围为
A． B．
C． D．
11．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买
A．16个 B．17个
C．33个 D．34个
12．已知则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
13．若实数x，y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是（ ）
A．(-∞,5] B．(-∞,7] C．[7,+∞) D．[5,+∞)
14．已知，，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
15．设，“”是“”成立的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
16．已知，则，，则和的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．与和的取值有关
17．在等差数列中，若，公差，则有.类比上述性质，在等比数列中，若，公比，则关于，，，的一个不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．已知a<-1A． B．
C． D．
19．若，则“”是“”成立的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
20．若a＞b，则下列各式中正确的是（　　）
A．ac＞bc B．ac2＞bc2 C．a+c2＞b+c2 D．
21．已知，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
22．若，则下列不等式不正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、双空题
23．为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则的最大值为_________万元．
24．设实数满足，则的最大值是_______，最小值为________.
四、填空题
25．2021年是中国共产党成立周年，某校为了庆祝建党周年，组织了一系列活动，其中红歌会比赛就是其中一项.已知高一年级选手人数多于高二年级选手人数，高二年级选手人数多于高三年级选手人数，高三年级选手人数多于教师选手人数，教师选手人数的倍多于高一年级选手人数，则参加红歌会的选手至少有___________人.
26．若，则“”是“且”的________条件.
27．下列命题：
①若，则；
②“在中，若，则”的逆命题是真命题；
③命题“，”的否定是“，”；
④“若，则”的否命题为“若，则”.
则其中正确的是______.
28．与的大小关系为___________.
五、解答题
29．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；
（3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.
30．（1）求证：
（2）已知，求的取值范围．
31．某工厂生产甲，乙两种图画纸，计划每种图画纸的生产量不少于8t，已知生产甲种图画纸1t要用芦苇7t、黄麻3t、枫树5t；生产乙种图画纸1t要用芦苇3t、黄麻4t、枫树8 t.现在仓库内有芦苇300t、黄麻150t.枫树200t，试列出满足题意的不等式组.
32．已知x∈R，a=x2-1，b=2x+2．
（1）求a+b的取值范围；
（2）用反证法证明：a，b中至少有一个大于等于0．
33．已知且，试比较与的大小．
34．某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据去的老师人数，比较两车队的收费哪家更优惠.
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参考答案：
1．D
【解析】
采用特殊值法求解.
【详解】
令，
则，
所以
故选：D
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质以及特殊值法的应用，属于基础题.
2．B
【解析】
【分析】
结合不等式的性质，对四个选项逐个分析，即可选出答案.
【详解】
对于A，取，此时，不满足，即A不正确；
对于B，由，而，所以，即，故B正确；
对于C，取，则，即C不正确；
对于D，取，则，此时，即D不正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查不等式的性质，考查学生的推理能力，属于基础题.
3．B
【解析】
【分析】
对式子移项、通分、计算,最后根据不等式的性质得到该不等式成立的条件.
【详解】
,因为都是正数,所以要想使不等式成立,只需.
故选B
【点睛】
本题考查了不等式成立的条件.利用不等式的性质是解题的关键.
4．A
【解析】
【分析】
A,作差法比较即得该选项正确；B, 如果，不等式显然不成立；，如果，不等式显然不成立；D, 如果，不等式显然不成立.
【详解】
A. ，所以，所以该选项正确；
B. ，如果，不等式显然不成立，所以该选项不正确；
C. ，如果，不等式显然不成立，所以该选项不正确；
D.,如果，不等式显然不成立，所以该选项不正确.
故选A
【点睛】
本题主要考查作差法比较大小，考查不等式真假命题的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．B
【解析】
设生产产品x百吨，生产产品百吨，利润为百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使获利最大，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数与直线截距的关系，进而求出最优解．
【详解】
设生产产品百吨，生产产品百吨，利润为百万元
则约束条件为：，作出不等式组所表示的平面区域：
目标函数为.
由解得.
使目标函数为化为
要使得最大，即需要直线在轴的截距最大即可.
由图可知当直线过点时截距最大.
此时
应作生产产品3.25百吨，生产产品2.5百吨的组合投资，可使获利最大．
故选：B．
【点睛】
在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件 ②由约束条件画出可行域 ③分析目标函数Z与直线截距之间的关系 ④使用平移直线法求出最优解 ⑤还原到现实问题中．属于中档题.
6．D
【解析】
【详解】
试题分析：由指数函数是减函数可知当时有
考点：不等式性质
7．B
【解析】
【详解】
试题分析：A.若c<0，则不等号改变，若c=0，两式相等，故A错误；B. 若，则，故，故B正确；C.若b=0，则表达是不成立故C错误；D.c=0时错误.
考点：不等式的性质.
8．B
【解析】
【分析】
①当时，不成立
②由可知，，由结合不等式的 性质可得
③由，结合已知即可判断
【详解】
解：①当时，不成立
②由可知，，由结合不等式的 性质可得，恒成立
③由，，，可知，可知恒成立
正确的命题有②③
故选：．
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的成立条件的判断及不等式的性质等知识的简单应用，属于基础题.
9．A
【解析】
【分析】
利用作差法，即可得出与的大小关系.
【详解】
，，
，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了作差法比较大小以及完全平方公式的应用，属于基础题.
10．A
【解析】
化角为边，由余弦定理求出角的取值范围，设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.
【详解】
在中，由正弦定理及，
得，由余弦定理，
得，
又因为，所以，
记，则.
因为，所以，从而，
所以
可化为，
即，恒成立，
所以依题有，
化简得，即得恒成立，
又由，得或.
故选:A.
【点睛】
本题以一元二次不等式恒成立为背景，考查三角形边角互化、余弦定理求角的范围、以及同角间的三角函数关系，考查不等式的关系，是一道较难的综合题.
11．A
【解析】
【分析】
设购买篮球m个，则购买足球（50–m）个，由题意得到关于m的不等式，求解不等式即可确定篮球最多可购买的个数.
【详解】
设购买篮球m个，则购买足球（50–m）个，
根据题意得：80m+50（50–m）≤3000，解得：m≤16，
∵m为整数，∴m最大取16，∴最多可以买16个篮球．
故选A．
【点睛】
本题主要考查不等式及其应用，属于基础题.
12．A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质或反例逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A，根据不等式的性质可得必成立，故A正确.
对于B，取，则，故B错误.
对于C，根据不等式的性质可得，故C错误.
对于D，取，则，但，故D错.
故选：A.
13．C
【解析】
【分析】
由待定系数法得到，由可得，进而由不等式性质可得结果.
【详解】
令，
由得，，所以.
由，
故.
故选：C.
14．B
【解析】
【分析】
构造函数，得到，然后利用不等式的性质，由与的大小判断.
【详解】
设，则，
所以，
，
而，
所以，即，
故选：B
15．A
【解析】
【分析】
根据充分条件、必要条件及不等式的性质求解.
【详解】
因为当时， 成立，
当时，不成立，例如，但不成立.
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A
16．A
【解析】
【分析】
作差与0比较后可得结论。
【详解】
∵，
∴，∴。
故选：A。
【点睛】
本题考查实数的大小比较，作差法是比较两实数大小的常用方法。
17．C
【解析】
【分析】
利用等差数列和等比数列的通项公式及性质逐一计算判断即可.
【详解】
在等比数列中，，公比，，即或，
在A中，，故A错误；
在B中，，，故当时，，当时，故B错误；
在C中，，，而，得，故，故C正确；
在D中，，，故当时，，当时，故D错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题.
18．D
【解析】
【分析】
根据作差法以及所给条件分析求解.
【详解】
解：由题意得：
即
，即；
，即
故综上所述：
故选：D
19．B
【解析】
【分析】
设，由，，可得，充分性不成立；反之成立．
【详解】
解：设，由，，则，故充分性不成立；
由，则，所以，，即必要性成立．
所以“”是“”必要不充分条件.
故选：．
【点睛】
本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．C
【解析】
【分析】
A. 时显然不成立；B.时，显然不成立C.利用不等式的加法法则可以证明是正确的；
D.利用作差法证明是错误的.
【详解】
A. ac＞bc，时显然不成立；
B.ac2＞bc2,时，不成立；
C. a+c2＞b+c2，利用不等式的加法法则可以证明是正确的；
D. ，符号不能确定，是错误的.
故选C
【点睛】
本题主要考查不等式的性质和作差法比较大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．D
【解析】
【分析】
对于A选项，当时可以判断；对于B选项，根据题意，作差比较大小即可判断； 对于C选项，结合指数函数与幂函数的单调性判断；对于D选项，根据对数函数的单调性判断即可.
【详解】
解：对于A选项，当时，不等式不成立，故错误；
对于B选项，由于，故，，故
故，即，故B选项错误；
对于C选项，由于，故，故C选项错误；
对于D选项，由于，故，所以，故D选项正确.
故选：D
22．ACD
【解析】
利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
因为，，所以推不出，选项A错误；
因为，，所以，选项B正确；
因为，所以选项C错误；
因为不一定大于1，所以选项D错误．
故选：ACD
23． 16 1
【解析】
（1）设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为，根据条件建立不等关系和相等关系，求解，确定解的个数；
（2）平均每间店的收入不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%建立不等式，根据不等式恒成立求的最大值即可.
【详解】
设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为,
（1）由题意知，，
化简得：，
又，
所以，
解得：，
共种；
（2）由题意知，
，
，
，
，
即的最大值为1万元，
故答案为：16；1
【点睛】
本题主要考查了不等式在实际问题中的应用，不等式的性质，属于难题.
24． 27 2
【解析】
【分析】
分析题目由实数满足条件，，可把所求的式子利用已知的两个式的四则运算表示，然后利用不等式的性质即可求解．
【详解】
由得，
由，得，
则，
即的最大值为27，最小值为2，
当，即时取到最大值，
当，即时取到最小值.
故答案为：27；2.
【点睛】
本题考查不等式的性质，根据要求的表达式对已知条件进行合理变形是解题的关键，考查学生计算能力，是基础题.
25．
【解析】
【分析】
设高一年级选手人数 高二年级选手人数 高三年级选手人数 教师选手人数分别为，根据条件列不等式求解即可.
【详解】
设高一年级选手人数 高二年级选手人数 高三年级选手人数 教师选手人数分别为，
且为正整数，
则，从而，
解得
故选手至少有人.
26．必要非充分
【解析】
【分析】
将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.
【详解】
当“”时，可能，故不能推出“且”；
当“且”时，根据不等式的性质可知“”；
故“”是“且”的必要非充分.
故填：必要非充分
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题.
27．②③④
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，正弦定理与四种命题的概念，命题的否定，判断各命题．
【详解】
①，满足，但，①错；
②在中，由正弦定理，因此其逆命题也是真命题，②正确；
③存在命题的否定是全称命题，命题“，”的否定是“，”，③正确；
④由否命题的概念，“若，则”的否命题为“若，则”，④正确．
故答案为：②③④．
28．
【解析】
【分析】
利用作差法比较大小即可
【详解】
解：因为，
所以，
故答案为：
29．（1）一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为（答案不唯一，符合题意即可）；（2）是，证明见解析；（3）.
【解析】
（1）由上位点、下位点的概念即可得解；
（2）由上位点、下位点的概念结合作差法即可得证；
（3）结合（2）中结论，可得，，再证明当时不合题意即可得解.
【详解】
（1）由题意点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为；
（2）是，证明如下：
点是点的“上位点”，，，
，
，点是点的“下位点”，
，
点是点的“上位点”；
点既是点的“下位点”又是点的“上位点”；
（3）若正整数满足条件：在时恒成立，
由（2）中的结论可知，，时满足条件，
若，
由于存在的情况，
则不恒成立，
因此，的最小值为.
【点睛】
本题考查了新定义的应用及利用作差法比较两数的大小关系，解题的关键是对题中新定义的理解，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
30．（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先比较不等式两边两数平方的大小，进而可得结论.
（2）首先设，，得到，，从而得到，再求的取值范围即可.
【详解】
（1）因为，，
，，
所以，即证：.
（2）设，，则，.
所以，
所以，
因为，，
所以，，即
31．
【解析】
【分析】
设甲、乙两种图画纸的生产量分别为，，再根据“不少于”的含义是“大于等于”，生产甲、乙两种图画纸所用的芦苇、黄麻、枫树总量小于等于仓库的存储量可列出相应的不等关系，得解.
【详解】
设甲、乙两种图画纸的生产量分别为，，根据题意，应有如下的不等关系：
①生产甲、乙两种图画纸所用的芦苇总量不超过，用不等式表示为；
②生产甲、乙两种图画纸所用的黄麻总量不超过，用不等式表示为；
③生产甲、乙两种图画纸所用的枫树总量不超过，用不等式表示为；
④甲、乙两种图画纸的生产量都不少于，用不等式表示为，.
所以满足.题意的不等式组为
故填：.
【点睛】
本题考查运用二元一次不等式组表示生活实际问题的资源配置中的“不少于”、“不超过”等不等关系，属于基础题.
32．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用配方法，即可求的取值范围；
（2）假设中没有一个不小于0，即 ，所以，与 矛盾，即可得出结论．
【详解】
（1）；
（2）证明：假设中没有一个不小于0，即，所以．
又，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，a，b中至少有一个大于等于0．
【点睛】
本题考查利用配方法求取值范围以及路反证法证明有关命题，属基础题.
33．当且时，；当时，，当时，.
【解析】
【分析】
将两式作差后得：，分类讨论的范围，得到两式的大小.
【详解】
①当且时，，
②当时，，
③当时，.
【点睛】
本题考查利用作差法比较代数式大小的问题，解题关键是当作差后符号不能确定时，应分类讨论，属于常考题.
34．当去的老师人数为5时，两车队收费相同；当去的老师人数多于5时，选甲车队更优惠；当去的老师人数少于5时，选乙车队更优惠.
【解析】
【分析】
设该学校组织去学习的老师有人（），全票价为元，坐甲车队的车需花元，坐乙车队的车需花元，根据两个车队的政策,分别求出坐甲车所需费用元和坐乙车所需费用元,再对和作差，并且判断作差的结果的符号,可得出结论.
【详解】
设该学校组织去学习的老师有人（），全票价为元，坐甲车队的车需花元，坐乙车队的车需花元，
则，，
所以.
当时，；
当时，；
当时，.
所以当去的老师人数为5时，两车队收费相同；当去的老师人数多于5时，选甲车队更优惠；当去的老师人数少于5时，选乙车队更优惠.
故得解.
【点睛】
本题主要考查运用不等式知识中的比较大小解决实际生活中的确定方案的问题，属于中档题．关键在于将生活实际中的量转化为数学的符号或相关的式子，运用数学方法解决问题．
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