人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第二章2.1等式性质与不等式性质word版含答案

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第二章2.1等式性质与不等式性质
一、单选题
1．若a＞b，则下列正确的是(　　)
A．a2＞ b2 B．ac2＞ bc2
C．a3＞b3 D．ac＞ bc
2．如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知a，b，c满足cA．ab>ac B．c(b－a)<0
C．cb20
4．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，且则
6．若,且,则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．若a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
9．下列四个说法中，错误的是（ ）
①若，均为正数，则
②若，则的最小值为2
③若，则
④，则
A．①②③ B．①③ C．②③ D．②④
10．设，，，且，则下列式子正确的是（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
11．如果a>b，给出下列不等式：
①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
12．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为h≤4.5.__( )__
(2)用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b>0.__( )__
(3)不等式x≥2的含义是指x不小于2.__( )__
(4)若a13．已知，，，，那么A，B，C按从小到大的顺序排列应是________．
14．下面有四个说法
（1）且且；
（2）且；
（3）；
（4）
其中正确的是__________________.
15．已知正数x，y满足x2+2xy+4y2＝1，则x+y的取值范围是____.
三、解答题
16．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，其中是常数.
（1）求的解析式；
（2）求实数的值，使得函数，的最小值为；
（3）已知函数满足：对任何不小于的实数，都有，其中为不小于的正整数常数，求证：.
17．已知函数.
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)在(1)的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数的取值范围.
18．（1）比较与的大小.
（2）证明：.
19．求证：如果，那么.
20．判断下列各题中的条件是结论的什么条件．
（1）条件：、，，结论：；
（2）条件：，结论：.
21．已知，为实数，求证：是的充要条件.
22．（1）x与y的和非负，x与y的积不大于6.
（2）某工厂生产的产品每件售价为80元，直接生产成本为60元.该工厂每月其他开支为50000元．如果该工厂计划每月至少获得200000元的利润，假定生产的全部产品都能卖出，每月的产量是x件.
（3）假如你要开一家卖T恤和运动鞋的小商店，由于店面和资金有限，在你经营时会受到如下限制：①你最多能进50件T恤；②你最多能进30双运动鞋；③你至少需要T恤和运动鞋共40件才能维持经营；④已知进货价：T恤每件36元，运动鞋每双48元，现在你有2400元资金.
请分别写出满足上述不等关系的不等式.
23．整改校园内一块长为15 m，宽为11 m的长方形草地(如图A)，将长减少1 m，宽增加1 m(如图B)．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x m，宽增加x m(x>0)，试研究以下问题：
x取什么值时，草地面积减少？
x取什么值时，草地面积增加？
24．已知，，（1）.求证：；
（2）若，求证：；
25．（1）用分析法证明当时，
（2）已知，，，用反证法证明：，中至少有一个不小于0.
26．（1）已知不等式的解集为M，若a、，试比较与的大小；
（2）已知对于任意非零实数a和b，不等式恒成立，求实数x的取值范围．
27．已知，求的取值范围．
28．甲、乙两人沿着同一条道路同时从A地出发走向B地，甲用速度和为（）各走路程的一半，乙用速度和各走全程所需时间的一半，试判断甲、乙两人谁先到达B地，并证明你的结论.
29．你能从“盐水加盐变得更咸了”这一生活常识中提炼出一个不等式吗？若能，请写出这个不等式并证明；若不能，此题你将没有分.
30．（1）求证：
（2）已知，求的取值范围．
31．已知，求证：；
32．已知且，试比较与的值的大小．
33．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形中，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径的半圆弧于D，连结OD，作CE⊥OD，垂足为E，请从下列不等式①、②、③中选出表示CD≥DE的序号（不需要写出推导过程，只需选出不等式序号即可），并证明选出的不等式．
①（a＞0，b＞0）；②（a＞0，b＞0）；③（a＞0，b＞0）．
34．已知是正项数列，，且点（）在函数的图像上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若列数满足，，求证：.
35．已知函数
（1）若，解不等式；
（2）解关于的不等式
36．某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据去的老师人数，比较两车队的收费哪家更优惠.
37．证明，并说明等号成立的条件.
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参考答案：
1．C
【解析】
【详解】
分析：用特殊值法排除错误选项，可得正确答案.
详解：对于A.，当时不成立；
对于B.，当时不成立；
对于D，当时不成立；
故选C.
点睛：本题考查不等式的性质，注意特殊值法的应用.
2．A
【解析】
根据不等式的性质判断各选项．
【详解】
由于，B中无意义，B错；
时，，C，D均错．
只有正确，．
故选：A．
【点睛】
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键，在应用不等式性质时，一定要注意不等式成立的条件，否则易出错．
3．A
【解析】
【分析】
根据已知条件，求得的正负，再结合，则问题得解.
【详解】
由c0.
由b>c，得ab>ac一定成立，即正确；
因为，故，故错误；
若时，显然不满足，故错误；
因为，故，故错误.
故选：.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质，属简单题.
4．D
【解析】
【分析】
利用特殊值或不等式的性质对每一个选项分析判断得解.
【详解】
对于选项A，由于可能有，故A错误；
对于选项B，若，则，所以B错误；
对于选项C，虽有，但的正负不确定，故C错误；
对于选项D，由于，所以，所以.
故D正确.
故选D
【点睛】
本题主要考查不等式性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．B
【解析】
【分析】
选项A、C、D通过举出反例来说明其错误，选项B利用不等式的性质来说明其正确．
【详解】
若则，A不正确；
B：因为，，则，所以，故B正确；
C：当时，可得不等式不成立，故C不正确．
D：若，满足条件，但，所以D不正确.
故选：B．
6．B
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，特值检验，排除A，C，D，即可.
【详解】
因为，且.
所以当时，，选项A不成立.
当，时成立，但是，选项C不成立.
当，时成立，但是，选项D不成立.
排除A，C，D选项.
故选B.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质，属于容易题.
7．B
【解析】
根据不等式的性质对选项进行逐一判断,找出正确的选项,.
【详解】
A. 由，则即，所以A不正确.
B. 由,则，所以B正确.
C. 由，则，则，所以C不正确.
D. 当时，，所以D不正确.
故选：B
【点睛】
本题考查不等式的基本性质，属于基础题.
8．C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，利用作差比较，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，因为，
对于A中，，所以，所以不正确；
对于B中，，所以，所以不正确；
对于C中，，则，所以是正确的；
对于D中，，则，所以不正确，故选C．
【点睛】
本题主要考查了利用不等式的性质比较大小问题，其中解答中根据不等式的性质，合理利用作差比较求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
9．C
【解析】
【分析】
利用不等式的性质以及基本不等式判断选项的正误即可．
【详解】
①若，均为正数，则，当且仅当时等号成立；满足基本不等式的性质；故①正确．
②若，则，当且仅当时，表达式取得最小值为2；故②不正确；
③∵，∴，即，，即；故③不正确；
④，可知，所以；所以④正确；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了不等式的基本性质和基本不等式的应用，注意使用基本不等式时等式成立的条件，属于基础题．
10．C
【解析】
根据不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
A选项：时，不成立，故A错误；
B选项：，时不成立，故B错误；
C选项：根据同向可加性易知，故C正确；
D选项：取，则不成立，故D错误.
故选C.
11．②⑥
【解析】
【分析】
对分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
【详解】
令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【点睛】
本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥.
12． √ × √ √
【解析】
【详解】
⑴限高米就是，故正确
⑵ 与的差是非负数则，故错误；
⑶大于等于即不小于，故正确
⑷不等式表示或，故若或中有一个正确，则一定正确；
13．
【解析】
【分析】
由已知可得，用作差法比较大小，即可得出结论.
【详解】
，
，
，
.
故答案为：
【点睛】
本题考查不等式的性质以及作差法比较数的大小，考查计算求解能力，属于基础题.
14．（3）（4）
【解析】
【分析】
取特殊值计算排除（1）（2）；分别简单证明得到（3）（4）正确；得到答案.
【详解】
（1）取得到，错误；
（2）取得到，错误；
（3）则，故，正确；
（4），正确；
故答案为（3）（4）
【点睛】
本题考查了命题真假判断，意在考查学生的推断能力，取特殊值排除可以简化运算，是解题的关键.
15．（，1）
【解析】
【分析】
由题意x2+2xy+4y2＝1，可得4y2＜1，即有0＜y，又x2+2xy+y2＝1﹣3y2，即（x+y）2＜1，解关于x+y的不等式可得.
【详解】
∵正数x，y满足x2+2xy+4y2＝1，
可得4y2＜1，即有0＜y，
∴x2+2xy+y2＝1﹣3y2，即（x+y）2＜1，
解得x+y＜1
故x+y的取值范围为（，1）
故答案为：（，1）
16．（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由函数是上的奇函数得出，可解出，再令，求出，利用奇函数的定义得出的表达式，从而得出函数在上的解析式；
（2）由题意得出，令，可得出，再分、、三种情况讨论，分析该二次函数在区间上的单调性，得出该二次函数的最小值为，求出的值；
（3）先求出，任取且，利用作差法证明出，由此得出，，，，再利用同向不等式的可加性可得出所证不等式成立.
【详解】
（1）由于函数是上的奇函数，则，
那么，当时，.
当时，，，
.也适合.
因此，；
（2）当时，，
则，
令，则，
该二次函数图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，此时，，解得，合乎题意；
②当时，即当时，函数在上取得最小值，即，整理得，解得，
均不符合题意；
③当时，即当时，函数在区间上单调递减，
此时，，不合乎题意.
综上所述，当时，函数在区间上的最小值为；
（3）当时，.
当时，，则，
整理得，解得.
任取且，
，
且，，，所以，，
，，，，
上述不等式全部相加得.
【点睛】
本题考查奇函数解析式的求解、二次函数在定区间上的最值以及不等式的证明，在求解二次函数在定区间上的最值时，要对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
17．(1) ;(2) 的取值范围.
【解析】
【详解】
（1）∵|x-a|≤3 ，∴a-3≤x≤a+3，
∵f（x）≤3的解集为[-1,5] ，∴，∴a=2．
（2）∵f（x）+f（x+5）=|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5
又f（x）+f（x+5）≥m恒成立 ,∴m≤5．
18．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用作差法可比较；
（2）利用基本不等式可证明.
【详解】
（1）
，
；
（2）
，当且仅当等号成立，
，即.
19．证明见解析
【解析】
由不等式的性质运算即可得证.
【详解】
证明：因为，所以.
又，所以.
因为，
所以，
即.
【点睛】
本题考查了不等式的性质，重点考查了运算能力，属基础题.
20．（1）既不是的充分条件，也不是必要条件；（2）为的充分不必要条件．
【解析】
【分析】
（1）本题可根据、可能一正一负以及、可能都是负数得出既不是的充分条件、也不是必要条件；
（2）本题可根据可能等于以及真子集的性质得出为的充分不必要条件.
【详解】
（1）因为满足“、，”的、可能一正一负，
所以条件不能得出结论，
因为满足“”的、可能都是负数，
所以结论不能得出条件，
故既不是的充分条件，也不是必要条件.
（2）因为可以得出，
所以条件能得出结论，
因为当时，可能等于，所以结论不能得出条件，
故为的充分不必要条件.
21．证明见解析
【解析】
【分析】
充要条件的证明，要考虑两部分的证明，先证充分性，再证必要性.
【详解】
证明：充分性：即
，
又，为实数，，，即
不等式两边同时乘以，得
即
必要性：即
，
即
又，为实数，，即
由不等式性质得
所以是的充要条件.
22．（1）（2）（3）（T恤x件，运动鞋y双）
【解析】
【分析】
根据题意，写出具体表达式即可，（1）中非负的意思是大于等于零，不大于6的意思是小于等于6.（2）中根据：利润=售价-进价-其他开支，列出关系式（3）中设T恤x件，运动鞋y双，再列出关系式
【详解】
（1）
（2）.
（3）设进T恤x件，运动鞋y双，
则有
【点睛】
注意用不等式表示不等关系，可以把实际问题转化为数学问题，但要注意结论与生活实际相符．
23．见解析
【解析】
【分析】
先计算原草地的面积和整改后的草地面积，即得草地面积增加了. 设减少x m，宽增加x m后，计算出新草地的面积，再比较和原草地面积的大小，即得x取什么值时，草地面积减少,
x取什么值时，草地面积增加.
【详解】
原草地面积S1＝11×15＝165(m2)，
整改后草地面积为：S＝14×12＝168(m2)，
∵S>S1，∴整改后草地面积增加了．
研究：长减少x m，宽增加x m后，草地面积为：
S2＝(11＋x)(15－x)，
∵S1－S2＝165－(11＋x)(15－x)＝x2－4x，
∴当0当x＝4时，x2－4x＝0，∴S1＝S2.
当x>4时，x2－4x>0，∴S1>S2.
综上所述，当0当x＝4时，草地面积不变，
当x>4时，草地面积减少．
【点睛】
本题主要考查实数大小的比较，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用作差法可求两者的大小关系.
（1）利用（1）的结果可证明不等式成立.
【详解】
证明：（1）∵
∴；
（2）
由（1）得，故，
而，所以.
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用分析法和不等式的性质进行证明;(2)利用反证法进行证明即可.
【详解】
（1）证明：要证
即证，
只要，
即证，
即证，
只要证，
而上式显然成立.
所以成立.
（2）假设且，
由得，
由得，
这与矛盾，所以假设错误.
所以 中至少有一个不小于0.
【点睛】
关键点睛：（1）解题关键在于把证明条件进行转化，即要证
即证，进而利用不等式性质进行求解；（2）利用反证法得出由得，由得，，进而得到与矛盾，进而题目得证
26．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求得不等式的解集，得到，再利用作差比较法，即可求解；
（2）由，把不等式转化为成立，分类讨论，即可求解.
【详解】
（1）由不等式，可得，解得，即，
又由，
因为，，所以，，，
因此，即，所以．
（2）由，当且仅当时取等号，
不等式恒成立，即成立，
因为，得成立，
当时，；
当时，；
当时，．
综上所述：实数的取值范围为．
27．
【解析】
【分析】
先求出的取值范围，结合即可求解.
【详解】
，，
两式相加得，
又，
，
．
28．乙先到达B地,详见解析
【解析】
【分析】
设总路程为2s，利用速度、时间、路程基本关系，结合题意进行求解
【详解】
设全程为2s，则甲走完全程所需时间为，设乙走完全程所需时间为2t.由，得
所以乙先到达
【点睛】
正确把握速度时间路程关系是解决此题的关键，作差法是比大小常用基本方法
29．，，，证明见解析.
【解析】
【分析】
克盐水中有克盐，若再添克盐，浓度发生了变化，只要分别计算出添盐前后的浓度进行比较即得，然后利用作差法比较大小即可.
【详解】
克盐水中有克盐，盐水的浓度为，
若再添克盐，则盐水的浓度为，
又因为盐水变咸了，说明浓度变大了，，，，，.
下面利用综合法证明，
，
，，，因此，，不等式得证.
【点睛】
本题主要考查不等式、不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，建模能力，同时也考查了化归与转化思想的应用，属于中等题.
30．（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先比较不等式两边两数平方的大小，进而可得结论.
（2）首先设，，得到，，从而得到，再求的取值范围即可.
【详解】
（1）因为，，
，，
所以，即证：.
（2）设，，则，.
所以，
所以，
因为，，
所以，，即
31．证明见解析
【解析】
【分析】
先对与作差证明,同理证明,,再求和即可得证
【详解】
证明:,
因为,所以,,
所以,即,
同理,,,
所以,
即
【点睛】
本题考查作差法证明不等式,考查推理论证能力
32．答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
作差得到，分别讨论，两种情况，即可得出结果.
【详解】
，
当时，，，则，即；
当时，，，则，即．
综上可得时，；时，．
【点睛】
本题主要考查比较代数式的大小，熟记作差法比较大小，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.
33．答案见解析
【解析】
【分析】
选择：②，利用作差法证明.
【详解】
选择：②
下面证明：
作差法：，
当且仅当时，等号成立，
故成立．
34．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由等差数列的定义可得，数列是以为首项，为公差的数列，即可得解；
（Ⅱ）用累加法可得，再将作差与0比较，即可证得结果．
【详解】
（Ⅰ）由点（）在函数的图像上，，
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，所以，
即，，，，
由累加法可得，即
又
所以
【点睛】
方法点睛：本题考查利用累加法求数列的通项公式及比较大小，当数列中有，即第项与第项的差是个有规律的数列，就利用累加法，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于一般题.
35．（1）； （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）当时，，，然后代入，去绝对值后即可求出的取值范围；
（2），即解分式不等式，移项，通分，分别讨论、、三种情况，即可求得答案．
【详解】
（1）
，即
，且，
故：且
解得且
故解得原不等式的解集为；
（2）
可得
即
整理可得：
且，
（ⅰ）当，即时，
可得且，
解得
（ⅱ）当，即时，
可得，即
（ⅲ）当，即时，
可得且，
①当时，，
解出：或；
②当时，
可得且；
解得：
③当时，，
解出或；
综上：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或.
【点睛】
本题主要考查了求解绝对值不等式和含参数的分数不等式，解题关键是掌握带绝对值不等式的解法和讨论法求解含参数不等式的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
36．当去的老师人数为5时，两车队收费相同；当去的老师人数多于5时，选甲车队更优惠；当去的老师人数少于5时，选乙车队更优惠.
【解析】
【分析】
设该学校组织去学习的老师有人（），全票价为元，坐甲车队的车需花元，坐乙车队的车需花元，根据两个车队的政策,分别求出坐甲车所需费用元和坐乙车所需费用元,再对和作差，并且判断作差的结果的符号,可得出结论.
【详解】
设该学校组织去学习的老师有人（），全票价为元，坐甲车队的车需花元，坐乙车队的车需花元，
则，，
所以.
当时，；
当时，；
当时，.
所以当去的老师人数为5时，两车队收费相同；当去的老师人数多于5时，选甲车队更优惠；当去的老师人数少于5时，选乙车队更优惠.
故得解.
【点睛】
本题主要考查运用不等式知识中的比较大小解决实际生活中的确定方案的问题，属于中档题．关键在于将生活实际中的量转化为数学的符号或相关的式子，运用数学方法解决问题．
37．证明见解析，当时，等号成立
【解析】
先将作差可得，再结合求解即可.
【详解】
证明：因为.
因为，当且仅当时，等号成立.
所以，
所以，当且仅当时，等号成立.
【点睛】
本题考查了利用作差法证明不等式，重点考查了运算能力，属基础题.
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