人教A版（2019）必修第一册必杀技第三章3.1.2函数的表示法word版含答案.docx

人教A版（2019）必修第一册必杀技第三章3.1.2函数的表示法
一、单选题
1．设集合，，若对于函数，其定义域为，值域为，则这个函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物，（1）如不超过200元，则不予优惠；（2）如超过200元但不超过500元，则全款按9折优惠；（3）如超过500元，其中500元按9折给予优惠，超过500元的部分按8折给予优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元.若他只去一次购买同样价值的商品，则应付款（ ）
A．472.8元 B．510.4元 C．522.8元 D．560.4元
3．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费（单位：元）由函数表示，其中是不小于m的最小整数，例如，，那么从甲地到乙地通话5.5分钟的话费为（ ）
A．3.71元 B．4.24元 C．4.7元 D．7.95元
4．已知函数，则函数f（x）的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
5．下表表示y是x的函数，则函数的值域是（ ）
x
y 1 0 1
A． B． C． D．
6．若对于定义域内的任意实数都有，则
A． B． C． D．
7．定义在上函数满足，且，其中，若，则
A． B． C． D．
8．已知（其中a，b为常数），若，则的值为（ ）
A．31 B．17 C． D．15
9．函数的图象大致为
A． B． C． D．
10．，则（ ）
A．3 B． C．0 D．6
11．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
12．若函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
13．若函数（常数、）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
14．已知，若，则a的取值为
A．或2 B．或2 C． D．2
15．已知，则
A． B． C． D．
16．定义在上的函数满足，当时，，则
A． B． C． D．
17．给出下列命题，其中正确命题的个数是
①已知都是正数，，则；②；
③“，且”是“”的充分不必要条件；
④命题“，使得”的否定是“，使得”.
A．1 B．2 C．3 D．4
18．已知函数，设，若，则的取
值范围是
A． B． C． D．
19．若函数，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
20．已知函数f（x），若0≤b＜a，且f（a）＝f（b），则bf（a）的取值范围为（ ）
A．（，] B．[，+∞） C．[0，] D．[，]
21．已知一次函数f（x）＝ax+b满足f（1）＝0，f（2）＝﹣，则f（x）的解析式是（　　）
A．﹣（x﹣1） B．（x﹣1） C．﹣（x﹣3） D．（x﹣3）
22．若函数f（2x）=x-3，则f（4）=（　　）
A． B．1 C． D．5
23．设函数值为整数的单调递增函数满足：对任意，均有，则（ ）
A． B． C． D．
24．下列函数中，不满足：的是
A． B． C． D．
25．函数在[-2,2]的最大值为2，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
26．已知函数，若，且，则的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
27．函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
28．已知集合，，，则集合的子集个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
29．已知函数，，，则 ．
30．已知奇函数对任意实数满足，且当，，则__________
31．已知f(x)＝x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．
32．已知函数是一次函数，满足，则__________．
三、解答题
33．设函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求证：f＋f(x)＝0.
34．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船进行捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.
（1）该船捕捞第几年开始盈利？
（2）若该船捕捞年后，年平均盈利达到最大值，该渔业公司以24万元的价格将捕捞船卖出；求并求总的盈利值.
35．如图，O,P,Q三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时.乙到达Q地后原地等待.设时乙到达P地.时乙到达Q地.
（1）求与的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由.
36．已知
（1）求的零点；
（2）求的值域.
37．设函数.
（1）求；
（2）若，求值.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．D
【解析】
利用函数的概念逐一判断即可.
【详解】
对于A，函数的定义域为，不满足题意，故A不正确；
对于B，一个自变量对应多个值，不符合函数的概念，故B不正确；
对于C，函数的值域为，不符合题意，故C不正确；
对于D，函数的定义域为，值域为，满足题意，故D正确.
故选：D
【点睛】
本题考查了函数的概念以及函数的定义域、值域，考查了基本知识的掌握情况，理解函数的概念是解题的关键，属于基础题.
2．D
【解析】
【分析】
求出两次购物的原价，根据优惠活动计算应付款．
【详解】
解：购物500元应付款元，
设第二次购物的原价为，则，
故，解得．
故两次购物原价为元．
若一次购物638元，则应付款元．
故选：．
【点睛】
本题考查了函数解析式与函数值的计算，属于基础题．
3．B
【解析】
【分析】
首先利用是不小于m的最小整数求出，再直接代入
即可求出结论.
【详解】
由是大于或等于m的最小整数可得，
所以.
故选B.
【点睛】
本题涉及到了对新定义的考查，解决本题的关键在于对是不小于m的最小整数的理解和应用，求出.
4．D
【解析】
【分析】
首先令，从中求得，从而求得，这里需要注意自变量的取值范围，最后求得结果.
【详解】
令，可得，
从而有，其中，
所以有，故选D.
【点睛】
该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有换元法求函数解析式，在求解的过程中，需要注意的是要时刻关注函数的定义域.
5．D
【解析】
由表格信息结合函数值域的定义即可得解.
【详解】
由题意，该函数的值域是.
故选：D.
6．D
【解析】
【分析】
由题意首先求得函数的解析式，然后求解的值即可.
【详解】
由题意可得：，解得：，
故.
故选D.
【点睛】
本题主要考查函数解析式的求解，函数值的求解，函数与方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．C
【解析】
【详解】
是周期为的函数，，，故选C.
8．A
【解析】
根据可得，所以.
【详解】
因为，所以，即，
所以.
故选：A
【点睛】
本题考查了整体代入法求函数值，属于基础题.
9．C
【解析】
【分析】
当时，排除；当时，排除D,从而可得结果.
【详解】
当时，函数，所以选项B不正确；
当时，函数，
所以选项不正确，故选C.
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
10．A
【解析】
【分析】
直接根据解析式计算的值，即可得到答案；
【详解】
解：∵，∴.
故选：A
11．A
【解析】
采用换元法，令，求出，化简后，用替换即可．
【详解】
解：设，则，
，
．
故选：．
12．A
【解析】
令，可得出，代入化简可得出函数的解析式.
【详解】
令，则，，．
故选：A.
【点睛】
本题考查利用换元法求解函数的解析式，考查运算求解能力，属于基础题.
13．B
【解析】
【分析】
将函数解析式变形为，根据该函数为偶函数得出，根据该函数的值域为，可得出且有，由此可解出实数、，即可得出函数的解析式.
【详解】
，且该函数是偶函数，值域为，
则，解得，，因此，.
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数解析式的求解，涉及函数的奇偶性与值域，考查计算能力，属于中等题.
14．A
【解析】
【分析】
利用分段函数通过的范围，分别列出方程求出即可．
【详解】
若
当时，，解得
当时，，解得
综上的取值为：或．
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了根据分段函数值求自变量的值，解题关键是掌握分段函数定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
15．C
【解析】
【分析】
先求出f(x)的解析式，再求f(1)的值.
【详解】
设2x=t,则f(t)=,所以f(1)=,故答案为C
【点睛】
本题主要考查了函数的解析式及函数求值问题，属于中档题.函数求解析式时换元法要熟练掌握，并要注意新元的取值范围.
16．C
【解析】
【详解】
分析：根据题意，可得，得是最小正周期为4的周期函数．由此可求的值.
详解：可得是最小正周期为4的周期函数．则，
故选C.
点睛：本题给出函数满足的条件，求特殊自变量对应的函数值．着重考查了函数的周期性及其证明、对数的运算法则和函数性质的理解等知识，属于中档题．
17．C
【解析】
【详解】
因为都是正数，所以①正确；
②正确；
例如：③正确；
④错误．否定是：，使得；故选C
18．C
【解析】
【详解】
易知函数在上分别单调，故，
因为，所以，故，故，
又因为，所以，
因为，所以，
故，故，
因为，所以，故选C.
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
19．A
【解析】
【分析】
利用换元法求出函数的解析式，然后由求出的值.
【详解】
设，则，，
则，解得，故选A.
【点睛】
本题考查函数解析式的应用，利用换元法求出函数的解析式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
20．A
【解析】
作出函数图象，易知b的范围，再将bf（a）转化为bf（b），用二次函数法求解.
【详解】
如图所示：
因为f（a）＝f（b），
可知： ，
所以bf（a）= b f（b）=b(b+ )= ，
所以bf（a）的取值范围为（，].
故选：A
【点睛】
本题主要考查了图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
21．A
【解析】
【分析】
根据函数满足，列出方程组，求出a，b的值即可.
【详解】
因为一次函数满足，所以，解得，则，故选A.
【点睛】
本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，较基础.
22．A
【解析】
【分析】
由函数f（2x）＝x﹣3，利用f（4）＝f（22），能求出结果．
【详解】
解：∵函数f（2x）＝x﹣3，
∴f（4）＝f（22）＝2﹣3＝﹣1．
故选A．
【点睛】
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
23．C
【解析】
【分析】
由题设可得若存在，有，则任意，总有.构造集合，就、分类讨论后可得正确的选项.
【详解】
由题设可得任意，总有或.
若存在，有，
则或即.
而或即.
依次类推可得任意，总有，
因此我们可得结论：若存在，有，则任意，总有.
设集合，
若，则任意，总有，
故，，，，
若，由的函数值为整数且为增函数可得，
故，矛盾，
故，
若，同理，故，矛盾.
故，所以，所以，此时C成立.
当时，
若中无最大元素，则任意，总有，
此时，，
若中有最大元素，则任意，总有，
而当，总有，
因为的函数值为整数，故对任意的恒成立，
故，由最大可知，，
故，，，
而，故，
由为增函数可得，故，此式矛盾，
故中无最大元素，故任意，总有，
所以此时，，
故选：C．
【点睛】
思维点睛：对于函数值为整数的问题，我们应该利用整数的性质来放缩函数不等式，从而得到矛盾的结论，注意此题中集合的合理构造．
24．C
【解析】
【详解】
试题分析：A中，B中，C中，D中
考点：函数关系判断
25．D
【解析】
【分析】
运用导数，判断函数在时的单调性，求得函数在上的最大值为2,；欲使得函数在上的最大值为2，则当时，，从而解得的范围.
【详解】
由题意，当时，，
可得，
根据导数的符号可以断定函数在是单调增，在上单调减，
所以函数在上的最大值为；
要使函数在上的最大值为2，
则当时，的值必须小于等于2，
即，
解得，
所以的取值范围是，
故选D.
【点睛】
该题考查的是有关根据分段函数的最值求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的最值，属于简单题目.
26．A
【解析】
先画出函数的图象，令，根据三角函数的对称性，以及对数函数的性质，求出和，即可得出结果.
【详解】
作出函数的图象如下：
令，则，
由题意，结合图象可得，，，
所以 ，，，
因此.
故选：A.
27．A
【解析】
构造函数，证明当时，，即，从而当时，，排除B，C，D，即可得解.
【详解】
记，，
，
在上单调递增，
又，
当时，，即，
又，
当时，，
故排除B，C，D.
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数图象的判断以及利用导数证明不等式，考查了转化能力，属于中档题.
28．C
【解析】
【分析】
求出集合，由此可计算出集合的子集个数.
【详解】
，，，
因此，集合的子集个数是.
故选：C.
【点睛】
本题考查集合子集个数的计算，一般要求出集合的元素个数，考查计算能力，属于基础题.
29．
【解析】
【详解】
因为函数，，，则，
注意函数变形时，定义域要保持不变，应满足且，所以答案应填：．
考点：函数的定义域．
30．
【解析】
【详解】
∵，，
∴，
又，函数为奇函数，
∴．
∴．
答案：
点睛：本题综合性较强，汇集了函数的奇偶性、对数、幂的运算等内容，解题时要根据所给函数的特征，将求值问题逐渐向着“当，”转化，其中判断对数的取值范围是解题的关键，另外在解题中还要注意这一公式的运用．
31．g(x)＝3x－2
【解析】
【分析】
可设上，可得该点关于直线x＝1的对称点为，利用“逆代法”可得结果.
【详解】
设g(x)上的任意一点A(x，y)，
则该点关于直线的对称点为B(2－x，y)，
而该点在f(x)的图象上．
所以y＝2－x＝3x－2，
即g(x)＝3x－2，故答案为g(x)＝3x－2.
【点睛】
本题主要考查函数的对称性以及利用“逆代法”求函数解析式，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
32．或
【解析】
【分析】
根据题意设，利用待定系数法求解即可.
【详解】
设，
由题意可知，
所以，解得或，
所以或.
故答案为：或.
33．（1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据分式分母不为零，求得函数的定义域；
（2）计算证得.
【详解】
（1）由解得，所以的定义域为.
（2）依题意得证.
【点睛】
本小题主要考查函数定义域的求法，考查函数方程的证明，考查运算求解能力，属于基础题.
34．（1）第3年后开始盈利(2) ，共盈利108万
【解析】
【分析】
（1）年后开始盈利，盈利为万元，根据题意列式得到，令y>0解得n的范围得到结果；（2）平均盈利为根据均值不等式得到结果即可.
【详解】
（1）设捕捞年后开始盈利，盈利为万元，
则 ，
由，得，解得，
则，故，即捕捞第3年后开始盈利；
（2）平均盈利为，
当且仅当，即时，年平均盈利最大，
故经过7年捕捞后年平均盈利最大，共盈利为万元.
【点睛】
这个题目考查的是实际应用问题，这类问题主要是理解题意，选择合适的数学模型，转化为数学知识进行解决.
35．（1），千米；（2）没有超过3千米.
【解析】
【分析】
【详解】
（1），设此时甲运动到点R，则千米，
所以千米.
（2）当时，乙在上的N点，设甲在M点，
所以，，
所以，
当时，乙在Q点不动，设此时甲在M点，
所以.
所以.
所以当 时,，故的最大值没有超过了3千米.
考点：余弦定理的实际运用，函数的值域.
36．(1) 零点为4，-1 (2) 值域为
【解析】
【详解】
试题分析：（1）时，解得（舍去）或
时，解得；（2）运用二次函数和对数函数的图象和性质确定分段函数值域.
试题解析：（1）
时，解得（舍去）或
时，解得
的零点为4，-1
（2）时，
时，由对数函数性质知在单调递减
，
的值域为
37．（1）4，（2）或-2或9
【解析】
【分析】
（1）先求，再求；（2）分类讨论解方程
【详解】
（1）易得=
（2）当，解得或-2
当，解得
综上或-2或9
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