人教A版（2019）必修第一册过关斩将第三章3.4函数的应用（一）word版含答案

人教A版（2019）必修第一册过关斩将第三章3.4函数的应用（一）
一、单选题
1．在函数y＝|x|（x∈[－2，2]）的图象上有一点P（t，|t|），此函数的图象与x轴、直线x＝－2及x＝t围成的图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图象可表示为
A． B． C． D．
2．已知函数其中.若对任意的都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，若使提价后的销售总收入不低于20万元，则提价后的价格至多是（ ）
A．4元 B．5元 C．3元 D．6元
4．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
小数记录
五分记录
现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附，，）（ ）A． B． C． D．
5．已知函数的最大值为1，则的取值范围为
A． B． C． D．
6．英国物理学家、数学家牛顿曾提出在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，那么经过小时后物体的温度将满足.通过实验观察发现，在的室温下，一块从冰箱中取出的的冻肉经过小时后温度升至，在相同的环境下利用牛顿冷却模型计算：温度为的水，冷却到，大约经过的时间为（ ）（忽略体积等其它因素的影响）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
7．已知函数在区间上有最小值，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
8．下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（ ）
①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.
A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①
9．如图，为等腰直角三角形，直线与相交且，若直线截这个三角形所得的位于直线右侧的图形面积为，点到直线的距离为，在的图像大致为
A． B．
C． D．
10．某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回.设t为出发后的某一时刻，s为汽艇与码头在时刻t时的距离，下列图象中能大致表示s=f(t)的函数关系的为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图一直角墙角，两边的长度足够长，P处有一棵树与两墙的距离分别是am、4 m，其中，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S（单位：），若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则函数的图象为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
14．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元）.一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（ ）
A．18万件 B．20万件 C．16万件 D．8万件
二、多选题
15．(多选)血药浓度(Plasma Concentration)是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是（　　 ）
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
16．为预防秋冬季流感，学校每天定时对教室进行喷洒消毒.教室内每立方米空气中的含药量(单位：)随时间(单位：)的变化情况如图所示：在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为(为常数)，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．时，教室内每立方米空气中的含药量高于
D．教室内每立方米空气中的含药量高于的持续时间超过90分钟.
三、填空题
17．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为正常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．
18．某城市出租车收费方法如下：起步价为6元，可行驶3km（含3km），行驶3km到10km（含10km）每增加1km车费增加0.5元，超过10km每增加1km车费增加0.8元，不足1km均按1km计算，若某人乘出租车行驶了11.5km，那么他应该付车费是_________元.
19．如图所示，学校要建造一面靠墙（墙足够长）的2个面积相同的矩形花圃，如果可供建造围墙的材料总长是60m，要所建造的每个花圃的面积最大，则宽应为___________m.
四、解答题
20．已知函数
（1）求的值；
（2）若，求实数a的值.
21．某物流公司欲将一批海产品从A地运往B地，现有汽车、火车、飞机三种运输工具可供选择，这三种工具的主要参考数据如下：
运输工具 途中速度（） 途中费用（元/） 装卸时间（） 装卸费用（元/）
汽车 50 80 2 200
火车 100 40 3 400
飞机 200 200 3 800
若这批海产品在运输过程中的损耗为300元/，问采用哪种运输方式比较好，即运输过程中的费用与损耗之和最小.
22．某商品在近30天内每件的销售价格（元）与时间（天）的函数关系是，该商品的日销售量（件）与时间（天）的函数关系是．求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（注：日销售金额=日销售价格×日销售量）
23．建造一间地面面积为12的背面靠墙的猪圈, 底面为长方形的猪圈正面的造价为120元/, 侧面的造价为80元/, 屋顶造价为1120元. 如果墙高3, 且不计猪圈背面的费用, 问怎样设计能使猪圈的总造价最低, 最低总造价是多少元
24．已知函数.
（1）若，求的值域；
（2）若对于任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
25．已知函数（其中a为常数）．
（1）当a=1时，求f（x）在上的值域；
（2）若当x∈[0，1]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设，是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以f（g（m）），f（g（n）），f（g（p））为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由．
26．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量(单位：)与时间(单位：）的函数关系为，当消毒后，测量得药物释放量等于；而实验表明，当药物释放量小于对人体无害．
（1）求的值；
（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
27．随着我国经济发展 医疗消费需求增长 人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为万元，最大产能为台.每生产台，需另投入成本万元，且由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
试卷第页，共页
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参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
当t<0时，S＝，其图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是（0，）；当时，S＝，其图象是开口向上的抛物线，顶点坐标是（0，）．所以B满足要求．
考点：图象法表示函数．
2．B
【解析】
根据增函数的定义可得在上为增函数，再根据分段函数的单调性列式可解得结果.
【详解】
因为对任意的都有，所以，即，所以在上为增函数，
所以，因为，所以.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：抓住分段函数分界点的函数值的大小关系是解题关键，属于基础题.
3．A
【解析】
设提价后价格是元（），求出销售量得总收入，列不等式求解．
【详解】
设提价后价格是元（），则销售量为（万本）
销售总收入为，
由，得，∴
∴提价后至多为每本4元．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的应用，解题时需引入参数，可根据已知函数模型列出函数或不等式求解．本题要注意的单位要统一，销售收入是以元为单位还是以万元为单位要一致，否则易出错．
4．B
【解析】
【分析】
根据表格中可知函数的单调性，可选择合适的函数模型，然后令，解方程即可得解.
【详解】
由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为，
令，解得.
故选：B.
5．B
【解析】
【分析】
根据题意原函数是一个周期函数，以2018为周期的函数,根据二次函数的对称性得到结果即可.
【详解】
根据题意原函数是一个周期函数，以2018为周期的函数，，
根据二次函数的图形的特点得到，最大值在x=0或者x=2018处取得，f(0)=1,对称轴为，故只需要.
故答案为B.
【点睛】
本题考查了函数的周期性和二次函数的图像的性质和最值问题，二次函数的最值和轴与区间的位置关系是有联系的.
6．D
【解析】
【分析】
利用题中的条件先计算出的值，再代入数据即可得出结果.
【详解】
由题意知：
，
，
即，
等式两边同时取对数得，
，
则；
设温度为的水冷却到所经过的时间为，
则，
即，
解得；
故选：D.
7．D
【解析】
【分析】
根据一次函数的图象与性质，分类讨论列出方程，即可求解.
【详解】
当时，函数，显然不符合题意；
当时，函数为单调递减函数，所以，解得；
当时，函数为单调递增函数，所以，解得.
综上可得，实数的值为或.
故选：D.
8．A
【解析】
【分析】
根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像.
【详解】
对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；
对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；
对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；
故选：A.
9．C
【解析】
【详解】
设AB=a，则y=a2 x2= x2+a2，
其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方，
本题选择C选项.
10．C
【解析】
【分析】
因为该汽艇沿直线方向匀速开往改岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边考查，然后又乘汽艇沿原航线提速返回，由此即可求出答案．
【详解】
解：因为该汽艇中途停靠岸边考察，此时间段不变，绕小岛环行两周，汽艇与码头的距离最小值，不会低于靠近海岛时的距离，故排除，，
因为为汽艇与码头在时刻的距离，其图象能表示的函数关系，而图表示的不是函数关系，故排除．
故选：．
【点睛】
本题函数图象的应用，同学们要注意分析其中得“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势，属于基础题．
11．C
【解析】
为求矩形面积的最大值，可先将其面积表达出来，又要注意点在长方形内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．
【详解】
解：设长为，则长为
又因为要将点围在矩形内，
则矩形的面积为，
当时，当且仅当时，
当时，
分段画出函数图形可得其形状与接近
故选：．
【点睛】
解决本题的关键是将的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出的解析式，属于基础题．
12．D
【解析】
【分析】
将函数的解析式表示为分段函数，进而可判断出函数的图象.
【详解】
，则，
因此，函数的图象如D选项中的图象所示.
故选：D.
【点睛】
本题考查指数型函数图象的识别，化简函数解析式是判断的关键，属于基础题.
13．A
【解析】
【分析】
根据题意，结合图形，分析区间（0，）和（，π）上f（x）的符号，再分析f（x）的对称性，排除BCD，即可得答案．
【详解】
根据题意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．
在区间（0，）上，P在边AC上，|PB|＞|PA|，则f（x）＞0，排除C；
在区间（，π）上，P在边BC上，|PB|＜|PA|，则f（x）＜0，排除B，
又由当x1+x2＝π时，有f（x1）＝﹣f（x2），f（x）的图象关于点（，0）对称，排除D，
故选：A
14．A
【解析】
【分析】
先求得利润的表达式，然后结合二次函数的性质求得利润取得最大值时对应的生产数量.
【详解】
利润
.
所以当时，L(x)有最大值.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查二次函数模型的应用，属于基础题.
15．ABC
【解析】
【分析】
通过图象判断选项ABC正确；第一次服用该药物1单位3小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，一定会发生药物中毒，故选项D错误.
【详解】
从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，故选项A正确；
根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故选项B正确；
服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，故选项C正确；
第一次服用该药物1单位3小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，故选项D错误.
故选：ABC.
16．ABC
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况得答案．
【详解】
解：当时，设，则，故，则，故正确；
当时，把代入，可得，则，即，故正确；
当时，，故正确；
当时，由，得，当时，由，得，即，
分钟，故错误．
故选：．
17．
【解析】
【分析】
先将D＝a－A进行配方，求出D取最大值时的A的值，即可得出结论．
【详解】
由题意得，D＝a－A=-（-+，且A≥0，∴当=，即A=时，D最大，故答案为.
【点睛】
本题考查了二次函数最值的求法，关键是对解析式进行配方即得函数的最值以及对应的自变量的值．
18．11.1
【解析】
【分析】
将出租车行驶了11.5km，分为三部分计费：出租车行驶3km，需要6元，3km到10km，需要元，再行驶1.5km，需要元，从而可得结果.
【详解】
根据题意，行驶10km时，付车费，再行驶1.5km，增加车费1.6元，则应付车费元，
故答案为：11.1
【点睛】
此题考查分段函数的应用，考查分析问题的能力，属于基础题.
19．10
【解析】
【分析】
建立面积的函数关系式，利用二次函数求出取最大值时的x.
【详解】
设每个花圃的面积的面积为y，则
因为，
所以当时，y最大.
故答案为：10.
【点睛】
数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围.
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）代入求值即可；
（2）对进行讨论，令解出即可.
【详解】
解：函数，
，
，
；
，
当时，，
解得：，不成立；
当时，，
解得：，成立；
当时，，
此方程无解，
综上所述：实数a的值为.
21．当时，汽车总费用最小；当时，火车总费用最小；当时，飞机总费用最小（其中表示运输路程）
【解析】
【分析】
根据路程分别求出三种运输工具的费用与损耗之和(即途中费用＋装卸费用＋运输损耗)，然后比较可得．
【详解】
设路程为，汽车、火车、飞机三种运输工具的费用与损耗之和分别为，则
，
，
,
从三条直线的斜率和纵截距，它们的图象大致位置如图所示，
时，，时，，
所以当时，最小，汽车总费用最小，当时，最小，火车总费用最小，当时，最小，飞机总费用最小．
答：当时，汽车总费用最小；当时，火车总费用最小；当时，飞机总费用最小（其中表示运输路程）
【点睛】
本题考查函数模型的应用，解题关键求出三个函数式，然后比较它们的大小．
22．元；第25天
【解析】
【分析】
分情况讨论即可获得日销售金额y关于时间t的函数关系式，根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值取较大者即可解答．
【详解】
∵日销售金额，
∴
.
当，，时，（元）；
当，，时．（元）；
∵，∴第25天日销售金额最大，（元）．
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查分类讨论的思想、二次函数求最值得方法以及问题转化的能力，属于中档题．
23．当猪圈正面底边为4米侧面底边为3米时, 总造价最低为4000元.
【解析】
【详解】
试题分析：解：设猪圈底面正面的边长为xm，则其侧面边长为m---（2分）那么猪圈的总造价y=3x×120+3××80×2+112=360x++1120，---（3分）因为360x+≥2 =2880，---（2分）当且仅当360x=，即x=4时取“=”，（1分）所以当猪圈正面底边为4米侧面底边为3米时，总造价最低为4000元
考点：基本不等式在最值问题中的应用
点评：本小题主要考基本不等式在最值问题中的应用等基础知识，观察函数特点：为一个含有两个部分，这两部分的积为一个常数，求和的最值，所以利用基本不等式求最值．
24．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当时，可得，利用二次函数的基本性质可求得函数的值域；
（2）分析可知，对于任意的实数，恒成立，对实数的取值进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，，
因为，故，所以函数的值域为；
（2）由题意恒成立，
恒成立，
所以，只要恒成立即可，即恒成立.
①当时，恒成立，符合题意；
②当时，则有，解得.
综上所述：.
25．（1）[2，] （2）-＜a＜（3）（-，-）∪（，）
【解析】
【分析】
（1）当a=1时，f（x）=x+，结合对勾函数的图象和性质，可得f（x）在[，2]上的值域；
（2）若不等式f（2x）＜2x++4在[0，1]上恒成立，即a＜-2（2x）2+1+2x在[0，1]上恒成立，令t=2x，则t∈[1，2]，y=-2t2+t+1，结合二次函数的图象和性质，求出函数的最小值，可得实数a的取值范围；
（3）换元，原问题等价于求实数a的范围，使得函数在给定的区间上，恒有2ymin＞ymax
【详解】
解：（1）函数，
当a=1时，f（x）=x+，导数为f′（x）=1-=，
f（x）在[，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数，
∴当x=，或x=2时，函数最最大值，当x=1时，函数取最小值2，
故f（x）在[，2]上的值域为[2，]；
（2）若不等式f（2x）＜2x++4在[0，1]上恒成立，
即2x+＜2x++4在[0，1]上恒成立，即a2＜1+4 2x在[0，1]上恒成立，
1+4 2x在[0，1]递增，可得最小值为1+4=5，即a2＜5，解得-＜a＜；
（3）设t=g（x）==-1+在x∈[0，]递减，可得t∈[，1]，则y=t+，
原问题转化为求实数a的取值范围，使得y在区间[，1]上，恒有2ymin＞ymax．
讨论：①当0＜a2≤时，y=t+在[，1]上递增，∴ymin=3a2+，ymax=a2+1，
由2ymin＞ymax得a2＞，∴＜a≤；或-≤a＜-；
②当＜a2≤时，y=t+在[，|a|]上单调递减，在[|a|，1]上单调递增，
∴ymin=2|a|，ymax=max{3a2+，a2+1}=a2+1，
由2ymin＞ymax得2-＜|a|＜2+，∴＜|a|≤；
③当＜|a|＜1时，y=t+在[，|a|]上单调递减，在[|a|，1]上单调递增，
∴ymin=2|a|，ymax=max{3a2+，a2+1}=3a2+，
由2ymin＞ymax得＜|a|＜，∴＜|a|＜1；
④当|a|≥1时，y=t+在[，1]上单调递减，∴ymin=a2+1，ymax=3a2+，
由2ymin＞ymax得a2＜，∴1≤a2＜；
综上，a的取值范围是（-，-）∪（，）．
【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质的应用问题，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理分类讨论求解函数的最值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和转化思想的应用，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
26．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）把代入即可求得的值；
（2）根据，通过分段讨论列出不等式组，从而求解.
【详解】
（1）由题意可知，故；
（2）因为，所以，
又因为时，药物释放量对人体有害，
所以或，解得或，所以，
由，故对人体有害的时间为．
27．（1）；（2）该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元.
【解析】
【分析】
（1）根据年利润等于总收入减去固定成本万再减去另投入成本，写成分段函数的形式即可；
（2）分别由二次函数的性质以及基本不等式求出分段函数各段的最大值，再比较取最大值即可求解.
【详解】
（1）由题意可得：
当时，
；
当时，，
所以
（2）若，，
所以当时，万元.
若，，
当且仅当时，即时，万元.
所以该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元.
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