人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第三章3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性word版含答案

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第三章3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性
一、单选题
1．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知定义在R上的函数满足 时，
A．1 B． C． D．
3．已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，若，则等于
A．2013 B．2 C．-2 D．2012
4．已知函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数f(x)＝2x－4sinx，x∈的图象大致是(　　)
A． B．
C． D．
6．已知函数，对任意的总有，且，则
A． B． C． D．
7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则成为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）．A．
B．
C．
D．
10．下列函数中，定义域为的单调递减函数是（ ）
A． B． C． D．
11．已知f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x，y都成立，则函数f（x）是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
12．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于（ ）
A． B．
C． D．1
13．已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
14．已知函数是定义在上的奇函数，且时，.给出下列命题:
①当时；
②函数有三个零点；
③的解集为；
④都有.其中正确的命题有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．设函数，若是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
16．若偶函数在上单调递增，，则满足（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，___________；不等式的解集是___________﹒
三、填空题
18．已知函数为偶函数，当时，，则__________．
19．已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为[-3，3]，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是 _____.
20．若是函数在上的最大值与最小值之和，则函数在上的单调增区间是______.
21．若函数满足：定义域，且，在称函数为“双对称函数”，已知函数为“双对称1函数”，且当时，记函数，则函数的最小值为___________
22．已知，则满足的的取值范围为_______．
23．定义在上的奇函数满足当时，为常数)，若，则的值为________．
24．偶函数在区间上的值域为__________.
25．已知函数，且，则______．
26．是上的奇函数且满足，若时，，则在上的解析式是______________．
27．已知函数是定义在上的奇函数，且．当时，，则实数a的值为_____．
四、解答题
28．设x，y∈R，求证：|x＋y|2＝|x|2＋|y|2成立的充要条件是xy=0.
29．求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数
30．已知函数， .
（1）证明：为偶函数；
（2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围；
（3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
31．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)画出函数的图像；
(3)根据图像写出的单调区间和值域.
32．已知函数，其中a为常数
若，写出函数的单调递增区间不需写过程；
判断函数的奇偶性，并给出理由；
若对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
33．研究函数的性质,并作出函数图像.
34．已知函数，讨论函数的奇偶性．
35．判断函数的奇偶性.
36．已知定义域为的两个函数,对于任意的满足:
且
（Ⅰ）求的值并分别写出一个和的解析式,使它们满足已知条件(不要求说明理由)
（Ⅱ）证明:是奇函数;
（Ⅲ）若,记
, 求证:
37．已知
（1）求的值；
（2）用定义证明函数是上的增函数；
（3）若，求实数a的取值范围.
38．设函数f(x)＝.
（1）求的值
（2）求f(x)的定义域；
（3）判断f(x)的奇偶性；
39．已知函数，求
（1）函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性.
40．已知函数，（，且）.
（1）当时，若，求x的取值范围；
（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由.
41．已知.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）利用定义证明是增函数；
（3）解不等式.
42．已知函数，，且.
（1）判断的奇偶性；
（2）讨论的单调性.
43．已知函数，
（1）若f (x)为偶函数，求实数a的值；
（2）若，当时求的值域．
44．是定义在上的函数．
(1)证明；函数在上是增函数；
(2)判断并证明函数在上的奇偶性；
(3)解不等式．
45．已知函数f（x）=ln（ex+1）+kx是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若关于x的不等式5ef（x） e≥2（log2） log2（2t）在x∈[-1，0]时有解，试求实数t的取值范围．
46．如图，函数的图象由曲线段OA和直线段AB构成.
（1）写出函数的一个解析式；
（2）提出一个能满足函数图象变化规律的实际问题.
47．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.
（1）若.
①求此函数图象的对称中心；
②求的值；
（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.
48．已知函数.
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)用单调性定义证明在区间上单调递增；
(3)写出在区间上的单调性.（直接写出结论即可）
49．已知函数，（，且）
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由.
50．判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
51．为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)写出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．
52．已知是定义域为的偶函数，且当时，.
（1）求的值；
（2）求的解析式，并写出的单调递增区间.
53．已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意、都有，且当时，，.
（1）判断的奇偶性与单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：.
54．已知函数（且），．
（1）判断函数的奇偶性并说明理由；
（2）当，时，求证：；
（3）若不等式对满足的任一个实数都成立，求实数a的取值范围．
试卷第页，共页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据时函数值的正负情况确定函数图象；
【详解】
解：的定义域为．又因为，且，所以为上的奇函数，即函数图象关于原点对称，故A，B排除．
当时的分子为负数，分母为正数，故．排除C项．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的图象与性质，考查识别图象的方法——排除法，属于基础题．
2．C
【解析】
【分析】
为奇函数且为周期函数，周期为，所以，，利用奇函数的性质和给定的解析式可求函数值的和.
【详解】
因为且定义域为，所以为奇函数，又，所以是周期函数且周期为，所以.又，因为，所以，所以，故选C.
【点睛】
一个周期函数具有奇偶性且给定范围上的解析式已知，那么不在给定范围上的自变量的函数值的计算应通过周期性和奇偶性转化到已知的范围上进行计算.
3．C
【解析】
【分析】
利用f（x+2）=﹣f（x）求出函数的周期，利用条件和函数的周期性求出f（2015）的值．
【详解】
∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）的周期是4，
∵f（1）=2，f（x+2）=﹣f（x），
∴f（2015）=f（4×503+3）=f（3）=﹣f（1）=﹣2．
故答案为：C
【点睛】
本题考查函数周期性的判断，以及利用函数的周期性求出函数值，考查了转化思想，属于基
础题．
4．A
【解析】
【分析】
判断函数的单调性与奇偶性，将不等式变形为，利用函数的单调性可得出合适的选项.
【详解】
函数的定义域为，，
所以，函数为奇函数，且，
任取、且，则，
，则，所以，，即，
所以，函数为上的增函数，
由可得，所以，，即.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
5．D
【解析】
【分析】
先验证函数是否满足奇偶性，由f（-x）=-2x-4sin（-x）=-（2x-4sinx）=-f（x），故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除AB，再由函数的特殊值确定答案．
【详解】
因为函数f(x)是奇函数，所以排除A、B.f′(x)＝2－4cosx，令f′(x)＝2－4cosx＝0，得x＝±，所以选D.
【点睛】
本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．
6．B
【解析】
【详解】
由题意，f（﹣x）+f（x）=0可知f（x）是奇函数，
∵，g（﹣1）=1，
即f（﹣1）=1+1=2
那么f（1）=﹣2．
故得f（1）=g（1）+1=﹣2，
∴g（1）=﹣3，
故选：B
7．C
【解析】
利用定义说明函数为奇函数，再把函数解析式变形，得到的范围，然后分类求解，即可得出结果．
【详解】
∵，，
∴为奇函数，
化，
∵，∴，则．
∴当时，，；
当时，，；
当时，.
∴函数的值域是．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查新定义函数的理解和运用，考查分离常数法求函数的值域，考查化归与转化的数学思想方法，解题关键是在解答时要先充分理解的含义.
8．C
【解析】
【分析】
结合已知条件，可以得到函数的周期性，再结合奇偶性可以将缩小到的区间内，从而求出函数值
【详解】
因为，所以，所以，所以是周期为4的函数，所以，因为是奇函数，所以，所以
故选：C
9．B
【解析】
首先判断函数为奇函数，且函数在上单调递增，进而将不等式化为恒成立，设，利用导数求出函数的最大值即可求解.
【详解】
的定义域为，
，
∴为奇函数，又在上单调递增，
∴，
∴，
又，则，，
∴恒成立，
设，
则，当时，
∴在内单调递减，的最大值为从负数无限接近于，
，∴，，
故选：B．
10．D
【解析】
【分析】
根据二次函数、反比例函数、含绝对值函数和一次函数的单调性和定义域进行判断每个选项的正误即可．
【详解】
解：A．在上先增后减，不是单调函数，∴该选项错误；
B．的定义域是，不是，∴该选项错误；
C．在上先减后增，不是单调函数，∴该选项错误；
D．的定义域为且单调递减，∴该选项正确．
故选D．
【点睛】
考查基本初等函数的单调性和定义域，是基础题．
11．A
【解析】
【分析】
首先求，再通过赋值，结合奇函数的定义，证明函数是奇函数.
【详解】
令x＝y＝0，所以f（0）＝f（0）＋f（0），
所以f（0）＝0.
又因为f（x－x）＝f（x）＋f（－x）＝0，
所以f（－x）＝－f（x），
所以f（x）是奇函数.
故选：A
12．D
【解析】
【分析】
由奇函数的性质知，在上有最大值，通过求导，只需找到在上的最大值即可.
【详解】
由已知及奇函数的性质可得，在上有最大值，
又，
当时，在区间上单调递增，不满足题意；
当时，且时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得.
故选：D
13．B
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的解析式分析当x≥0时，f（x）＞0的解集，结合函数的奇偶性可得f（x）＞0的解集，进而可得若f（x﹣1）＞0，必有x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，解可得x的取值范围，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，此时若f（x）＝x2﹣2x＞0，解可得x＞2；
又由函数f（x）为偶函数，则当x＜0时，f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣2}，
综合可得：f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞2}，
若f（x﹣1）＞0，必有x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，
解可得：x＜﹣1或x＞3，
即不等式f（x﹣1）＞0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）；
故选B．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性以及一元二次不等式的解法，注意结合函数的奇偶性进行分析．
14．D
【解析】
先求出时，，从而可判断①正确；再根据可求及的解，从而可判断②③正确，最后依据导数求出函数的值域后可判断④正确.
【详解】
因为函数是定义在上的奇函数，且时，.
所以当时，，故，故①正确.
所以，当时，即函数有三个零点，故②正确.
不等式等价于或，
解不等式组可以得或，所以解集为，故③正确.
当时，，，
当时，，所以在上为增函数；
当时，，所以在上为减函数；
所以当时的取值范围为，因为为上的奇函数，
故的值域为，故都有，故④正确.
综上，选D.
【点睛】
（1）对于奇函数或偶函数，如果知道其一侧的函数解析式，那么我们可以利用或来求其另一侧的函数的解析式，注意设所求的那一侧的函数的自变量为.
（2）对于偶函数 ，其单调性在两侧是相反的，并且，对于奇函数 ，其单调性在两侧是相同的．
15．A
【解析】
【分析】
计算出的值，根据函数为奇函数可得出的值，进而可求得的值.
【详解】
因为，则，
因为函数为奇函数，则，因此，.
故选：A.
16．B
【解析】
【详解】
，，,
函数在上递增，在上递减，，即，故选B.
【 方法点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的性质、函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
17． ； ﹒
【解析】
【分析】
(1)设x＜0，－x＞0，将－x代入x＞0时的解析式根据奇偶性即可得x＜0时的解析式；
(2)求f(x)在x＞0时的值域，即可判断f(x＋2)应该代入哪一段解析式求解﹒
【详解】
设，则，
∵是奇函数，∴﹒
当时，，
∴不等式，即当时，，解得﹒
故答案为：，﹒
18．2
【解析】
【详解】
∵当时，，∴，又∵为偶函数，∴，故答案为2.
19．{x|-2【解析】
【详解】
将不等式 转化为：f（x）g（x）＜0
如图所示：当x＞0时其解集为：（0，1）∪（2，3）
∵y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数
∴f（x）g（x）是奇函数
∴当x＜0时，f（x）g（x）＞0
∴其解集为：（ 2， 1）
综上：不等式 的解集是{x| 2＜x＜ 1或0＜x＜1或2＜x＜3}
故答案为：{x| 2＜x＜ 1或0＜x＜1或2＜x＜3}
20．
【解析】
【分析】
根据函数单调性求出其最大值与最小值，即可求出，代入，即可求出其对称轴，即可判断其单调性，即可写出答案．
【详解】
因为在上单调递减，在上单调递增，且
所以
所以，对称轴为
所以函数在上的单调递增
故填：
【点睛】
本题考查对勾函数在定区间上的最大值与最小值，一元二次函数在定区间上的单调性，解本题的关键在于准确求出的值，再根据对称轴与开口方向判断函数在定区间上的单调性，属于基础题．
21．
【解析】
由已知可得函数是周期为2的周期函数，求出一个周期的解析式，进而求出即可求解.
【详解】
因为函数的图象关于直线对称,所以函数的图象关于轴对称，即为偶函数,所以,则有成立,即函数是周期为2的周期函数.
所以当时,,
当,
当,
当,
当
,
当时,取最小值.
故答案为:-17.
【点睛】
本题考查函数的性质，注意利用周期求函数解析式，解题的关键要理解函数对称与周期关系，属于较难题.
22．
【解析】
【分析】
将f（x）写成分段函数形式，分析得f（x）为奇函数且在R上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.
【详解】
根据题意，f（x）＝x|x|＝，
则f（x）为奇函数且在R上为增函数，
则f（2x﹣1）+f（x）≥0 f（2x﹣1）≥﹣f（x） f（2x﹣1）≥f（﹣x） 2x﹣1≥﹣x，
解可得x≥，即x的取值范围为[，+∞）；
故答案为[，+∞）．
【点睛】
本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析f（x）的奇偶性与单调性．
23．4
【解析】
【分析】
根据定义在R上的奇函数f（0）=0，求出b值，利用f（2）=﹣1，求出a，再由f（﹣6）=﹣f（6）得到答案．
【详解】
∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（0）=1+b=0，
解得：b=﹣1，
∴当x≥0时，f（x）=log2（x+2）+（a﹣1）x﹣1，
∵f（2）=﹣1，
∴f（2）=2+2（a﹣1）﹣1=﹣1，
∴a=0
∴f（x）=log2（x+2）﹣x﹣1，
∴f（﹣6）=﹣f（6）=4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的定义和性质，是解答的关键．
24．
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数得到，再求值域得到答案.
【详解】
为偶函数，则得到
故在上的值域为
故答案为
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性和值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
25．1
【解析】
【分析】
由已知可得,从而可求,然后代入即可求解.
【详解】
解：,
,
,由,
则.
故答案为:1.
【点睛】
本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值,解题的关键是整体思想的应用.
26．
【解析】
【分析】
首先根据题意得到，再设，代入解析式即可.
【详解】
因为是上的奇函数且满足，
所以，即.
设，所以.
，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.
27．2
【解析】
【分析】
利用奇偶性与周期性得到，代入解析式可得a.
【详解】
函数是定义在上的奇函数，所以，，
又因为，所以，，
即，即，
所以，，解得：.
故答案为2.
【点睛】
本题考查了奇偶性与周期性的应用，当函数是定义在上的奇函数，且为周期函数，则半周期处的函数值必为0，运用此结论可以解决很多求值或找零点的问题.
28．见解析
【解析】
【分析】
证明充要条件关键是证明其互相推出性，要根据证明出，也要在下证明出．
【详解】
证明：充分性：若，则或，或且，
当时，，
当时，，
当且时，，
所以当，，
所以是的充分条件；
必要性：若，即，
所以，
所以是的必要条件，
所以|x＋y|2＝|x|2＋|y|2成立的充要条件是xy=0.
29．证明见解析
【解析】
【分析】
利用不等式的性质，由，证得，从而证得在上是减函数.
【详解】
依题意，，
设，则，，
，
而，由不等式的性质得，
所以，
即f(x1)>f(x2)，故函数f(x)在(1，+∞)上是减函数.
30．（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.
【解析】
（1）证明函数的奇偶性，用定义证明；
（2）根据函数的图象与直线没有公共点，用分离参数法；
（3）复合函数问题，用换元法，令，讨论即可.
【详解】
解：（1）证明：因为，又
，
即，
所以为偶函数.
（2）原题意等价于方程无解，
即方程无解.
令，
因为，
显然，
于是，即函数的值域是.
因此当时满足题意.
所以a的取值范围是.
（3）由题意，.
令，则.
则，.
①当时，，
，解得；
②当时，
，解得（舍去）；
③当时，
，解得（舍去）.
综上，存在，使得最小值为0.
【点睛】
方法点睛：
（1）对函数奇偶性的证明用定义：或；
（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.
31．(1)
(2)图像见解析
(3)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据偶函数的性质即可求出；
（2）根据解析式即可画出图像；
（3）根据图像可得出.
(1)
因为是定义在R上的偶函数，当时，，
则当时，，则，
所以；
(2)
画出函数图像如下：
(3)
根据函数图像可得，的单调递减区间为，单调递增区间为，函数的值域为.
32．（1）递增区间为：（2）为非奇非偶函数，详见解析（3）或
【解析】
【分析】
（1）利用，直接写出函数的递增区间．
（2）当时，判断函数的奇偶性，当时，通过特殊值，说明为非奇非偶函数；
（3）设，，，通过对于当时，当时，求解，对于，当时，当时，求解，推出，由，解得，得到实数a的取值范围即可．
【详解】
（1）由题意，当，函数，
可得函数的图象，如图所示，
结合图象，可函数的单调递增区间为.
（2）当时，函数，
则，所以函数为偶函数；
当时，可得，，
则，所以函数为非奇非偶函数；
（3）对任意实数x，不等式恒成立，只需使得恒成立，
设，，，
对于，
当时，；当时，
对于，
当时，，当时，
当时，，
所以，由，解得满足；
当时，，
由，解得或，不满足；
当时，，
所以，由，解得，满足题意．
所以实数a的取值范围是：或．
【点睛】
本题考查了函数与方程的应用，函数的奇偶性的判定，以及函数的最值的求法等知识的综合应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想的应用，属于中档试题．
33．见解析
【解析】
利用函数奇偶性的定义证明函数的奇偶性；利用函数的单调性定义证明函数的单调性，根据作图的步骤：列表、描点、连线即可作出在的图像，再利用函数为奇函数，图像关于原点对称，作出整个定义域内的图像，由图像总结出函数的定义域、值域、单调性、奇偶性即可.
【详解】
解:要使函数有意义，需有,因此函数的定义域为.
对任意,都有,而且,所以函数是奇函数,
函数的图像关于原点对称.下面研究上的性质及图像.
任取,且，
则，
当时，由，，，
所以，即
所以函数在上是增函数.
当时, 由，，，
所以，即
所以函数在上是减函数.
所以当时,函数,无最大值,
因此图像在右边部分一定在第一象限.
列表:
x 1 3 9
10 6 10
描点 连线.
又函数为奇函数,所以图像关于原点对称,即得函数的图像.
如图所示：
函数具有以下性质:
定义域.值域:或.
单调性:在上是增函数;在,上是减函数.
奇偶性:奇函数.
【点睛】
本题考查了奇偶性定义、单调性定义作图的步骤：列表、描点、连线，考查了对勾函数的图像与性质，需熟记对勾函数的性质，属于基础题.
34．答案见解析
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性的定义讨论即可.
【详解】
解：函数的定义域，关于原点对称．任取，．
①当，，则是偶函数；
②当，，则是奇函数；
③当，，，则是非奇非偶函数．
35．奇函数
【解析】
【分析】
直接利用函数奇偶性的定义得到答案.
【详解】
由题意得：得定义域为,关于原点对称;
故函数为奇函数
【点睛】
本题考查了函数的单调性，属于简单题型.
36．(Ⅰ)\; (Ⅱ) 是奇函数（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)令得 ,满足条件；(Ⅱ) 由已知可得，从而得，进而可得结果；（Ⅲ），可得，则，先分组求和，再裂项相消求和，利用放缩法可得结论.
【详解】
(Ⅰ)令得
满足条件.
(Ⅱ)
故是奇函数.
（Ⅲ）
又故
所以
故
=
【点睛】
本题主要考查等比数列的求和公式，函数的解析式、函数的奇偶性以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
37．（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
（1）利用解析式直接计算即可；
（2）任取，计算并化简判断正负，即可证明；
（3）可判断为奇函数，则不等式可化为，再利用单调性即可求解.
【详解】
（1），则；
（2）证明：设为区间上的任意两个值，且，
，
因为，所以，
即，
所以函数在上是增函数；
（3）因为关于原点对称，
则，
所以为奇函数，
所以由，得，
因为函数在上是增函数，
所以，即，
故.
【点睛】
关键点睛：本题考查函数不等式的求解，解题的关键是得出函数是奇函数，利用奇函数的性质将不等式化为，再利用单调性求解.
38．（1）（2）（3）偶函数
【解析】
【分析】
（1）将 带入f(x)＝即可；
（2）因为f(x)＝为分式，故定义域要求分母不等于0；
（3）先判断定义域是否关于原点对称，再利用与的关系判断奇偶性即可．
【详解】
（1）；
（2）由题意，中分母 ，即，故的定义域为；
（3）因为，故，故，
且由（2）可得，定义域，故为偶函数．
【点睛】
1.求解函数值时直接带自变量进函数表达式求解即可；2.分式的分母不能为0；
3.判断函数奇偶性要先求解定义域，若定义域关于原点对称，再算与的关系，若则为偶函数．
39．(1) 且；(2)奇函数
【解析】
【分析】
(1)解不等式即得函数的定义域；（2）利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
【详解】
（1）由题得得 且x，
所以函数的定义域为且.
（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称.
,
所以函数是奇函数.
【点睛】
本题主要考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
40．（1）（2）为奇函数；详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用真数大于0以及对数函数的单调性列不等式求解（2）利用奇偶性定义证明即可
【详解】
（1）时，，
若，即，
则.
（2）由题 ，关于原点对称
又，
，
∴为奇函数.
【点睛】
本题考查函数奇偶性的判断，考查对数函数性质，是基本知识的考查
41．（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）先求函数的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可；
（2）利用单调性的定义证明即可；
（3）由于函数是奇函数，所以将转化为，再由在上是增函数，可得，解不等式组可得答案
【详解】
（1）的定义域为，
又，所以，
故，，
所以是奇函数.
（2），
，且，则
，
又，所以，
故，
从而，即，
所以，
故在上是增函数.
（3）可化为，
因为是奇函数，所以，
故，
又因为为增函数，所以，
整理，得，解得，
所以原不等式的解集为.
42．（1）奇函数
（2）①当时，是减函数；②当时，是增函数
【解析】
【分析】
（1）利用奇函数的定义，即可判定，得到答案；
（2）利用函数单调性的定义，分类讨论，即可求解，得到答案.
【详解】
（1）由题意，函数的定义域关于原点对称，
又由，即，
所以函数是定义域上的奇函数.
（2）任取，且，
则，
因为且，所以，
所以当时，，即，函数单调递减，
当时，，即，函数单调递增，
即时，函数单调递减， 时，函数单调递增.
【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质的判定与证明，其中解答中熟记函数的单调性性和奇偶性的定义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
43．（1）；（2）在上的值域是.
【解析】
【分析】
（1）本题借助于偶函数定义，用f（﹣x）＝f（x）求的a的值；（2）运用对数式和指数式的运算求出a、b，最后根据二次函数开口向上，对称轴为x＝1，可知在[﹣1，2]上，．
【详解】
（1）由f（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），得（﹣x）2﹣ax+3b＝x2+ax+3b，可得a＝0．
（2）由a＝﹣log24＝﹣2，b，∴f（x）＝x2﹣2x+3，其对称轴是x1．
∴f（x）＝x2﹣2x+3在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴在[﹣1，2]上，．
∴f（x）在[﹣1，2]上的值域是[2，6]．
【点睛】
二次函数在给定区间上的最值问题，要看给定的区间在对称轴的左侧还是右侧，或是对称轴在给定的区间内，然后借助单调性分析取得最值的点．
44．(1)证明见解析
(2)函数在上为奇函数，证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用单调性的定义证明即可；
（2）利用奇偶性的定义证明即可；
（3）解不等式组即得解.
(1)
证明：设，
则，
又由，
则，，
则有，
故在上为增函数.
(2)
解：根据题意，函数为奇函数，
证明：函数的定义域为，关于原点对称，
且，即函数为奇函数；
(3)
解：
∵为上的增函数，
∴
∴
45．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由题意结合偶函数满足f（-x）=f（x）确定实数k的值即可；
(2)结合(1)中函数的解析式和函数的单调性得到关于实数t的不等式，求解不等式就可确定实数t的取值范围.
【详解】
（1）∵函数f（x）=ln（ex+1）+kx是偶函数，
∴f（-x）=f（x），即[ln（ex+1）+kx]-[ln（e-x+1）-kx]=0，
即ln=-2kx，化简得x=-2kx，解得：k=-；
（2）5ef（x） e≥2（log2） log2（2t），
等价于5（ex+1）≥2（log2） log2（2t），
∵5（ex+1）递增，∴5（ex+1）≤10，
故5≥（log2） log2（2t），
解得：-2≤log2t≤4，
故≤t≤16．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
46．（1）；（2）见解析
【解析】
（1）根据图象，要求写出函数的一个解析式；因此当时，可能是二次函数的图象，当时，可能是一元一次函数的图象，用待定系数法求得解析式即可；
（2）物理中位移与时间函数关系复合此图象，可设计关于，两地运动的题目，符合要求．
【详解】
解：（1）当时，设，由图知， ，；．
当时，设，由图知，，，
，，
；
．
（2）例如，一辆车从甲地到乙地去办事，时间用（小时）表示，位移用（公里）表示，去时匀加速前进，用时2小时，回来时，匀速直线运动，用时3小时，图象如图所示，求位移关于时间的函数关系式．
【点睛】
本题考查了分段函数解析式求法，待定系数法求函数解析式，函数与实际问题的联系等，属于中档题．
47．（1）①；②；（2）函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数.
【解析】
（1）①设函数图象的对称中心为，根据题意可知函数为奇函数，利用奇函数的定义可得出，可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出函数的对称中心的坐标；
②推导出，由此可计算得出所求代数式的值；
（2）根据题中结论可写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.
【详解】
解：（1）①设函数图象的对称中心为，，
则为奇函数，故，故，
即，
即.
整理得，故，解得，
所以函数图象的对称中心为；
②因为函数图象的对称中心为，
所以，，
故
；
（2）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数.
【点睛】
结论点睛：本题考查利用函数的对称性及其应用，可利用以下结论来转化：
①函数的图象关于点对称，则；
②函数的图象关于直线对称，则.
48．(1)奇函数，证明见解析
(2)在区间上单调递增，证明见解析
(3)在区间上单调递增
【解析】
【分析】
（1）先求出定义域，判断是否关于原点对称，然后由奇偶性的定义证明即可；
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）根据奇函数的性质直接写出单调性即可.
(1)
解：（1）函数为奇函数，证明如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以函数为奇函数；
(2)
解：设任意的，
则，
因为，
则，，
所以，
故函数在区间上单调递增；
(3)
解：根据奇函数的性质可得函数在区间上单调递增.
49．（1）；（2）奇函数，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据对数有意义的条件可得，即可求解；
（2）由（1）知的定义域关于原点对称，再利用奇偶函数的定义即可判断.
【详解】
（1）因为，，
所以，
则，解得：，
所以函数的定义域为；
（2）函数是奇函数，
函数的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以
，
所以函数是奇函数.
50．（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数.
【解析】
【分析】
逐一判断定义域，并计算和关系，结合奇偶性的定义判断即可.
【详解】
解：（1）函数的定义域为，
，所以函数为偶函数；
（2）函数的定义域为，
，则且，
所以函数为非奇非偶函数；
（3）定义域为R，，
为偶函数；
（4）定义域为R，，
为奇函数.
51．(1)
(2)0.6
【解析】
【分析】
（1）利用函数图象经过点，分段讨论即可得出结论；
（2）利用指数函数的单调性解不等式．
(1)
解：依题意，当时，可设，且，
解得
又由，解得，
所以；
(2)
解：令，即，
得，解得，
即至少需要经过后，学生才能回到教室．
52．（1）－4；（2）单调递增区间为.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由是定义域为的偶函数可得，从而可得；，结合当时，即可得结果；（2）设，则，∴，从而可得函数解析式，即可写出的单调递增区间.
试题解析：（1）由已知可得.
（2）设，则，∴，
∴，根据分段函数的性质及二次函数的单调性可得单调递增区间为.
53．（1）答案见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由,推导出即可判断其单调性.任取,再代入所给的式子进行作差变形,利用和且,判断符号,即可判断其单调性.
（2）根据,将化简为.根据得出是偶函数,由偶函数性质,可得,结合单调性即可求得答案.
【详解】
（1）① 对定义域内的任意、都有
令,可得,
令,可得
令,可得:
是偶函数.
②令,
则
故
即
在上是增函数
根据增函数关于轴对称可得: 在上是减函数.
综上所述,是偶函数,在上是增函数,在上是减函数.
（2） ,
可得:
可化简为.
得出是偶函数,由偶函数性质,
在上是增函数 可得:
即: 故
或
函数的定义域是 故: 即
不等式的解集为:
【点睛】
本题解题关键在于能将已知条件翻译为变量差与对应的函数值的差,回归到函数的单调性定义上判定和证明.在求解抽象函数不等式时,去掉抽象函数的符号,转换为求解不等式的问题.
54．（1）奇函数，理由见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
（1）求出函数的定义域，计算，由此可得出结论；
（2）令，利用不等式的基本性质可证得结论成立；
（3）由题意得出对满足的任一实数都成立，可得出且，然后分和两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
（1）函数为奇函数，理由如下：
由可得，所以，函数的定义域为.
因为,
，所以函数为奇函数；
（2）证明：，
令，
因为，时，所以，，所以；
（3）由得，
所以对满足的任一实数都成立，
即且，即且.
①当时，因为在为减函数，在为减函数，
所以只要且，
可得，即，解得，所以；
②当时，因为时，，所以显然成立；
因为时，，所以显然成立.
综上所述，．
【点睛】
思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下：
（1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；
（2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断与之间的关系；
（3）下结论.
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