人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.2三角函数的概念小结word版含答案

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.2三角函数的概念小结
一、解答题
1．根据条件，求角x.
（1）已知；
（2）已知.
2．已知，且为第二象限的角.
(1)求的值；
(2)求 的值.
3．已知，.
(1)求的值；
(2)求的值.
4．已知，.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
5．已知，，求.
6．已知角的终边过点，求的值.
7．设函数（）在处取最大值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在中，分别是角的对边．已知，，，求的值．
8．已知，，是的三个内角，向量，，且．
（1）求角；
（2）若，求．
9．写出使下列不等式成立的角的集合：
(1)；
(2)．
10．（1）已知角的终边所在直线经过点，求的值；
（2）已知（），求的值.
11．计算：sin30°+Clg5﹣lg20+20200﹣3！.
12．求证：一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是.
13．求证下列恒等式：
（1）；
（2）；
（3）.
14．已知－＜x＜0，sin x＋cos x＝．
（1）求sinxcosx；
（2）求sinx－cosx的值
15．写出下列角与的关系.
（1）角与的终边互相垂直；
（2）角与的终边互为反向延长线；
（3）角与的终边关于y轴对称
16．某同学在一次研究性学习中发现，以下式子的值都等于同一个常数.①；②；③；④.
(1 )试从上述式子中选择一个，进行化简求值；
(2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
17．在平面直角坐标系中，已知角，的顶点都在坐标原点，始边都与轴的非负半轴重合，角的终边上有一点，坐标为.
（1）求的值；
（2）若角满足下列三个条件之一.
①锐角满足：
②锐角的终边在直线上；
③角的终边与的终边相同.
请从上述三个条件中任选一个，你的选择是________.求的值.
18．如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为公里，与小岛相距公里（其中为常数），已知角为钝角，且．
（1）求小岛与小岛之间的距离；（用表示）
（2）求四个小岛所形成的四边形的面积；（用表示）
（3）记为，为，求的值．
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参考答案：
1．（1）或；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）已知余弦值求角，先求出相应的锐角，再利用诱导公式求出给定区间内的角即可；
（2）已知正切值求角，先求出相应的锐角，再利用诱导公式求出给定区间内的角即可；
【详解】
（1）∵，∴x是第一象限角或第四象限角.
当x在第一象限，即时，；
当x在第四象限，即时，
∵，∴，
所以角为或；
（2）∵，∴x是第二象限角或第四象限角.
当x在第二象限，即时，
∵，而，∴；
当x在第四象限，即时，
∵，而，∴，
所以角为或.
【点睛】
本题主要考查了已知三角函数值求角，考查了特殊角的三角函数值，诱导公式的应用.
2．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由符号法则与同角三角函数基本关系求解即可；
（2）由弦的齐次式弦化切即可求解
(1)
∵，且为第二象限的角，
∴，
所以；
(2)
3．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用，，即可得解；
（2）分子分母同除以转化为正切表示，即可得解.
(1)
，，.
，所以.
(2)
4．（1）；（2）
【解析】
（1）直接利用余弦倍角公式求得结果；
（2）利用同角三角函数平方关系，结合角的范围，求得，，将角进行配凑，利用差角余弦公式求得结果.
【详解】
（1）由得：
（2），，..
又，，
【点睛】
该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，余弦的倍角公式，余弦的差角公式，在解题的过程中，注意角的配凑，属于简单题目.
5．或.
【解析】
根据，作出角的终边，结合的取值范围，从而得到的值.
【详解】
解：由可知，
角对应的正切线的方向朝下，而且长度为1.
作示意图，如图所示.
可知角x的终边可能是OT，也可能是.
又因为，
所以，.
又由，
可知或，
因此或.
【点睛】
本题考查根据三角函数的值求角，特殊角的三角函数值，属于简单题.
6．或
【解析】
利用三角函数的定义即可求解.
【详解】
解析由题意可得，（O为坐标原点）.
当时，，
则；
当时，，
则.
故的值为或.
【点睛】
本题考查了三角函数的定义，需熟记正弦函数的定义，属于基础题.
7．(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】
【详解】
试题分析：
(Ⅰ)由题意得，根据在处取最大值得，即，故．（Ⅱ）由(Ⅰ)可得，故，所以，由正弦定理得，所以，故可得．
试题解析：
（Ⅰ）
，
因为在时取最大值，
所以，
故．
又，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
因为，
所以，
又为的内角，
所以．
由正弦定理得，
由题意得为锐角，
所以.
所以
8．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
【详解】
解：（1）∵，∴，
∴．
∵，∴．
（2），
∴，∴．
又
．
9．(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合正切函数图像性质，即可求解；
（2）根据题意，结合正切函数图像性质，即可求解.
(1)
根据题意，由，得，结合正切函数图像性质，易知解集为，.
(2)
根据题意，结合正切函数图像性质，易知的解集为，.
10．（1）3（2）
【解析】
（1）计算，再利用齐次式计算得到答案.
（2）利用方程组计算得到，再计算得到答案.
【详解】
（1）因为角的终边所在直线经过点，所以.
所以.
（2）因为，所以，即，
因为，所以，即，.
又因为，所以.
由，解得，所以.
【点睛】
本题考查了三角函数的化简求值，意在考查学生的计算能力.
11．10
【解析】
【分析】
利用指对数运算性质、排列组合数及特殊角三角函数计算即得.
【详解】
原式＝[（）3]15﹣lg5﹣lg2﹣1+1﹣6
9﹣（lg2+lg5）
＝11﹣1＝10.
12．证明见解析
【解析】
根据充要条件的定义证明．证明必要性和充分性．
【详解】
证明①充分性：如果，那么.当时，，
所以一次函数的图象经过坐标原点.
②必要性：因为一次函数的图象经过坐标原点，
所以当时，，即，所以.
综上，一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是.
【点睛】
本题考查充要条件，掌握充要条件的定义是解题关键．证明时需证充分性和必要性．
13．（1）见解析；（2见解析；（3）见解析
【解析】
根据同角三角函数的基本关系和倍角公式，对式子的左边开始进行化简，即可得到等式的证明；
【详解】
（1）
；
（2）
；
（3）
【点睛】
本题考查三角恒等变换的综合运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意切化弦的运用.
14．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）两边平方后，根据平方关系式可得结果；
（2）根据－＜x＜0可知，再配方可解得结果.
【详解】
（1）由sin x＋cos x＝两边平方得，
所以.
（2）因为－＜x＜0，所以，，
所以
【点睛】
本题考查了平方关系式，考查了三角函数的符号法则，属于基础题.
15．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得或，化简即可得解；
（2）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得或，化简即可得解；
（3）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得或，化简即可得解.
【详解】
（1）若角与的终边互相垂直，
则或，
所以；
（2）若角与的终边互为反向延长线，
则或，
所以；
（3）若角与的终边关于y轴对称，
则或，
所以或，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查了任意角的概念，考查了终边相同的角的概念，关键是对于知识点的熟练应用，属于基础题.
16．(1) 0；(2) ，证明见解析.
【解析】
【分析】
(1) ①式直接计算得结果，②、③、④都将式子变成的形式，再展开计算.
(2) 根据(1)中②、③、④的计算规律，得出一个一般性等式，再证明该等式即可.
【详解】
(1) 选①：.
选②：
.
选③：
.
选④：
.
(2)三角恒等式为.
证明：
左边
右边.
所以命题成立.
17．（1）；（2）若选①，；若选②，；若选③，
【解析】
（1）先根据三角函数的定义以及终边上的点，求出，再根据二倍角公式，即可求出；
（2）若选①，先根据同角三角函数之间的关系求出，再根据两角差的余弦值公式即可求出；若选②，先根据题意设出终边上的一点，再根据三角函数的定义求出，再根据两角差的余弦值公式即可求出；若选③，根据终边相同的角的定义求出，再根据两角差的余弦值公式即可求出.
【详解】
解：（1）角终边上一点，
根据三角函数定义：，
，
，
；
（2）若选择①，
，
，
又，
即，
即，，
又为锐角，
，，
；
若选择②，
锐角的终边在直线上；
即角的终边在第一象限，
不妨在直线上取一点，
根据三角函数的定义得：，
，
；
若选择③，
角的终边与的终边相同，
又，
即与终边相同，
与终边相同，
，，
.
18．（1）公里；（2）平方公里；（3）．
【解析】
【分析】
（1）结合同角得平方关系求出的值，进而在中结合余弦定理即可求出结果；
（2）结合（1）的结果求出的面积，再在中利用余弦定理求出，进而结合三角形的面积公式求出的面积，进而可以求出结果；
（3）在利用余弦定理求出的值，进而结合同角的平方关系求出的值，然后结合两角和的正弦公式即可求出结果.
【详解】
（1）因为角为钝角，且，所以，
在中，，即，因为，解得，所以小岛与小岛之间的距离公里；
（2）由（1）知，所以，
因为，所以，
在中，，即，因为，解得，所以,
所以，所以四个小岛所形成的四边形的面积为平方公里；
（3）在中，，
，因此，，则，,
所以
.
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