人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第三章3.1函数的概念及其表示与性质3.1.1函数的概念word版含答案

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第三章3.1函数的概念及其表示与性质3.1.1函数的概念
一、单选题
1．已知函数，对任意在区间存在两个实数，使 成立，则的取值范围是
A． B．
C． D．
2．若集合,则
A． B． C． D．
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设集合，，函数的定义域为，值域为，则函数的图象可以是 ( 　)
A． B．
C． D．
5．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．已知函数是上的偶函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是
A． B． C． D．
7．已知函数的值域为，求a的取值范围为
A． B． C． D．
8．函数的值域为（ ）
A． B．(-∞,2)∪(2,+∞)
C．R D．
9．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为
（1），（2），；（3），；（4），；（5），；．
A．（1），（2） B．（2） C．（3），（4） D．（3），（5）
10．设，，能表示集合到集合的函数关系的是
A． B．
C． D．
11．已知的定义域为，且函数，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
12．已知是定义在上的奇函数，若，，则的值为
A．-3 B．0 C．3 D．6
13．下列各图中，不可能表示函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
14．函数且的值域是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数，若对任意的到对以，，，均可作为同一个三角形的三边长，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知，若在上任取三个数，均存在以，，为三边的三角形，则的取值范围为
A． B．
C． D．
17．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
18．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
19．下列各组函数中，两个函数相同的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
20．函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
21．已知函数f（x）＝，则f（﹣1）＝（　　）
A．log25 B．log26 C．3 D．2+log23
22．下列各式中是函数的是
A．y=x–（x–3） B．
C．y2=x D．y=±x
23．已知函数，若，则实数
A．0 B．2 C． D．0或2
24．2021年4月第十九届上海国际汽车工业展览会在上海国家会展中心举办，很多外国车企都积极参与会展，下列进口车的车标经过旋转后可以看作函数图像的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
25．函数的定义域是__________.
26．若函数的定义域为，则函数的定义域为______.
27．已知函数的定义域为，则的定义域为__________.
28．关于函数，下列命题中所有正确结论的序号是______．
①其图象关于轴对称； ②当时，是增函数；当时，是减函数；
③的最小值是； ④在区间上是增函数；
29．设函数和函数，若对任意都有使得，则实数a的取值范围为______．
30．已知y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则函数y=f(x)的定义域为_______，y=f(2x)+的定义域为_______.
31．已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________
32．已知函数f(x)满足对任意的x∈R，都有f(＋x)＋f(－x)＝2，则f()＋f()＋…＋f()＝________.
33．对于函数，其中，若的定义域与值域相同，则实数的值为_____.
34．函数的定义域为_______________.
三、解答题
35．已知．
（1）求，（a）（3）的值；
（2）若，，求的值域．
36．已知集合．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
37．已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求f（），f（），f（），f（）的值；
（Ⅱ）当实数a≠时，猜想f（a）+f（1-a）的值，并证明．
38．设函数对一切实数m，n都有成立，且，，圆C的方程是.
（1）求实数c的值和的解析式；
（2）若直线（，）被圆C截得的弦长为6，求的最小值.
39．集合与对应关系如图所示：是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？
40．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式来描述.
41．设
（Ⅰ）若，且满足，求的取值范围；
（Ⅱ）若，是否存在使得在区间[，3]上是增函数？如果存在，说明可以取哪些值；如果不存在，请说明理由.
（Ⅲ）定义在上的一个函数，用分法:将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得不等式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数．试判断函数＝是否为在[，3]上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由．
42．已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
（1）求的函数解析式，并用分段函数的形式给出；
（2）作出函数的简图；
（3）写出函数的单调区间及最值．
43．已知函数的定义域是，求的定义域.
44．已知，.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求在上的最大值和最小值.
45．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°．（无水状态不考虑）
（1）试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数；
（2）确定函数的定义域和值域；
（3）画出函数的图象．
46．已知函数.
(1) 如果，求函数的值域；
(2) 求函数＝的最大值；
(3) 如果对不等式中的任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
47．已知函数为奇函数.
（1）求实数a的值：
（2）求证：在上为增函数；
（3）求的值域.
48．衡水中学实行寄宿制，为了方便同学们的日常生活，设立了洗衣服务处，专为同学们提供洗床单、被罩等大件衣物的服务，规定洗一次床单、被罩(不超过2件)付费2元，若每洗5次，则给予一次免费的机会.
(1)试填写下表：
(2)洗衣次数和洗衣费用谁是谁的函数？说说你的看法.
49．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么你认为y是n的函数吗？如果是，请写出函数的定义域、值域与对应关系；如果不是，请说明理由．
50．已知函数.
（1）求的定义域；
（2）当时，解方程；
（3）当时，求使的的取值范围.
51．试判断下列各组函数是否表示同一个函数．
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4），与，.
52．判断下列对应是否为从A到B的函数.
（1），，对任意的，；
（2），，对任意的，；
（3），对任意的，；
（4）A为正实数集，，对任意的，的算术平方根.
53．判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：
（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数和二次函数；
（2）和.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【分析】
根据二次函数图像特点，问题可转化为在区间上函数的最大值与最小值之差不小于1恒成立，利用二次函数图象分类讨论即可求解.
【详解】
存在两个实数，，使，
当时，，显然符合；
当时，与的图象完全“全等”，
即可以通过平移完全重合.
因为且，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象，
使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于1，
因此取纵坐标之差最小的状态为，
当时，此时，故；
当时，此时，故，
综上的取值范围是
故选：D
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质,存在性问题，用了分类讨论思想，中档题.
2．A
【详解】
试题分析：，，则，故选A.
考点：集合的运算
3．A
【分析】
先化简两集合，再由交集的概念，即可得出结果.
【详解】
因为，，
所以.
故选：A.
4．B
【解析】
【分析】
可用排除法，根据函数定义域、值域以及函数概念进行逐一验证可得答案．
【详解】
M={x|（x+1）（x﹣3）≤0}=[﹣1，3]，N={y|y（y﹣3）≤0}=[0，3]
A项定义域为[﹣1，0]，
D项值域是[0，2]，
C项对任一x都有两个y与之对应，都不符．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．
5．B
【解析】
【分析】
采用逐一验证法，根据比较两个函数的定义域，对应关系，值域，可得结果.
【详解】
A错.，故，对应关系不同；
B正确，定义域与对应法则都相同；
C错，的定义域为定义域为
D错，定义域为，定义域为
故选：B
【点睛】
本题主要考查相同函数的判断，属基础题.
6．D
【详解】
解：∵y=f（x）是R上的偶函数，且在【0，+∞）是减函数
∴y=f（x）在（-∞，0]上是增函数∵f（a）f（-2）=f(2)，
∴|a|<2∴-2a2故选D
7．A
【分析】
对进行讨论，然后将值域为，转换为 值域包含，计算得到答案.
【详解】
当时，的值域为，符合题意；
当时，要使的值域为，则使 .
综上，.
故答案选A
【点睛】
本题考查了函数的值域问题，意在考查学生的计算能力.
8．B
【分析】
应用分离常量法，将函数式化为，即可求值域.
【详解】
由，知：，，
∴函数的值域为，
故选：B
【点睛】
本题考查了求具体函数的值域，应用分离常量法求函数值域，属于简单题.
9．B
【详解】
（4）函数的定义域是，而的定义域是R，故不是同一函数，
同理（1），（3），（5）中的两个函数的定义域皆不相同，故都不是同一函数，
(2），而，故是同一函数，
故选B
10．D
【分析】
结合函数的定义，进行判定，即可求解，得到答案.
【详解】
对于A中，一个自变量有两个与其对应，不满足函数的定义，所以不正确；
对于B中，函数对应的值域为，不满足条件，所以不正确；
对于C中，当时，有两个与其对应，不满足函数的定义，所以不正确；
对于D中，每个自变量都满足函数的定义，所以能表示集合到集合的函数关系，
故选D.
【点睛】
本题主要考查了函数的概念与判定，其中解答中熟记函数的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
11．C
【分析】
由复合函数的定义域和分式型，二次根式型的定义域建立不等式组，可得选项．
【详解】
，则，即定义域为，
故选：C．
12．A
【分析】
根据函数为奇函数，结合题中条件，求出函数的周期，即可求出结果.
【详解】
∵为奇函数，∴.
又，所以，因此，
∴函数是周期为4的周期函数，
所以.
又，，
因此.
故选A.
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，灵活运用函数奇偶性与周期性即可，属于常考题型.
13．B
【分析】
函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，根据定义进行判定即可．
【详解】
函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系．
选项B，对于的值，有两个输出值与之对应，故不是函数图象．
故选：B．
14．D
【分析】
根据函数性质及其定义域即可判断值域.
【详解】
解：且，或.
，
故函数的值域为．
故选：D.
15．A
【分析】
由题意转化条件为，分离得，按照、、分类，结合基本不等式求得的取值范围即可得解.
【详解】
对任意的，，，均可作为同一个三角形的三边长，
所以，
因为，
由基本不等式可得，
当且仅当即时，等号成立，
当时，即，
由得；
当，，显然成立；
当时，则，
由，得；
综上所述，．
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数值域的求解及基本不等式的应用，考查了转化化归思想、分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题.
16．C
【详解】
试题分析：的对称轴为，在上，由于恒成立，即有处取得最小值，由于，即有处取得最大值，且为，不妨设，，由以，，为三边的三角形，由构成三角形的条件可得，解得．故选C．
考点：函数与方程的综合．
【思路点晴】此题考查了二次函数在闭区间上的最值，以及三角形三边的关系，求出二次函数在闭区间的最大值和最小值，利用最值根据三角形的边关系列出关于的方程是解本题的关键．先把二次函数解析式配方，然后根据自变量的范围，求出的最大值和最小值，根据三角形的两边之和大于第三边，由最小值的倍大于最大值，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
17．B
【分析】
先由函数的定义域为，求出的定义域，再与，求交集可得答案.
【详解】
解：因为函数的定义域为，
所以中，即，
又，得，
故选：B
【点睛】
此题考查求抽象函数的定义域，属于基础题.
18．C
【分析】
由二次根式的被开方数非负，解不等式组即可
【详解】
解：要使函数有意义，只要满足
，解得，
所以函数的定义域为，
故选：C
19．C
【分析】
逐一判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否一样即可.
【详解】
选项A，的定义域是，的定义域是，故不相同；
选项B，，故不相同；
选项C，、的定义域是，，故相同
选项D，的定义域是，的定义域是，故不相同
故选：C
20．D
【分析】
当得到，根据解得答案.
【详解】
函数的定义域为，即，故，.
，解得.
故选：D.
21．A
【分析】
根据分段函数解析式代入计算即可.
【详解】
根据题意,函数f（x）＝,则f（﹣1）＝f（2）＝f（5）＝log25；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了分段函数的计算,属于基础题型.
22．A
【解析】
【分析】
根据函数的定义：一个x只能对应的y,反之一个y可以跟多个x对应，以及根据函数的定义域值域不能为空集，判断各个选项.
【详解】
y=x–（x–3）=3，符合函数的定义，是常函数；B，满足解析式的x的范围是空集，不符合函数定义；C，当x>0时，任意一个x对应两个y，不符合函数定义；D，x≠0时，任意一个x都对应两个y，不符合函数的定义．
故选A．
【点睛】
这个题目考查了函数的定义，一般判断是否为函数关系，首先看函数的定义域和值域是否为空，函数的定义域和值域不能为空，其次看是否满足一个x只能对应一个y,反之一个y可以跟多个x对应.
23．D
【详解】
试题分析：，解得0或2．
考点：分段函数．
24．D
【分析】
根据函数的定义即可判断；
【详解】
解：对于，，车标，无论怎么旋转，都会存在一个的值有多个值与之对应的情况；，，车标经过旋转后不可以看成函数图象；
对于D：以顶点为坐标原点，轴为角平分线时，满足任意的的值都有且仅有唯一的值与之对应，满足题意；
故选：D．
25．
【分析】
由被开方数非负，可求出函数的定义域
【详解】
由，得，，解得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
26．.
【分析】
由f（2x+1）的定义域得x的取值范围，求出2x+1的取值范围，即f（x）的定义域．
【详解】
，
，
的定义域为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查复合函数的定义域求法，根据函数定义域之间的关系求解即可，注意函数的定义域始终为自变量x的范围这一概念，属于基础题.
27．
【分析】
根据复合函数的定义域，即可得到的定义域.
【详解】
∵函数的定义域为，
∴，∴，
∴的定义域为.
故答案为：
28．①③④
【分析】
对于①先求函数的定义域，然后通过判断与的关系，可以确定其为偶函数，①正确；对于②③④，先通过定义法求单调性，求出的单调区间，进而利用复合函数单调性求出的单调区间，即可求出的最小值，可以确定②错误，③④正确．
【详解】
函数，定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故①正确；
令，
函数在上单调递减，证明如下：
任取，，且，
则，
因为，，所以，
而，，
所以，
故函数在上单调递减．
同理可以证明函数在上单调递增，
又因为在单调递增，
利用复合函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增．
由于函数是偶函数，可知在上单调递增，在上单调递减．
的最小值为.
所以②错误，③④正确．
综上正确的结论是①③④.
【点睛】
本题考查了对数函数的性质，复合函数的单调性，及函数的奇偶性和最值，属于中档题．
29．
【分析】
先根据的单调性求出的值域A，分类讨论求得的值域B，再将条件转化为A，进行判断求解即可．
【详解】
是上的递减函数，
∴的值域为，令A=，
令的值域为B，
因为对任意都有使得，则有A，
而，当a=0时，不满足A；
当a>0时，，∴解得；
当a<0时，，∴不满足条件A,
综上得.
故答案为.
【点睛】
本题考查了函数的值域及单调性的应用，关键是将条件转化为两个函数值域的关系，运用了分类讨论的数学思想，属于中档题．
30．[-1，4]
【分析】
根据抽象函数的定义域求解方法即可求得结果．
【详解】
因为y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，
所以-2≤x≤3，则-1≤x+1≤4，即函数f(x)的定义域为[-1，4].
由得
得-即函数y=f(2x)+的定义域为．
故答案为：[-1，4]；．
31．
【分析】
先由题意求出函数的定义域为，再由求解，即可得出结果.
【详解】
因为函数的定义域为，所以；即函数的定义域为；
由，解得，
因此的定义域为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查求抽象函数定义域，熟记抽象函数定义域的求法即可，属于常考题型.
32．7
【分析】
由已知求得，然后配对求和．
【详解】
令x＝0，则f()＋f()＝2，∴f()＝1.
∵f(＋x)＋f(－x)＝2，∴f()＋f()＝f(－)＋f(＋)＝2，f()＋f()＝f(－)＋f(＋)＝2，f()＋f()＝f(－)＋f(＋)＝2，
∴f()＋f()＋…＋f()＝f()＋f()＋f()＋f()＋f()＋f()＋f()＝2×3＋1＝7.
故答案为：7．
【点睛】
本题考查求函数值，解题方法是配对求和，即f(＋x)＋f(－x)＝2．
33．
【分析】
根据函数的定义域与值域相同，可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，比较二区间的端点得出参数满足的方程，解方程求参数即可．
【详解】
的定义域为，
由于此时，故函数的值域．
由题意，有，由于，所以．
故答案为：
34．
【详解】
试题分析：函数的定义域为所以
考点：函数定义域的求法．
35．（1）；；（2），．
【分析】
（1）直接将 代入函数解析式即可得到答案.
(2) 由，根据二次函数的性质可得答案.
【详解】
（1）因为．
所以．
．
（2）因为，
又因为，，
所以，所以，
得．
所以当，时，的值域是，．
36．（1）；（2）．
【详解】
试题分析：（1）首先解得，，当时，则，借助数轴求的取值范围；（2）首先考虑时的取值范围，则若时取补集即可.
试题解析：由题意得，，所以，解得，所以，由，得，所以集合．
若，则，所以，解得．
当，则或，即或，所以若，则的取值范围
考点：1、分式不等式和二次不等式解法；2、集合运算.
37．（Ⅰ）f（）=-6，f（）=9，f（）=-，f（）=（Ⅱ）3
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由函数f（x）=，能求出f（），f（），f（），f（）的值．
（Ⅱ）当a时，f（a）+f（1-a）=+==3．
【详解】
解：（Ⅰ）∵函数f（x）=．
∴f（）==-6，
f（）==9，
f（）==-，
f（）==．
（Ⅱ）当a时，f（a）+f（1-a）=3．
证明：当a时，
f（a）+f（1-a）=+===3．
∴当a时，f（a）+f（1-a）=3．
【点睛】
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
38．（1）；；（2）9.
【分析】
（1）令，代入等式中可求得.再令代入得的解析式；
（2）由已知求得直线过圆心，有.由均值不等式得，可求和的最小值.
【详解】
（1）令，代入等式中可得，，即.
再令得，，，
所以.
（2）因为直线被圆截得的弦长为6，所以直线过圆心，有.
于是由均值不等式得，，当且仅当，即，时等号成立.
故的最小值是9.
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
39．见解析.
【分析】
根据题目所示图可以看出A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应，所以是函数，定义域是，值域.
【详解】
由图知，A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应，
所以是从A到B的函数.
定义域是，值域.
【点睛】
本题考查函数的定义，意在考查学生对于基础概念的理解，属于基础题.
40．见解析.
【分析】
根据变量关系的解析式，可设x为正方形面积，y为正方形的边长，写出定义域值域即可.
【详解】
设面积为x的正方形的边长为y，则，
定义域为，值域为.
【点睛】
本题考查函数解析式的应用，通过解析式来构建问题情境，考查逆向思维和对函数概念的灵活运用，属于基础题.
41．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）函数为[，3]上的有界变差函数，的最小值为2
【解析】
试题分析：（Ⅰ）若f（x）＞1，则即，解得答案；（Ⅱ）分类讨论使在区间上是增函数的a值，综合讨论结果可得答案；（Ⅲ）根据函数＝为上的有界变差函数，结合（Ⅱ）中结论，可得答案
试题解析：（Ⅰ）
解得
（Ⅱ）当时，
当时，，无解
综上所述
（Ⅲ）函数＝为[，3]上的有界变差函数．
（Ⅱ）知当时函数为[，3]上的单调递增函数，
且对任意划分:，
有,
所以
,
所以存在常数,使得恒成立，
所以的最小值为2．
考点：对数函数的图象与性质
42．（1）；
（2）如图
（3）单调增区间为和，单调减区间为和，当或时，有最小值-2.
【解析】
试题分析：此题是由函数的一半解析式求另外一半解析式，常常利用函数的奇偶性联系到一块，解题时要注意一开始x所设的范围应该是所求的那段解析式的x的范围，“立场”不要弄错．然后-x即成了已知条件中的范围，代入可得f(-x)的解析式，再利用奇偶性即可得所求范围内的解析式．从形式上讲任然是分段函数问题的考查．分段函数画图及单调性的求解仍然是运用“分段函数分段处理”的思想．
试题解析：
（1）当时，，
是偶函数
（如果通过图象直接给对解析式得2分）
（2）函数的简图：
（3）单调增区间为和
单调减区间为和
当或时，有最小值-2
考点：函数的解析式、奇偶性、单调性及最值、图象、分段函数．
43．.
【分析】
利用给出的函数f（x）的定义域，由分别在函数f（x）的定义域内联立不等式组求解x的取值集合即可得到答案．
【详解】
的定义域是，且，
则
即.的定义域为.
【点睛】
本题考查复合函数的定义域求法，根据函数定义域之间的关系求解即可，注意函数的定义域始终为自变量x的范围这一概念，属于基础题.
44．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）最大值为，最小值为.
【分析】
（1）利用定义法作差进行因式分解，讨论函数的单调性；
（2）根据（1）讨论的单调性得出函数的最值.
【详解】
解析（1）任取，，且，
则.
，，，，
当时，，即，在上是减函数；
当时，，即，在上是增函数.
（2）当时，，由（1）知在上是减函数，
故的最大值为，最小值为.
【点睛】
此题考查利用定义法讨论函数的单调性，关键在于作差之后的因式分解确定符合，需要分类讨论，根据单调性求闭区间的最值.
45．
（1）()
（2）定义域为，值域为
（3）作图见解析
【分析】
(1)根据给定条件利用梯形的面积公式列式化简即得.
(2)由水深h的范围即可求出的值域.
(3)结合二次函数图象特征即可作出函数的图象.
（1）
依题意，水深(m)的灌溉渠的横断面是等腰梯形，其下底为2m，上底为(2+2h)m，高hm，
于是得水的面积为(m2)，
所以，()．
（2）
由(1)知，函数的定义域是，
显然在上A(h)随h增大而增大，，，
所以函数的定义域为，值域为．
（3）
由(2)知，是二次函数，其图象对称轴，顶点为，而，
于是得函数()的图象是抛物线的一部分，如图所示.
46．(1) ； (2) 最大值为1. (3)
【分析】
(1)令，则可利用二次函数的性质求函数的值域，注意换元后的范围.
(2)去掉绝对值符号后可得，分别求出各自范围上函数值的取值范围可得的最大值．
(3)原不等式等价于在上恒成立，换元后利用参变分离可求的取值范围．
【详解】
解：令，
(1) .
因为，所以 ，所以 的值域为．
(2) ，
当时，；当时，，
所以
即
当时，的最大值为1；当时，.
综上，当时，取到最大值为1.
(3) 由，得.
因为，所以，
所以 对一切恒成立．
① 当时，；
②时，恒成立，即.
因为 ，当且仅当，即时取等号．
所以的最小值为.
综上，.
【点睛】
函数值域的求法，大致有两类基本的方法：（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等；（2）利用换元法，把复杂函数的值域问题转化为常见函数的值域问题. 含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求.
47．（1）；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）由题得定义域为，，即可解得，再检验验证满足条件即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）由（1）得，再利用判别式法求函数值域即可得答案.
【详解】
解：（1）由于，所以函数的定义域为，
因为函数为奇函数，
所以，即，此时.
检验得，满足奇函数性质.
故实数a的值.
（2）设，且，
则
因为，且，
所以，，，，
所以，
所以，即在上为增函数.
（3）由（1）知函数，
所以关于的方程有解，
当时，显然，满足，
当时，，解得且.
综上，关于的方程有解，则.
所以函数的值域为.
【点睛】
本题考查函数奇偶性求参数值，函数单调性的证明，判别式法求函数值域，考查运算能力，是中档题.
48．（1）2，6，10，12，16；（2）见解析.
【解析】
试题分析：(1)根据题意，计算出洗衣次数时相应的函数值，即可得出相应的费用；
(2)根据函数的定义，得出洗衣费用是洗衣次数的函数.
试题解析：
(1)费用一行依次填：2，6，10，12，16.
(2)洗衣费用是洗衣次数的函数.因为对于次数集合中的每一个元素，在费用集合中都有唯一的元素和它对应，但对于费用集合中的每一个元素，在次数集合中并不都是只有唯一的一个元素和它对应，如10元就对应两个次数：5次和6次.
点睛：本题考查了函数的表示及函数的定义问题，其中解答中正确理解题意，根据函数与映射的定义，根据函数的定义可判定构成洗衣费用关于洗衣次数的函数，正确理解函数的定义是解答此类问题的关键，试题比较基础，属于基础题.
49．答案见解析.
【分析】
根据函数的定义即可求解.
【详解】
根据函数的定义可知，每一个圆周率小数点后第n位上的数字是唯一的y，即n对应唯一的y，故y是n的函数.
定义域为，值域为，
对应关系：数位n对应数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
50．（1）； （2）； （3）
【分析】
（1）的定义域满足解得答案.
（2）化简得到，解得答案.
（3）利用函数单调性得到，解得答案.
【详解】
（1），满足
故函数的定义域为
（2）当时，
即，解得或（舍去），故解集为
（3）当时，
即，解得： 故
【点睛】
本题考查了对数函数的定义域，对数方程.对数不等式，意在考查学生的计算能力.
51．（1）不是；（2）不是；（3）是；（4）不是.
【分析】
（1）求两个函数的定义域即可求解；
（2）根据两个函数的对应关系即可求解；
（3）求两个函数的定义域和对应关系即可求解；
（4）根据两个函数的对应关系即可求解；
【详解】
（1）函数，定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以它们不是同一个函数；
（2）因为，，对应关系不同，所以它们不是同一个函数．
（3）因为定义域为，，两个函数的对应关系、定义域均相同，所以它们是同一个函数；
（4）因为，，，，两个函数的对应关系不同，所以它们不是同一个函数．
52．（2）（4）.
【分析】
直接根据函数的定义判断即可.
【详解】
（1）集合A中的数5所对应的数为10，但集合B中没有10，所以不是A到B的函数；
（2）集合，集合A中的数1，2，3，4对应的数为3，5，7，9，都属于集合B，所以是A到B的函数；
（3）集合A中的数取1时，对应的数应为0，不属于，所以不是A到B的函数；
（4）任何正实数的算术平方根都是实数，所以是A到B的函数.
综上，是A到B的函数的是（2），（4）.
53．（1）不相等，理由见解析；（2）不相等，理由见解析.
【分析】
分别判断函数定义域和对应法则是否相同，相同则为同一函数，不同则不是同一函数.
【详解】
（1）不相等，前者的定义域为，而后者的定义域为R.
（2）不相等，前者的定义域为R，而后者的定义域为.
【点睛】
本题考查判断两个函数是否为同一函数，两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数，如果定义域、值域、对应法则有一个不同，函数就不同，注意中，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页