人教A版（2019）必修第一册过关斩将第三章3.3幂函数word版含答案

人教A版（2019）必修第一册过关斩将第三章3.3幂函数
一、单选题
1．偶函数满足，当时有．若存在实数，满足，且，则的最小值为（ ）
A．198 B．199 C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．若幂函数（，且、互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．、是奇数且 B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且 D．、是偶数，且
4．幂函数的图象过点，则 （ ）
A．8 B．6
C．4 D．2
5．已知函数f（x）＝（3m2﹣2m）xm是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（ ）
A． B．﹣1 C．1 D．或1
6．双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
7．设函数，则下列结论错误的是
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
8．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
9．幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇曲线（如图）.设点，，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，则mn等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
10．若函数则（ ）
A．-1 B．1 C．-27 D．27
11．函数在区间上的最小值是
A． B． C．4 D．-4
12．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
13．在同一个直角坐标系中，函数，（且）的图象如图，则a，b的取值可能是（ ）
A． B．
C． D．
14．下列命题中正确的是（ ）
A．当时函数的图象是一条直线
B．若幂函数的图像关于原点对称，则是定义域上的增函数
C．幂函数的图象都经过和
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
15．幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是
A． B．
C． D．
16．如果幂函数的图象经过点，则在定义域内
A．为增函数 B．为减函数 C．有最小值 D．有最大值
17．已知函数（为自然对数底数）有且只有一个零点，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
18．为了得到函数y=lgx的图象，只需将函数y=lg（10x）图象上
A．所有点沿y轴向上平移10个单位长度
B．所有点沿y轴向下平移10个单位长度
C．所有点沿y轴向上平移1个单位长度
D．所有点沿y轴向下平移1个单位长度
19．已知幂函数是偶函数，则实数的值是（ ）
A．4 B．－1 C． D．4或－1
20．设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
21．已知：是幂函数，：图象过点，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
22．已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象过原点
B．函数是偶函数
C．函数是单调减函数
D．函数的值域为R
23．当时，幂函数的图像在直线的下方，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
24．已知幂函数在上单调递减，则______.
25．幂函数的图象过点，则___________.
26．给出下列命题：
(1)幂函数的图像都过点；(2)幂函数的图像不可能是一条直线；
(3)时，函数的图像是一条直线；(4)幂函数，当时，是增函数；
(5)幂函数当时，在第一象限内函数值随值的增大而减少.其中正确的命题序号为_____
27．已知不为的正实数满足则下列不等式中一定成立的是 _____.（将所有正确答案的序号都填在横线上）
①；② ；③；④；⑤．
四、解答题
28．已知函数（其中实数a为常数）.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，求证：函数在上是单调递增函数.
29．若点在幂函数的图像上，二次函数的最小值为1且满足，.
（1）求和的解析式；
（2）定义，求函数的定义域、值域和单调区间.
30．已知幂函数（其中，）满足：
①在区间上为减函数；
②对任意的，都有.
求幂函数的解析式，并求当时，的值域.
31．利用指数函数的图象，作出下列各函数的图象：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
32．幂函数，满足在上是增函数；
（1）求的解析式；
（2）在内有且只有一个零点，求的取值范围；
（3）函数，是否存在实数，使得时，函数的值域为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
33．给定点，若是直线上位于第一象限内的一点，直线与轴的正半轴相交于点.试探究：的面积是否具有最小值 若有，求出点的坐标；若没有，则说明理由.若点为直线上的任意一点，情况又会怎样呢
34．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，且，.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求C点的坐标，根据图像指出使反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围.
35．已知（）的图像关于y轴对称且在上随着x值的增大而减小，求的解析式及其定义域、值域，并比较与的大小.
36．设函数，作出的图像并讨论其性质．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】
首先由条件分析函数的周期为4，并且，所以要取得最小值，需尽可能多的，根据函数的周期和解析式得到的最小值.
【详解】
解：，推得，
故最小正周期为4．
，取得最小值，
则需尽可能多的取到最高（低）点，
由以及得：．
故选：B
【点睛】
本题考查函数的周期，最值，图象，解析式的综合应用，意在考查转化与化归的思想，函数性质的灵活应用，属于中高档题型.
2．D
【分析】
根据求函数定义域的原则可得出关于实数的不等式，由此可解得原函数的定义域.
【详解】
对于函数，由，解得.
因此，函数的定义域为.
故选：D.
3．C
【分析】
利用幂函数的性质直接推出结果；或利用函数的定义域、值域、单调性推出结果.
【详解】
将分数指数式化为根式，，
由定义域为，值域为知为奇数，为偶数，故排除A、D，
又由幂函数，当时，图像在第一象限的部分下凸，
当时，图像在第一象限的部分上凸.
故选：C
【点睛】
本题考查了幂函数的性质，需熟记幂函数的性质，属于基础题.
4．C
【分析】
由题先求出幂函数解析式，即可计算.
【详解】
设，的图象过点，
，解得，即，
.
故选：C.
5．C
【分析】
根据题意，若要满足函数f（x）＝（3m2﹣2m）xm是幂函数且f（x）为增函数，则应满足且，即可解出m的值．
【详解】
根据题意得，
解得
故选C．
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义及性质．
6．B
【详解】
设双曲线的右焦点为 ，的周长为 ， 而 ，所以三角形周长的最小值是 ，解得： ， ，解得： ，故选B.
【点睛】解析几何中的最值问题，包括几何法和代数法，如几何法经常涉及圆锥曲线的定义和比较明显的平面几何的定理和性质，所以做题时要充分考虑这些定义来进行转化，比如椭圆和双曲线定义涉及两条焦半径，所以给出 ,就联想 ,抛物线有，就联想到准线的距离.
7．D
【详解】
，所以函数是奇函数，，所以函数，函数是偶函数，就是奇函数， 奇偶=奇函数，是偶函数，所以偶奇=奇函数，所以错的是D，故选D.
8．A
【分析】
在同一平面直角坐标系内作出，的图象判断.
【详解】
在同一平面直角坐标系内作出，的图象，如图所示：
易知在区间上，当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，.
故选：A
9．A
【分析】
根据三等分关系求出坐标，，即可求出对应幂函数解析式，解出mn的值.
【详解】
由题：，，，
所以，，
，，，
.
故选：A.
【点睛】
此题考查幂函数的图像性质辨析，根据图像分析点的坐标，根据坐标求函数解析式.
10．B
【分析】
根据分段函数，先求得，再求即可.
【详解】
因为函数
所以，
所以，
故选：B
11．A
【详解】
函数在区间上单调递减，所以最小值是.
故选A
12．C
【分析】
对选项一一判断函数的奇偶性和单调性，即可得到结论．
【详解】
解：A,在递增，不具奇偶性，不满足条件；
B,函数是奇函数，在，上是减函数，在定义域内不具备单调性，不满足条件；
C,，，函数为增函数；，函数是奇函数，满足条件；
D,，其定义域为，，不是奇函数，不符合题意.
故选C．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，掌握常见函数的单调性和奇偶性是解题的关键，属于基础题．
13．B
【分析】
直接观察图像可得的值，特殊值代入可确定的范围.
【详解】
设，，
由图像观察，
，
，，
则；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了对数函数以及幂函数的图像问题.属于容易题.
14．D
【分析】
根据幂函数的图像与性质，以及定义域，特殊点，单调性及图像经过的象限，对四个选项依次分析判断，即可得到答案.
【详解】
对于A，当时函数的图像是一条直线但去掉点，故A错误；
对于B，幂函数的图像关于原点对称，且当时，函数是定义域上的增函数；当时，函数在和上都为减函数，故B错误；
对于C，幂函数的图像都经过点，当指数时，都经过点，故C错误；
对于D，由于在函数中，只要，必有，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查幂函数的图像与性质，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.
15．C
【分析】
设出函数的解析式，根据幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．
【详解】
设幂函数的解析式为y=xa，
∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），
∴2=4a，
解得a=
∴，其定义域为[0，+∞），且是增函数，
当0＜x＜1时，其图象在直线y=x的上方．对照选项．
故选C．
【点睛】
本题考查的知识点是函数解析式的求解及幂函数图象及其与指数的关系，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法．
16．C
【分析】
由幂函数的图象经过点，得到，由此能求出函数的单调性和最值．
【详解】
解：幂函数的图象经过点，
，解得，
，
在递减，在递增，有最小值，无最大值．
故选．
【点睛】
本题考查幂函数的概念和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
17．B
【详解】
由题意，知，函数有且只有一个零点等价于方程只有一个根，即方程只有一个根，则函数与直线只有一个交点．因为，所以函数在上是减函数，在上为增函数，在为减函数，的极小值为，且，，，，，则的图象如图所示，由图易知，故选B．
点睛：函数图象的应用常与函数零点、方程有关，一般为讨论函数零点（方程的根）的个数或由零点(根)的个数求参数取值（范围），，此时题中涉及的函数的图象一般不易直接画出，但可将其转化为与有一定关系的函数和的图象问题，且与的图象易得．
18．D
【分析】
由于函数y=lg（10x）═lgx+1，把函数y=lg（10x）的图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得函数函数y=lgx的图象，由此得出结论．
【详解】
由于函数y=lg（10x）═lgx+1，
把函数y=lg（10x）的图象上所有的点向下平移1个单位长度，
可得函数y=lgx的图象．
故选D．
【点睛】
本题主要考查函数的图象平移变换方法，依据x加减左右平移（左加右减），函数值加减上下平移（加向上、减向下），属于基础题．
19．A
【分析】
根据幂函数的定义列方程，解方程求得的可能取值，再根据函数为偶函数确定的值.
【详解】
已知函数是幂函数，则，解得或.
当时，不是偶函数；
当时，是偶函数.
综上，实数的值是4.
故选A.
【点睛】
本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的奇偶性，属于基础题.
20．C
【分析】
对四个选项一一验证：
对于A：利用幂函数的图像，直接判断；
对于B：利用指数函数的图像，直接判断；
对于C、D：利用对数函数的图像，进行判断；
【详解】
对于A：要判断的是幂函数的图像，根据的图像可以判断，故A正确；
对于B：要判断的是指数函数的图像，作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；
对于C、D：要判断的是对数函数的图像，作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以，故D正确， C错误；
故选：C
21．D
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】
是幂函数，但其图象不过点，故不充分；
当图象过点时，如不是幂函数，故不必要；
故选：D
22．AD
【分析】
根据幂函数所过点求得幂函数解析式，结合幂函数的图象与性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
由于幂函数过点，所以，解得，所以.
，满足，A选项正确.
是奇函数，所以B选项错误.
在上递增，所以C选项错误.
值域为，所以D选项正确.
故选：AD
【点睛】
本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.
23．AB
【分析】
转化为当时，恒成立，可得，由此可得解.
【详解】
根据题意得当时，，可知，
故选：AB
【点睛】
关键点点睛：由不等式得出是解题关键.
24．2
【分析】
先由幂函数的定义，得到，求出，再由题意，根据幂函数的单调性，即可得出结果.
【详解】
因为为幂函数，
所以或，
又在上单调递减，
由幂函数的性质，可得：，解得：，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查由幂函数单调性求参数，熟记幂函数的定义，以及幂函数的单调性即可，属于常考题型.
25．##
【分析】
先求出幂函数的解析式，再求的值
【详解】
设幂函数，则，得，
所以，
所以，
故答案为：
26．(5)
【详解】
分析：可采用特值法、排除法等根据幂函数的性质逐个判断即可.
详解：（1）对于，其图象不过，故可排除（1）；（2）幂函数的图象是一条直线，故可排除（2）；（3）时，函数的图象不是一条直线(点除外)，故可排除（3）；（4）幂函数在其定义域上不是增函数，故可排除（4）；（5）幂函数，当时，在第一象限内函数值随值的增大而减少，正确，故答案为（5）.
点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查幂函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，可以用特值法判断假命题，然后集中精力突破较难的命题.
27．④⑤.
【分析】
根据对数函数单调性先分析出的大小关系，然后结合函数性质以及不等式的性质逐项分析.
【详解】
因为且不为，由对数函数的单调性可知，
①当时，，所以，故①不一定成立；
②因为，由指数函数的单调性可知,故②不成立；
③当时，，所以，故③不一定成立；
④因为，所以，故④一定成立；
⑤因为，所以，故⑤一定成立；
故答案为：④⑤.
28．
（1）当时，函数为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数
（2）证明见解析
【分析】
（1）讨论和两种情况，根据函数奇偶性的定义得到答案.
（2）设，计算，得到证明.
（1）
，，
当时，，函数为偶函数；
当时，且，函数为非奇非偶函数.
综上所述：时函数为偶函数；时函数为非奇非偶函数.
（2）
，则，设，
则
，故，，，
故，即，函数单调递增.
29．
（1），
（2）；；，
【分析】
（1）设函数，，由待定系数法求得，，，，从而可求出函数解析式，
（2）由（1）结合题意可得，画出函数的图象可求得函数值域和单调区间
（1）
设函数，，
因为点在幂函数的图像上，所以，解得，
因为二次函数的最小值为1且满足，，
所以，解得，，，
所以，；
（2）
因为，
所以，
函数的定义域为 ；
作出函数的图象，如图：
由图象可得单调递减区间为，；
由图象可得函数的值域为.
30．，值域为
【分析】
根据条件分析，0，1，依次检验①②，即可得解.
【详解】
解：，，，0，1.
对任意，都有，即，是偶函数.
当时，，满足条件①②；
当时，，不满足条件①；
当时，，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数的解析式为，且在区间上是增函数，当时，函数的值域为.
【点睛】
此题考查根据幂函数的概念结合单调性和奇偶性求函数解析式，根据函数解析式求函数值域.
31．见解析
【分析】
（1）的图象向右平移一个单位；
（2）保留图象在轴右边部分，去掉轴左侧的，并把轴右侧部分关于轴对称，
（3）图象向下平移一个单位；
（4）把图象关于轴对称；
（5）图象向下平移一个单位，然后把下方部分关于轴翻折；
（6）把图象关于原点对称．
【详解】
利用指数函数的图象及变换作图法可作出所要求作的函数图象，其图象如图所示.
（1） （2） （3）
（4）（5）（6）
【点睛】
本题考查函数图象变换，解题关键是掌握平移变换与对称变换的知识与方法，
32．
（1）
（2）
（3）存在，
【分析】
(1)：根据幂函数定义与性质即可求解；
(2)：由，得或，只需满足且或且，解不等式即可；
(3)：因为函数在单调增区间是，减区间是，故讨论函数在上的单调性结合最值即可求解．
（1）
由得或，当时，在上是增函数，符合题意；
当时，在上是减函数，不符合题意，
所以；
（2）
因为，所以
由，得或
因为在内有且只有一个零点，
所以且解得
或且解得
所以；
（3）
由，
设存在实数，使得时，函数的值域为，
因为函数在单调增区间是，减区间是，则
当时，在上单调递增，所以，得
当时，，得与矛盾，故不存在；
当时，在上单调递减，所以，
所以得，又，得
将代入得，由于，所以无解，
故不存在；
综上所述：．
33．的面积存在最小值为，此时 ，若为直线上的任意一点时，的面积不具有最小值.
【分析】
设出点的坐标，根据三点共线，求得参数之间的关系，将问题转化为求函数的最小值；根据方程有根，用判别式法求得参数范围以及面积的最值.
【详解】
依题意画草图如图：
设
由三点共线得
解得
而的面积
问题转化为求函数的最小值.
函数的定义域为
将函数式变形为 （※）
（※）方程有根
即
解得或（舍，）
的面积存在最小值为，此时
若为直线上的任意一点时，的面积不具有最小值.
当无限地接近于原点时，的面积无限地接近于.
【点睛】
本题考查由三点共线斜率相等求参数关系，判别式法求函数值域，属综合中档题.
34．（1）， （2）或
【分析】
（1）利用点在反比例函数图象上，，在一次函数上，待定系数即得解；
（2）联立一次函数和反比例函数可求解C点坐标，结合图象可得使反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围
【详解】
（1）由题意，点在反比例函数图象上，
故
所以反比例函数解析式为：
一次函数过，，代入一次函数解析式可得
所以一次函数解析式为：
（2）联立一次函数和反比例函数
或
由于C在第二象限，故
结合图象，使反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围是或
35．，定义域为，值域为，.
【分析】
根据幂函数的单调性及奇偶性确定函数解析式，再根据函数解析式求定义域及值域，利用单调性比较函数值的大小.
【详解】
由题意可知，，
解得，
由图像关于y轴对称知为偶数，
所以m可取-1，
所以.
定义域为，值域为.
又，在上单调递增，
所以.
36．见解析
【分析】
将函数的解析式化为，利用幂函数的图象进行平移变换可得到函数的图象，根据图象写出函数的定义域、值域、奇偶性、对称轴和单调性即可.
【详解】
因为，
所以将幂函数的图象向左平移一个长度单位后，再向上平移一个长度单位可得函数的图象，其函数图象如图：
其定义域为：，值域为：，函数为非奇非偶函数，图像关于对称，在上单调递增，在上单调递减.
【点睛】
本题考查了利用图象变换作出函数的图象，考查了函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页