人教A版（2019）必修第一册过关斩将第三章3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性word版含答案

人教A版（2019）必修第一册过关斩将第三章3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性
一、单选题
1．若，对任意恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知定义在R上的偶函数在（0，）上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若函数在上的最大值为，最小值为，则
A． B．
C． D．
5．已知函数，则其图象(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y＝x轴对称
C．关于原点对称 D．关于y轴对称
6．设函数f（x）满足，则f（4）等于（　　）
A． B．6 C． D．1
7．函数（ ）
A． B．
C． D．
8．已知奇函数，则（ ）
A． B． C．7 D．11
9．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．若函数是奇函数，定义域为，，则的值是
A． B． C． D．
11．已知函数，则不等式的解集是
A．
B．
C．
D．
12．下列函数中，偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
13．设函数，则函数的图像可能为
A． B．
C． D．
14．一只蚂蚁从正方形的一个顶点出发，沿着正方形的边逆时针运动一周后回到点，假设蚂蚁运动过程中的速度大小不变，则蚂蚁与点的距离随时间变化的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
15．若在上是奇函数，则的值为（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
16．已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上是增函数，若，则的取值范围是
A． B．
C． D．
17．已知函数定义域是，那么“是增函数”是“不等式恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
19．已知函数是上的偶函数,若对于都有且当时,则的值为
A． B． C． D．
20．若函数为定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为
A． B． C． D．
21．设函数，则使得成立的的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
22．下列四个命题中正确的是（ ）
A．函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝logaax(a>0且a≠1)的定义域相同
B．函数y＝与函数y＝3x的值域相同
C．函数y＝|x＋1|与函数y＝2x＋1在区间[0，＋∞)上都是增函数
D．是奇函数
23．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．函数的值域为
C．当时，函数的图像关于直线对称
D．函数的增区间为
三、双空题
24．已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有成立，则_________，_________.
四、填空题
25．已知函数的值域是，则实数的取值范围是____________
26．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则实数a的取值范围是__________________
27．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＝________.
28．（2017年苏州11），若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是___________.
29．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是______．
30．已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为满足：对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”且恒成立，则实数的取值范围是______．
31．已知函数，函数与的图象关于原点对称，若函数（e为自然对数的底数）有4个不同的零点，则实数m的取值范围为______.
五、解答题
32．已知函数
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）证明函数在为减函数；
33．已知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）设，若为上的单调函数，求实数的取值范围．
34．已知一次函数是增函数且满足．
（1）求函数的表达式；
（2）若不等式对于一切恒成立，求实数的取值范围．
35．已知函数(,且),且.
(1)求实数的值;
(2)判断函数的奇偶性并证明
(3)若函数有零点,求实数的取值范围.
36．设函数是定义在R上的奇函数，当时，.
（1）求在R上的解析式；
（2）设，若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.
37．已知函数，.
（1）判断函数在定义域上的单调性，并加以证明；
（2）对于区间上的每一个值，如果不等式恒成立，求出取值范围.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据奇函数定义，可得为奇函数，利用导数，可判断的单调性，再结合题意，可得对任意的 关于m的一次型函数恒成立，则可得关于a的不等式组，即可得答案.
【详解】
解：，
∴是奇函数，
则可化为，
又恒成立，
∴单调递减，
由递减知，即，
对任意的恒成立，
等价于对任意的恒成立，
则，解得，
故选：A．
2．B
【解析】
【分析】
首先根据函数的奇偶性排除A，C选项，再根据函数在上的单调性排除D.
【详解】
，为偶函数，排除A，C选项；
当时，，，排除D选项，故选B．
故选B
【点睛】
本题考查函数图象的辨别，可以利用函数的定义域、单调性及奇偶性来排除选项，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
结合函数的奇偶性以及单调性即可比较函数值的大小.
【详解】
因为函数是定义在R上的偶函数，
所以，，
因为函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，
所以函数在上是增函数，
因为∴∴.
故选：D.
4．B
【解析】
【分析】
可令，，判断的单调性，求得最值,再判断的奇偶性，可得的最值，即可得到所求差的值.
【详解】
令，，
由在上均递增，
可得在上递增，
所以的最小值为，
的最大值为，
所以，故选B．
【点睛】
本题主要考查了函数最值的求解，解答中利用换元法，得到新函数，利用新函数的单调性，求解函数的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
5．D
【解析】
【详解】
函数的定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝＝＝f(x)，
所以函数f(x)的偶函数，其图象关于y轴对称．
答案：D
点睛：判断函数的奇偶性反应的就是函数图象的对称性，特殊的对称性，所以问题可转化为判断函数的奇偶性，判断奇偶性首先看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系.
6．B
【解析】
【分析】
由函数满足，先求出，由此能求出的值．
【详解】
解：∵函数满足，
，
，
．
故选．
【点睛】
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．A
【解析】
【详解】
由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A.
【考点定位】
对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.
8．C
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数可得将，再代入计算，即可得答案；
【详解】
，
故选：C.
9．A
【解析】
【分析】
由题设，构造，易证为奇函数，利用导数可证为增函数，结合题设不等式可得，即对任意均成立，即可求的范围.
【详解】
由题设，令，
∴，
∴为奇函数，又，即为增函数，
∵，即，
∴，则，
∴对任意均成立，又，当且仅当时等号成立，
∴，即.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：构造并证明其奇偶性、单调性，结合题设不等式可将问题转化为对任意均成立.
10．C
【解析】
【分析】
根据奇函数定义求解．
【详解】
由题意，，.
故选：C．
【点睛】
本题考查奇函数的定义，掌握奇函数概念是解题基础．
11．C
【解析】
【分析】
由题意，根据函数的解析式，求解函数是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】
由题意，函数，则，所以函数是定义域上的单调递增函数，
又由，即函数定义域上的奇函数，
又由不等式可转化为
即，即，解得，
即不等式的解集为，故选C.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
12．D
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，函数的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；
B选项，函数的定义域为，而，所以是非奇非偶函数；
C选项，函数的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；
D选项，函数的定义域为，且，所以是偶函数.
故选：D.
13．C
【解析】
【分析】
先判断函数奇偶性，舍去B,D，再根据函数值正负确定选项.
【详解】
因为，所以舍去B,D，
因为ln3>0,所以选C.
【点睛】
本题考查函数图象识别，考查基本分析判断能力，属基本题.
14．A
【解析】
【分析】
设蚂蚁的速度为，正方形的边长为，则，分别求出蚂蚁位于线段、、，时，关于的表达式，利用排除法即可求解.
【详解】
设蚂蚁的速度为，正方形的边长为，则，
当蚂蚁位于线段上，即时，，其图象为线段；
当蚂蚁位于线段上，即时，，其图象为曲线；
当蚂蚁位于线段上，即时，，其图象为曲线；
当蚂蚁位于线段上，即时，，其图象为线段；
结合选项可知：选项A符合题意，
故选：A.
15．D
【解析】
【分析】
利用奇函数的定义可知其定义域关于原点对称，其图象关于原点对称，从而建立关于的方程，即可求出结果．
【详解】
解：∵奇函数的定义域关于原点对称，所以
∵奇函数的图象关于原点对称，
∴
即
∴
∴．
故选D．
【点睛】
本题考查了奇函数的定义及特点，注意函数定义域的特点，是个基础题．
16．C
【解析】
【详解】
试题分析：由题设可得，是在上的奇函数，且在上是增函数,在上是增函数，可化为，即，即，故应选C．
考点：1．函数的单调性、奇偶性的运用；2．对数不等式的解法．
【方法点晴】
本题所呈现的形式较为复杂,表面上看较难求解,其实仔细观察不难发现:,即是互为相反数,因此为函数是奇函数提供了用武之地．解答时充分借助这一点将所给不等式进行化简,然后再运用函数的单调性将函数符号和对数符号去掉,从将不等式进行合理的转化与化归,最后达到求解的目的．
17．A
【解析】
【分析】
函数为上的增函数不等式恒成立，反之不成立，即可判断结论.
【详解】
函数为上的增函数不等式恒成立，反之不成立，
“是增函数”是“不等式恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题考查了充分条件与必要条件的定义，同时考查了增函数的定义，属于基础题.
18．A
【解析】
【分析】
由奇函数的定义域可得的值，再由解出，进而求出答案．
【详解】
函数是定义在上的奇函数，则，解得．又，则，所以．
故选：A
19．C
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性与周期性，求得的值．
【详解】
因为是上的偶函数,所以
所以
又因为，即周期T=2
=
函数
得=1所以选C
【点睛】
本题考查了函数性质的简单应用，周期性与奇偶性是函数重要的基本性质，要熟练掌握，属于基础题．
20．C
【解析】
【详解】
∵函数为定义在上的偶函数，∴定义域关于原点对称，即，即，则在上单调递增，即，解得，故不等式的解集为，故选C.
21．D
【解析】
【详解】
显然函数是偶函数，且在单调递增，
因此要使成立，只需，只需.
解得或.
故选D.
点睛：本题考查了函数的相关性质，涉及函数的值求法，奇偶性、单调性的证明，不等式的求解，属于难题.解决此类型问题，关键体会对定义域内任意自变量存在的性质，特别是特值的求解，即要善于发现，又要敢于试验，奇偶性在把握定义得前提下，通过赋值向定义靠拢，单调性就是要结合单调性证明格式，正用、逆用，变形使用性质，解不等式就是奇偶性及单调性的应用，注意定义域问题.
22．ACD
【解析】
对A，求出两个函数定义域即可判断；对B，求出两个函数值域可判断；对C，由解析式得出单调性可判断；对D，利用定义求出函数的奇偶性可判断.
【详解】
对于A，函数y＝ax(a>0且a≠1)和y＝logaax(a>0且a≠1)的定义域都是R，故A正确；
对于B，函数y＝值域为[0，＋∞)，函数y＝3x的值域为(0，＋∞)，故B错误；
对于C，当x∈[0，＋∞)时，函数y＝|x＋1|＝x＋1是增函数，函数y＝2x＋1是增函数，故C正确；
对于D，的定义域是(－1，1)，令，，故函数是奇函数，故D正确．
故选：ACD.
23．AD
【解析】
【分析】
对于A，利用奇偶性的定义判断即可，对于B，对函数化简后，利用基本不等式结合对数的性质可求出函数的值域，对于C，通过计算和的值进行判断，对于D，利用对勾函数的性质和偶函数的性质可求得结果
【详解】
对于A，由，可知函数为偶函数，所以A正确，
对于B，不妨设，此时，由（当且仅当时取“=”），有，可得，可知函数的值域为，所以B错误，
对于C，由，
，可知当时，函数的图像不关于直线对称，所以C错误，
对于D，，由函数的增区间为，减区间为，可知函数的增区间为，所以D正确，
故选：AD
24． 27
【解析】
【分析】
先赋值，再利用奇偶性求得；先赋值得，再赋值得，最后赋值得
【详解】
因为定义在上的奇函数,所以满足
令
代入可得
因为
所以代入可得
则
所以
由奇函数性质可知
令,代入可得
令代入可得
令,代入可得
即
故答案为:
【点睛】
本题考查利用赋值法以及函数奇偶性求函数值，考查基本分析求解能力，属中档题.
25．
【解析】
【分析】
设，因为值域是，所以取中的每一个数，根据的图像与轴的关系可以得到参数的取值范围．
【详解】
令，因的值域为，故应取中的每一个数．
当时，，此时，可取中的每一个数．
当时，为二次函数，故其开口向上且与轴有公共点，所以，所以或．
综上，
【点睛】
给定函数的值域，要求参数的取值范围，可通过换元把定值域问题转化为内函数的图像分布问题．
26．
【解析】
【分析】
根据函数是偶函数，且在上递增，判断出函数在上递减，由此将原不等式转化为，解这个不等式可求得的取值范围.
【详解】
由于函数是偶函数，且在上递增，故函数在上递减，故圆不等式可转化为，即，即，.
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，以及解抽象函数不等式和绝对值不等式，属于中档题.对于函数的奇偶性，判断方法是根据奇偶性的定义，也即是判断，还是.奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称.
27．－5
【解析】
【详解】
　由f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即 f(－2)＝－f(2)，而f(2)＝22＋1＝5.
∴f(－2)＝－5.
28．
【解析】
【详解】
，，不等式在恒成立，f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(x)是R上偶函数，
即在恒成立，即：在恒成立，或在恒成立，解得或，故答案为 .
29．
【解析】
【分析】
先研究函数奇偶性与单调性，再根据函数性质化简不等式，最后解一元二次不等式得结果.
【详解】
因为函数，
则，∴函数在上为奇函数．
因为.
∴函数在上单调递增．
∵，∴，
∴，交点.则实数的取值范围是．
故答案为．
【点睛】
本题考查函数奇偶性与单调性以及利用导数解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
30．
【解析】
【分析】
由题意求得，即有在恒成立，设
，判断单调性可得最小值，即可得到所求范围．
【详解】
由题意可得，
由恒成立，
可得在恒成立，
设，
由均在递减，
可得函数在递减，
可得的最小值为，
即有，即，
可得b的范围是．
故答案为．
【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
31．
【解析】
【分析】
根据对称性可以求出的解析式，对该函数进行求导，判断单调性，利用换元法，结合基本不等式、双勾函数的单调性，最后求出实数m的取值范围.
【详解】
由题意知，，当时，，单调递减且；当时，，单调递减；当时，，单调递增.令，由，故或.由图象知或，解得或.
故答案为：或
【点睛】
本题考查了利用对称性求函数的解析式，考查了已知函数零点的个数求参数取值范围问题，考查了数学运算能力.
32．（1）是奇函数，证明见详解；（2）证明见详解
【解析】
【分析】
（1）先判断定义域，再根据的关系说明奇偶性即可；
（2）利用定义法证明函数的单调性即可.
【详解】
（1）定义域为，关于原点对称，
又因为，
所以是奇函数；
（2）任取且，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以在上为减函数.
【点睛】
（1）用定义证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；
（2）用定义法证明函数的奇偶性时，首先需要判断函数的定义域是否关于原点对称，满足的条件下再去考虑的关系.
33．（1）奇函数；（2）实数，实数．
【解析】
【分析】
（1）首先求出函数的定义域，再由函数的奇偶性定义即可判断.
（2）利用函数的单调性定义证出在定义域内为减函数，由题意可得，解不等式即可.
【详解】
（1）∵，
∴的定义域为．
又
，
∴为奇函数．
（2）设且，
∴，
∴
．
∴在上为减函数，由题意得为上的减函数，
∵，
故应有，
∴实数，实数．
34．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设，代入，再根据两边对应系数相等求解析式；（2）若不等式对于一切恒成立，转化为，这样利用一次函数的单调性求函数的最大值.
【详解】
（1）由题意可设．
由，得：，
即，所以，，解得：或，
因为，所以，．所以；
（2）由，得．不等式对于一切恒成立，
即为对于一切恒成立，
因为函数在上为增函数，所以．所以．
所以，不等式对于一切恒成立的实数的取值范围．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，一般求解析式的方法分为：
1.待定系数法，适应于已知函数类型；
2.代入法，适用于已知的解析式，求的解析式；
3.换元法，适用于已知的解析式，求的解析式；
4.方程组法，适用于已知和的方程，或和的方程.
35．(1)2(2)奇函数.见解析 (3)或.
【解析】
(1)代入求解即可.
(2)由(1)化简可得,再分析与的关系判定即可.
(3)分析可知有实根,再换元令,分析,的取值范围进而求得的取值范围即可.
【详解】
(1)因为
解得
(2)是奇函数.
由得:
故,所以是奇函数
(3)方法一:
代入可得
因为有零点,所以有实根.
显然不是的实根,所以有实根.
设,,.因为.
①当时,,所以,
所以
②当时,,
所以
综上,的值域为
所以,当时,有实根,
即有零点
方法二:代入可得
因为有零点,所以有实根.
所以有实根.
显然,时上式不成立,所以有实根
因为,
所以
所以或.
所以,当时,有实根.
即有零点
【点睛】
本题主要考查了函数解析式的求解以及根据函数的零点个数求解参数的方法,需要根据题意参变分离,分析构造的函数的值域进而求得参数的范围.属于中档题.
36．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数定义补齐的解析式和的函数值；
（2）利用换元法分离参数，得到恒成立，
只需求出的最大值即可.
【详解】
（1）设则 =
又∵是奇函数 ∴
∴
当易知
∴
（2）由题意知恒成立
设
∴恒成立
令
而
∴
【点睛】
此题考查根据函数奇偶性求函数解析式，求在R上的解析式，容易漏掉的情况；不等式恒成立求参数范围的一类解决方法即是分离参数，通过换元成二次函数求值域，注意不要漏掉新元的取值范围.
37．（1）单调递增；证明见解析　（2）.
【解析】
【分析】
(1)根据增函数的定义证明即可;
(2)问题转化为对于区间上的每一个值都成立,则只需,解出结果即可得到答案.
【详解】
因为,
所以函数在上是增函数,
证明:设,
则
,
因为,所以,,
所以,,
所以,即,
所以函数在上是增函数.
(2)因为等价于
等价于,
所以对于区间上的每一个值都成立,
所以 ,即,
即 ,所以.
【点睛】
本题考查了用增函数的定义证明函数为增函数,考查了不等式恒成立,属于中档题.
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