人教A版（2019）必修第一册新高考名师导学第四章4．3对数(Word含答案解析)

人教A版（2019）必修第一册新高考名师导学第四章4．3对数
一、单选题
1．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
2．已知函数，则
A．1 B．-1 C．-2 D．0
二、解答题
3．（1）
（2）
4．求下列各式中x的值：
(1)log3(log2x)＝0；
(2)log2(lg x)＝1；
(3)；
(4)．
5．化简下列各式：
（1）；
（2）
6．化简：
（1）；
（2）
7．化简，求值：
（1）；
（2）计算已知，，试用，表示
8．已知3a＝5b＝c，且＝2，求c的值．
9．求下列各式的值：
（1）.
（2）.
10．求下列各式中x的值：
（1）logx3＝；
（2）log64x＝－；
（3）－lne2＝x；
（4）；
（5）log5[log3(log2x)]＝0.
11．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
12．国际视力表值（又叫小数视力值，用表示，范围是）和我国现行视力表值（又叫对数视力值，由缪天容创立，用表示，范围是）的换算关系式为.
（1）请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；（保留1位小数）
1.5 ② 0.4 ④
① 5.0 ③ 4.0
（2）甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的小数视力值的2倍，求乙的对数视力值.（保留1位小数，参考数据：，）
13．用表示下列各式：
（1）；（2）；（3）；（4）.
14．求值：
（1）．
（2）．
15．（1）求值：
（2）已知，若，求m的值.
16．计算（1）
（2）
17．计算下列各式：
（1）；
（2）.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】
先计算和时的最大数据传输速率和，再计算增大的百分比即可.
【详解】
当时，；
当时，.
所以增大的百分比为：.
故选：B.
2．A
【分析】
先判断与1的大小关系，然后代入解析式中，运用指数式对数式恒等式进行计算，再判断与1的大小关系，然后代入解析式中，运用对数的运算求值即可.
【详解】
因为，所以，
因此，即.
故选：A
【点睛】
本题考查了分段函数求函数值，考查了对数运算和对数式指数式的恒等式，考查了数学运算能力.
3．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用换元法，设，，转化为一元二次方程解出，即解出；（2）等式两边同时除以，然后利用换元法，令，，转化为一元二次方程解出，即解出.
【详解】
（1）设，，
原方程等价于，即，解得或（舍去）
故，解得.
即方程的解为.
（2）∵，∴，
令，，则方程等价于，解得或（舍去）
即，解得，
即方程的解为.
【点睛】
本题主要考查了利用换元法解指数形式的方程，将方程转化为一元二次方程是解题的关键，属于中档题.
4．（1）x＝2；（2）x＝100；（3）；（4）．
【分析】
根据对数的性质或对数恒等式求解即可得到结果．
【详解】
(1)∵ log3(log2x)＝0，
∴ log2x＝1.
∴ x＝21＝2．
(2)∵ log2(lg x)＝1，
∴ lg x＝2，
∴ x＝102＝100．
(3)由题意得．
(4)由题意得．
【点睛】
本题考查和对数恒等式的应用，考查计算能力和变形能力，属于基础题．
5．（1）0；（2）1.
【分析】
（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；
（2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】
（1）根据指数幂的运算性质，可得原式
.
（2）由对数的运算性质，可得原式
.
【点睛】
本题主要考查了指数幂和对数的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
6．
（1）0
（2）
【分析】
（1）利用诱导公式进行化简求值.
（2）根据指数、对数运算进行化简求值.
（1）
原式.
（2）
原式.
7．（1）；（2）．
【分析】
（1）利用指数幂的运算化简求解；
（2）由得，再利用对数的运算法则求解.
【详解】
解：（1）原式=
（2）由得，
．
8．c＝
【分析】
根据对数的定义将指数换成对数，再根据对数的运算用对数表示、，并用对数运算，指、对数转换求出c的值.
【详解】
解　因为3a＝5b＝c，所以a＝，b＝，
所以＝logc3，＝logc5，
所以＝logc15.
由logc15＝2得c2＝15，因为，所以c＝
9．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据指数幂的运算法则，直接计算，即可得出结果；
（2）根据对数的运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】
（1）
.
（2）
.
10．（1）9；（2）；（3）－2；（4）3；（5）8.
【分析】
利用对数的概念及指数式对数式互化即得.
【详解】
（1）由logx3＝，得＝3，所以x＝9.
（2）由log64x＝－，得x＝＝＝4－2＝，所以x＝.
（3）因为－lne2＝x，所以lne2＝－x，e2＝e－x，于是x＝－2.
（4）由，得2x2－4x＋1＝x2－2，
解得x＝1或x＝3，又因为x＝1时，x2－2＝－1<0，舍去；
x＝3时，x2－2＝7>0，2x2－4x＋1＝7>0，符合题意．
综上，x＝3.
（5）由log5[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)＝1，
所以log2x＝3，
故x＝23，即x＝8.
11．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）对代数式提公因式、合并同类项，并利用对数的运算性质可得出结果；
（2）利用对数的运算性质计算出分子和分母，由此可计算出分式的值；
（3）利用对数的运算性质以及完全平方公式可得出代数式的值.
【详解】
（1）；
（2）；
（3）.
【点睛】
本题考查对数的计算，解题的关键就是对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
12．（1）① 5.2；② 1；③ 4.6；④ 0.1；（2）4.8.
【分析】
（1）根据公式，再结合对数运算法则计算求值；（2）先求甲的小数视力值，再根据乙的小数视力值，计算乙的对数视力值.
【详解】
（1）①当时，
，
②时，;
③时，
④时，；
（2）甲的对数视力值为4.5，则，
， 乙的小数视力值是甲的小数视力值的2倍，
.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是根据理解题意，并能根据，计算求值，第二个关键是对数运算法则.
13．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】
（1）由对数运算法则：，即可得出表达式；
（2）由对数运算法则：和，即可得出表达式；
（3）由对数运算法则：和，即可得出表达式；
（4）由对数运算法则：和，即可得出表达式；
【详解】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【点睛】
本题主要考查对数的运算，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键，属于基础题型.
14．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解；
（2）由对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解.
【详解】
（1）根据三角函数的诱导公式，
可得：.
（2）由对数的运算法则和对数的换底公式，可得：
.
15．（1）1；（2）
【分析】
（1）利用指数幂，对数的运算性质计算即可；
（2）将指数式，化为对数式，代入条件等式计算即可求出m的值.
【详解】
解：（1）；
（2），
，
，
，又,
.
【点睛】
本题考查指数幂和对数的运算，考查指数式和对数式的互化，其中公式的运用是关键，本题是基础题.
16．（1）2；（2）
【分析】
(1)利用指数幂的性质和运算法则进行求解；(2)利用对数的运算法则求解.
【详解】
（1）
（2）
【点睛】
本题考查指数幂和对数的化简求值，属于 基础题.
17．
（1）；
（2）.
【分析】
（1）将小数和根式化成分数指数幂，再由指数幂的运算性质即可求解.
（2）根据对数的运算性质化简即可求解.
（1）
.
（2）
.
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