人教A版（2019）必修第一册过关斩将第二章2.2基本不等式word版含答案

人教A版（2019）必修第一册过关斩将第二章2.2基本不等式
一、单选题
1．已知直线l过点，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，则的面积取得最小值时直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an，使得aman=16a12，则+的最小值为（　　）
A． B． C． D．不存在
3．已知，，三点共线，若均为正数，则的最小值为
A． B． C．8 D．24
4．已知正实数，满足，则能使得不等式恒成立的整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
7．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8．已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最小值3 D．有最大值3
9．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为（ ）
A． B．
C．－1 D．0
10．已知，且，，则下列各式恒成立的是
A． B． C． D．
11．若，则当取得最大值时，x的值为（ ）
A．1 B． C． D．
12．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．，的大小无法确定
13．若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．某商品进货价格为30元，按40元一个销售，能卖40个；若销售价格每涨1元，销量减少1个，要获得最大利润，此商品的售价应是（ ）
A．55 B．50 C．56 D．48
15．若的展开式中项系数为，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
16．已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
17．已知，则“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要
18．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为
A． B． C． D．3
19．已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
20．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
21．命题，，使，若p是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a≥3} B．{a|a≥13} C．{a|a≥12} D．{a|a≤13}
22．设函数（为非零实数），且，，若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
24．非负实数列前项和为若分别记与前项和为与，则的最大值与最小值的差为，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、多选题
25．下列不等式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
26．已知，且，则以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
27．正实数满足，则实数的取值范围是__________.
28．已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F与抛物线交于P、Q两点和椭圆交于A、B两点，M为抛物线准线上一动点，满足，，则直线AB的方程为________.
29．设实数，，，满足，，则的取值范围是_____．
30．如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AB和CD的中点，一个平面分别与棱BC，BD，AD，AC交于E，F，G，H，且MN⊥平面EFGH.给出下列六个结论：①AC⊥BD，②AB//平面EFGH，③平面ABC⊥平面EFGH，④四边形EFGH的周长为定值；⑤四边形EFGH的面积有最大值；⑥四边形EFGH一定是矩形，其中，所有正确结论的序号是_____.
31．中，三边，，满足成等差数列，三角，，满足．且，若存在动点满足，且，则的最大值为______．
32．已知,，且，则的最小值为______________．
33．已知实数，满足，则最大值为________.
四、解答题
34．已知函数.
（1）若，解关于x的不等式；
（2）若存在，使得成立，求整数a的最大值.
35．已知函数
（1）解不等式；
（2）若函数最小值为，且，求的最小值.
36．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
37．（1）若，，求证：；
（2）设，求函数的最大值.
38．设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中称为数组的“元”，称为的下标，如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的子数组.定义两个数组，的关系数为.
（1）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；
（2）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值；
（3）若数组中的“元”满足，设数组含有四个“元”，且，求与的所有含有三个“元”的子数组的关系数（）的最大值.
39．为参与某次救援，潜水员需潜至水下30米处进行作业.在下潜与返回水面的过程中保持匀速，速度均为米/分钟（，为常数），下潜过程中每分钟耗氧量与速度的平方成正比，当速度为1米/分钟时，每分钟耗氧量为0.2升；在水下30米作业时，每分钟耗氧量为0.4升：返回水面的过程中每分钟耗氧量为0.2升假定氧气瓶中氧气为20升，潜水员下潜时开始使用氧气瓶中的氧气，返回到水面时氧气瓶中氧气恰好用尽.
（1）试求潜水员在水下30米作业的时间（单位：分钟）与速度的函数解析式；
（2）试求潜水员在水下30米能作业的最长时间.
40．已知a，b，c均为正实数.
（1）求证：.
（2）若，求证：.
41．已知
（1）若，求的取值范围.
（2）求证.
42．（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值.
43．某地区对当地的某种土特产的销售量y（吨）和销售单价x（元/千克）之间的关系进行了调查，得到下表中的数据：
销售单价x（元/千克） 11 10.5 10 9.5 9 8
销售量y（吨） 5 6 8 10 11 14.1
（1）根据前5组数据，求出y关于x的回归直线方程．
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5，则认为回归直线方程是理想的，试问（1）中得到的回归直线方程是否理想？
（3）如果销售量y（吨）和销售单价x（元/千克）之间仍然服从（1）中的关系，进货成本为2.5元/千克，且货源充足（未售完的部分可按成本价全部售出），为了使利润最大，请你就如何确定销售单价给出合理建议．（每千克销售单价不超过12元）
参考公式：回归直线方程，其中．
参考数据：．
44．已知，且.
（1)的最小值；
(2)证明：.
45．已知,求的最大值,以及取得最大值时的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【分析】
设直线方程为，将点的坐标代入可得，再利用基本不等式可求出的最小值，从而可求出的值，进而可得直线方程
【详解】
解：设直线方程为，
把点代入得，可得，
从而，当且仅当时等号成立，这时，，
从而所求直线方程为．
故选：B．
2．C
【分析】
利用等比数列的通项公式及条件，求出的关系式，结合均值定理可得.
【详解】
设正项等比数列{an}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，
化简得，q2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），
因为aman=16a12，所以=16a12，则qm+n-2=16，解得m+n=6，
所以 .
当且仅当时取等号，此时，解得，
因为mn取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，
验证可得，当m=2、n=4时，取最小值为，
故选C．
【点睛】
本题主要考查等比数列的运算及均值定理应用，均值定理使用时注意使用条件.
3．C
【详解】
由题意得 ,即
所以选C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
4．B
【分析】
通过解出，进而通过基本不等式求出的最大值，再求出的最大值，最后求出m的范围，进而得到m的最小整数值.
【详解】
正实数，满足，.
，即，当且仅当时取等号.
所以，所以
能使得不等式恒成立的整数的最小值为.
故选：B.
5．C
【分析】
由已知可得，即求的最小值，由基本不等式可得答案.
【详解】
因为，，则，
所以，
当且仅当即等号成立，要使不等式恒成立，所以
所以实数的最大值为8.
故选：C.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
6．A
【分析】
设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【详解】
解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：（作差比较法）
因为，
因为，所以，即.
所以这样可知称出的黄金质量大于.
故选：A
7．A
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
若，则由得，充分性成立，
若，例如，，但，因此不必要，
故选：A．
8．B
【分析】
根据题意，将题中所给的式子进行变形，得到a＋b≥a2＋a＋4，进而得到，之后将进行变形，整理求得其最小值，从而求得结果.
【详解】
∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，
∴a＋b≥a2＋a＋4.
又∵a，b＞0，∴，
∴，
∴，
当且仅当a＝2，b＝8时取等号，
所以有最小值，
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关讨论式子最值的问题，涉及到的知识点有不等式的性质，利用基本不等式求最值，属于简单题目.
9．D
【分析】
将函数化为积为定值后，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】
f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.
故选：D
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
10．B
【详解】
试题分析：因为，两边同时乘以，得到，两边再同时乘以，变号，即，故选.
考点：不等式的性质
11．D
【分析】
根据基本不等式即可得到答案.
【详解】
因为，所以，则，
当且仅当时取“=”.
故选：D.
12．C
【分析】
根据题意结合基本不等式可得，即可判断.
【详解】
根据题意可得，当且仅当等号成立，
，当且仅当等号成立，
由题意可得，所以，，则.
故选：C.
13．A
【分析】
由正实数满足，结合基本不等式，求得，即可求得的最小值.
【详解】
由题意，正实数满足，则，
当且仅当时，等号成立，即，
所以，即的最小值为1.
故选：A.
14．A
【分析】
先设商品的售价应为元 ,根据题意得利润为： ，再利用二次函数求最值求解.
【详解】
设商品的售价应为元 ,
则利润为：
当时，取得取大值，
故选A
【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15．B
【分析】
运用二项式展开式的通项公式，化简整理，再由条件得到方程，求出，进而得到，再利用基本不等式即可得到最小值．
【详解】
的展开式的通项公式为
，
由，
解得，
即有，即有，
则，
当且仅当，取得最小值3．
故选：．
【点睛】
本题考查二项式定理和通项公式的运用，考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．
16．C
【分析】
把看成的形式，把“4”换成，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．
【详解】
∵，，且，
∴，
等号成立的条件为，
所以的最小值为1，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是写成形式，属于中档题.
17．B
【分析】
化为，可得ab>0，反之不成立，如取特殊值a=b=1，代入得．
【详解】
因为，则
所以，即ab>0
反之不成立，如取特殊值a=b=1，代入得．
所以“”是“”的必要非充分条件
所以选B
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．B
【详解】
试题分析：由正弦定理，有，又2c·cosB＝2a＋b，得
2sinC·cosB＝2sin A＋sinB，
由A＋B＋C＝π，得sin A＝sin(B＋C)，
则2sinC·cosB＝2sin(B＋C)＋sinB，即2sinB·cosC＋sinB＝0，
又0＜B＜π，sinB＞0，得cosC＝－，
因为0＜C＜π，得C＝，
则△ABC的面积为S△＝ab sinC＝ab，即c＝3ab，
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cosC，化简，得a2＋b2＋ab＝9a2b2，
∵a2＋b2≥2ab，当仅当a=b时取等号，
∴2ab＋ab≤9a2b2，即ab≥，故ab的最小值是．
考点：1.正弦定理和余弦定理；2.基本不等式.
19．B
【分析】
由，得，然后，化简后再用基本不等式求解.
【详解】
解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为2
故选：B
【点睛】
此题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题.
20．D
【分析】
根据不等式的性质可知不正确，正确.
【详解】
因为，所以，故不正确；
因为，所以，故不正确；
因为，所以，所以，故不正确；
因为，所以，故正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查了不等式的性质，属于基础题.
21．C
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题结合命题的真假关系进行判断求解，再利用补集思想得答案．
【详解】
解：解：命题，，使的否定，，，
即，即，
设，则，
当且仅当，即时，取等号，
，
是真命题，是假命题；
故的取值范围是．
故选：．
【点睛】
本题主要考查含有量词的命题的否定的应用，根据条件利用参数分离法进行转化，结合基本不等式求最值是解决本题的关键．属于中档题．
22．D
【分析】
根据，，得到的关系式，即可得到的最小值.
【详解】
由，，得
两式相减得，，
所以，
① 当时，
由，，得，与矛盾，所以不符合题意；
②当时，
，
由，得，
所以，
当且仅当，即时，取得最小值.
故选：D
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，由函数得到的关系式是解决问题的关键.
23．D
【分析】
利用作差法和基本不等式分析判断每一个选项的正误得解.
【详解】
A. 不一定大于等于零，所以该选项错误；
B. ，当取负数时，显然，所以错误，所以该选项错误；
C. ，当且仅当时成立，由于取得条件不成立，所以，如时，，所以该选项错误；
D. ，当且仅当时取等号.所以该选项正确.
故选：D
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
24．B
【分析】
计算，得到的最小值为1，，得到最大值为，得到答案.
【详解】
，
一方面，
当且仅当，又因为，
所以当且取等号，故的最小值为1；
另一方面
，
当且仅当且取等号，故的最大值为.
故.
故选：B.
【点睛】
本题考查了数列中的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
25．BCD
【分析】
根据基本不等式的条件，可判断A，对数比较大小利用换底公式做商可判断B，利用导数判断函数单调性可判断CD.
【详解】
.根据基本不等式，都为正实数，故不正确．
.
，故正确．
.令，则，恒成立，
所以在上是增函数，即．
故正确．
.令，则，
当时，，当时，，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，即，
故正确．
故选：．
【点睛】
本题主要考查基本不等式成立的条件，利用导数分析函数单调性，属于中档题．
26．AB
【分析】
A．根据判断选项是否正确；B．将变形为，结合A中的范围判断选项是否正确；C．根据判断结果是否正确；D．先计算的范围，由此判断选项是否正确.
【详解】
A．因为（，所以等号取不到），所以，故正确；
B．因为，且，所以，所以，故正确；
C．因为，又因为，所以，所以，故错误；
D．因为，所以，故错误，
故选：AB.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
27．
【分析】
利用均值不等式求的范围从而求得的范围，由的范围及所给关系式即可求得c的范围.
【详解】
因为正实数满足，所以，
又，（当且仅当时取等号），
所以，则，，解得 .
故答案为：
【点睛】
本题考查基本不等式的应用、不等式的性质，属于中档题.
28．
【分析】
根据,可得为正三角形且边长为4,进而求得直线的倾斜角,再求解方程.
【详解】
由椭圆,可知,,,∴,
在中,,,故为正三角形.
又,故
,
∵,,∴,,
∴直线AB的倾斜角为,将直线方程.
故答案为：
【点睛】
本题考查抛物线与椭圆综合运用,同时也考查直线方程的倾斜角与斜率点斜式等.属于中档题.
29．
【分析】
用表示，再根据基本不等式求出的取值范围后可求的取值范围.
【详解】
因为，
所以，故，
又，所以，
整理得到即，
又，故在为增函数，
当时，；当时，；
所以的取值范围是
【点睛】
多元变量的最值问题，基本的处理策略是利用消元法尽量降低变元的个数，从而把问题归结为一元函数的值域，另外消元时可用整体消元的方法且需注意变量范围的传递.
30．①②④⑤⑥
【分析】
利用正四面体的性质判断①；利用直线与平面垂直的性质判断②；平面是否垂直判断③；通过折叠与展开判断④；求出四边形的面积判断⑤；判断四边形的形状判断⑥；
【详解】
在棱长为1的正四面体中，对棱垂直，所以①，正确；
，分别为棱和的中点，可知，，
一个平面分别与棱，，，交于，，，，且平面．
所以，平面，所以②正确；
同时，所以四边形一定是矩形，所以⑥正确；
平面平面，所以平面平面不正确，即③不正确；
由比例关系可知：是定值，四边形的周长为定值2，④正确；
由基本不等式的形状，可知四边形的面积有最大值1；所以⑤正确；
故答案为：①②④⑤⑥．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，涉正四面体的性质以及及空间几何体的直线与平面、平面与平面的平行垂直性质的综合应用，还运用了基本不等式求面积最大值．
31．
【分析】
依题意可得，由正弦定理得，由，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得，结合前面条件及同角三角函数的基本关系可得，，由向量数量积的定义得到，可令，，，以为原点、、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设，根据与得到与的等量关系，可求得的最大值为．
【详解】
解：由中，三边，，满足成等差数列得，由正弦定理得，
由，所以，所以，即，因为，所以，所以，由，即，所以，代入可得，，由，所以，所以，令，，，以为原点、、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图：
则，，，设，
根据得，，，
由得，，，，，
，得，的最大值为，当且仅当时取等号．
故答案为：．
32．8
【解析】
【分析】
根据已知条件利用代1法进行求解，根据，可得，然后利用基本不等式进行解答即可
【详解】
，，且，
当且仅当即时等号成立
则
故答案为
【点睛】
本题主要考查了基本不等式，解答本题的关键是掌握基本不等式，注意等号成立的条件，属于基础题。
33．
【分析】
把方程利用基本不等式转化为含的不等式，解不等式即可．
【详解】
，，
又，，
当且仅当时，等号成立， 即，
，所以，
又因为均为正实数，所以，所以，
即的最大值为．
故答案为
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，运用基本不等式时注意“一正、二定、三相等”．
34．（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）对分三种情况讨论得解；
（2）由题得，再利用基本不等式即得解.
【详解】
解；（1）由，得，，
当，即，或时，的根，
原不等式的解集为或；
当，即，或时，的根，
原不等式的解集为；
当，即时，原不等式的解集为.
（2）由，得，
再由得，
所以存在，使得成立就等价于.
而（当且仅当时等号成立），
所以，解得，
故整数a的最大值为.
35．（1）；（2）最小值为
【分析】
（1）利用零点分段法去绝对值，由此解不等式，求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式求得的最小值，也即求得的值.利用配凑法，结合基本不等式，求得的最小值.
【详解】
（1）当时，，无解
当时，，得
当时，，得
所以不等式解集为
（2）
当且仅当时取等 当且仅当时取等
所以当时，最小值为4，即，所以
所以
当且仅当且即时取“=”
所以最小值为.
【点睛】
本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
36．（1）；（2）产量为时，最大利润1800万元.
【分析】
（1）分和分别得出函数的解析式，可得函数关系式；
（2）分别求出和时利润的最大值，比较可得答案.
【详解】
解：（1）当时，；
当时，；
（2）当时，，当时取得最大值；
当时，，当且仅当时取等号，所以当产量为百辆时，最大利润为万元.
37．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用分析法证明不等式；
（2）利用基本不等式求最大值.
【详解】
（1）要证不等式成立，
只要证：成立，
只要证：成立，
由，又，
∴显然成立，
故原不等式成立.
（2），
∵，∴，
∴，等号成立当且仅当，
∴函数的最大值为.
【点睛】
本题考查分析法证明不等式、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.
38．（1）2（2）1（3）
【分析】
（1）根据题中“元”的定义，列出所有的含有两个“元”的子数组，当取到时，取到最大值；
（2）需要进行分类讨论，分为中含0和不含0这个“元”两种具体情况进行分类讨论，再结合不等式性质进行合理放缩即可求得最值；
（3）可以借鉴（2）中解题方法，分为和两种情况，再结合基本不等式性质经行求解即可
【详解】
（1）由题，列出所有符合题意的子数组：，，，，
，，由定义，，计算可得，当时，；
（2）由，可知，实数具有对称性，故分为中含0和不含0这个“元”两种具体情况进行分类讨论；
①当0是中的“元”时，由于中的三个“元”都相等及中三个“元”的对称性，可只计算的最大值，，
由可得，
故当时达到最大值，故；
②当不是中的“元”时，
又，根据同向可加性可得
，即，则
，当且仅当时，取到最大值，故；
综上所述，；
（3）解法和（2）接近，，，根据及
的对称性，分为和两种情况进行求解；
当时，为了保证不等式的等价性，需对做变形处理，得
，此时
，当且仅当时等号成立；
；
当时，，此时，
综上所述，
【点睛】
本题考查对新定义的理解，均值不等式在极值中的具体应用，知识的类比与推广，对于知识的迁移转化有较高要求，属于中档题
39．（1）；（2）分类讨论，详见解析.
【分析】
（1）下潜过程中每分钟耗氧量与速度的平方成正比，则下潜每分钟耗氧量为，上升和下潜的时间为，即可求出，整理即可，
（2）根据（1）的函数解析式，需要分类讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可求出.
【详解】
解：（1）下潜过程中每分钟耗氧量与速度的平方成正比，则下潜每分钟耗氧量为，上升和下潜的时间为，则，
整理可得，（为常数）
（2）由（1）可知，当时，，当且仅当时取等号，
当时，易知函数在上为减函数，
∴，
故当潜水员在水下30米能作业的最长时间为20分钟，
当时，潜水员在水下30米能作业的最长时间为分钟
【点睛】
本题考查函数模型的选择和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，恰当地建立方程.易错点是弄不清数量间的相互关系，导致建立方程出错.
40．
（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】
(1)利用基本不等式分别对、、求出和的最小值，进而相加即可；
(2)将不等式的左边化为，利用基本不等式对ab求出积的最大值即可.
（1）
∵a，b，c均为正实数，
∴，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
三式相加得，当且仅当时，等号成立，
∴.
（2）
.
∵，，，
∴（当且仅当时，等号成立），即.
所以，即证.
41．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）将代入已知，利用换元法解出关于的一元二次不等式，可得的取值范围；
（2）将进行变形化简，可证得不等式成立．
【详解】
（1）∵
∴
∴
令
∴，∴，∴或
∵，∴
∴，当且仅当时取到等号
则的取值范围是
（2）证明：∵
∴当且仅当时取“=”
∴
∴
∴当且仅当时取“=”
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值或范围，考查基本不等式证明不等式，考查学生逻辑思维能力，属于中档题．
42．（1）9（2）3
【分析】
（1）分离常数法，在结合基本不等式的性质即可得到答案．
（2）构造已知等式关系，直接利用基本不等式的性质即可得到答案．
【详解】
（1），
，
则：．
当且仅当．即时，取等号成立．
当时，的最小值为9．
（2）．要求的最大值，必须同号．
．
当且仅当．即时等号成立．
故：取最大值为3．此时．
【点睛】
本题考查了基本不等式性质的灵活应用．属于基础题．
43．（1）；（2）可以认为该回归直线方程是理想的；（3）将销售单价定为7.5元/千克可使利润最大．
【分析】
（1）由题意计算出、，代入公式可得、，即可得y关于x的回归直线方程；
（2）把代入回归直线方程可得，再由与0.5比较即可得解；
（3）设销售利润为W（千元），由题意可得关于x的函数表达式，再利用基本不等式即可得解.
【详解】
（1）因为,,
，，
所以，
所以，
所以y关于x的回归直线方程为；
（2）当时，，则，
所以可以认为该回归直线方程是理想的；
（3）设销售利润为W（千元），
因为销售量y（吨）和销售单价x（元/千克）之间满足，
所以，
因为，所以，
当且仅当即时，W取得最大值，
所以将销售单价定为7.5元/千克可使利润最大．
【点睛】
本题考查了回归直线方程的求解与应用，考查了函数求最值的实际应用及运算求解能力，属于中档题.
44．（1）最小值为9；（2）见解析.
【详解】
试题分析：（1）利用柯西不等式求出的最小值；（2）由，
得.同理得，.
累加即可得结果.
试题解析：
(1)由柯西不等式，得，
当且仅当时，取等号.
所以的最小值为9.
(2)由，
得.
同理得，
.
三式相加得，
∴，
当且仅当时，取等号.
45．时,有最大值.
【分析】
对函数变形，结合基本不等式求解最大值，以及最值取得的条件.
【详解】
解:.
,
当且仅当,即时,取等号.
当时,有最大值.
【点睛】
此题考查基本不等式的应用，根据基本不等式求函数的最大值，需要注意考虑最值取得的条件.
答案第1页，共2页
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