福建省龙岩市连城第一高级中学2022届高三上学期期末模拟考数学试题（Word版含答案）

连城一中2021-2022学年上期高三年级数学期末模拟试卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}时，B＝，则如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为（　　）
A．（﹣3，﹣1] B．（﹣1，3] C．（1，3] D．[3，6]
3.已知抛物线的准线与圆相切，则（ ）
A.2 B.6或-6 C.2或-10 D.10或-2
4.．函数的图象大致为( )
5．已知某地居民在2021年“双十一”期间的网上购物消费额ξ（单位：千元）服从正态分布，则该地某居民在2021年“双十一”期间的网上购物消费额在内的概率为（ ）
附：随机变量ξ服从正态分布，，0.9545，．
A．0.9759 B．0.8186 C．0.73 D．0.4772
6．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x（单位：mg）与给药时间t（单位：h）近似满足函数关系式，其中，k分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h）．经测试发现，当t＝23时，，则该药物的消除速率k的值约为( )（ln2≈0.69）
A． B． C． D．
7.已知公差不为的等差数列中，，且，，成等比数列，则其前项和取得最大值时，的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.正实数满足，则的最小值为（ )
A. 2 B. C.7 D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.下列命题中，正确的命题有（ ）
A.设随机变量，则
B.若样本数据的方差为3，则数据的方差为25
C.天气预报，五一假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为
D.在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好
10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．若则的值为
11．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”．则下列说法中正确的有( )．
A．对于一个半径为1的圆，其“优美函数”仅有1个
B．函数可以是某个圆的“优美函数”
C．若函数y＝f(x)是“优美函数”，则函数y＝f(x)的图象一定是中心对称图形
D．函数可以同时是无数个圆的“优美函数”
12.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段BC1上的动点,下列说法正确的是（ ）
A对任意点P,DP//平面AB1D1 B.三棱锥P-ADD1的体积为
C.线段DP长度的最小值为
D.存在点P使得DP与平面ADD1A1所成角的大小为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在的展开式中,含项的系数是 .
14.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是C上位于第一象限内的一点，且直线轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为 .
15.已知正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是 .
16.在中，角,角A的平分线AD与BC边相交于点D，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
已知数列满足.
（1）试写出一个满足上述条件的等差数列或等比数列的通项公式；
（2）根据第（1）问中你所写出的，设，求的前100项和．
18．（本小题满分12分）
已知,,分别为内角,,的对边,若同时满足以下四个条件中的三个:
①; ②; ③; ④.
（1）条件①②能否同时满足,请说明理由；
（2）以上四个条件,请在满足三角形有解的所有组合中任选一组,并求出对应的面积.
19.（本小题满分12分）
为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2011年到2020年天猫双十一的销售额数据y（单位：十亿元），绘制如表：
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
编号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
销售额y 0.9 8.7 22.4 41 65 94 132.5 172.5 218 268
根据以上数据绘制散点图，如图所示：
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测2022年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位）
（3）把销售额不超过150（十亿元）的年份叫“平销年"，把销售额低于30（十亿元）的年份叫“试销年”，从2011年到2020年这十年的“平销年”中任取3个，表示取到“试销年”的个数，求的分布列和数学期望．
参考数据：
参考公式：
对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
20.（本小题满分12分）
如图，在三棱台中，，，.
（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的正弦值.
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原原点，点O到直线AB的距离为，的面积为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于C，D两点，若直线直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为证明：为定值．
22．（本小题满分12分）
已知函数（）.
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值.
答案
1—8.DDCB BACA 9.AD 10.BCD 11.BD 12.AC
13.164 14. 15. 16. 16
17解：（1）设数列为等差数列，公差为d，则an＝a1+（n﹣1）d，
由于数列{an}满足an+1＝3an﹣4n+4，
所以2a1+2nd﹣3d﹣4n+4＝0，
当n＝2或3时，整理得，解得，故an＝2n﹣1． ……5分
（2）＝，
所以
．
18解：（1）由①及余弦定理,得
所以. ……2分
由及正弦定理,得,
即,
,. ……4分
且,
矛盾，不能同时满足①②. ……6分
(2)由(1)知,满足①③④或②③④.
若满足①③④,
,,即,
解得或舍去). ……9分
又,的面积. ……12分
若满足②③④.
,即,则, …9分
,
的面积 ……12分
19.解：（1）由散点图可得，适宜作为销售额y关于x的回归方程类型…1分
（2）令，则，根据题中数据可得：
，
，，
所以，因此y关于x的回归方程为．………………5分
当x＝12时，（十亿元）．
所以2022年天猫双十一销售额预计为386.8（十亿元）．………………6分
（3）由题意，2011年到2020年这十年的“平销年”的个数为7个，其中“试销年”为3个，
因此从2011年到2020年这十年的“平销年”中任取3个，取到“试销年”的个数能取的值为0，1，2，3.…………7分
则，．
因此的分布列如下：
0 1 2 3
P
………………11分
所以其数学期望为．…………12分
20.（本小题满分12分）
【解答】（1）依题意，四边形为等腰梯形，过，分别引AC的垂线，垂足分别为D，E，则
，故.
在中，，
所以，故，即.
因为，，且AB，平面，
所以，
因为，
所以平面.
（2）因为，，，且AC，，所以，结合（1）可知AB，AC，三条直线两两垂直. 以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，则各点坐标为
，，，，.
由（1）知，为平面的法向量.
，，
设为平面的法向量，则
故取，
所以
设二面角的大小为，则.
21.解：（1）直线AB的方程为，即，……………………1分
则.………………………………………………………………………2分
因为三角形OAB的面积为1，所以，……………………………3分
解得，…………………………………………………………………………4分
所以椭圆的标准方程为.………………………………………………………5分
（2）直线AB的斜率为，设直线的方程为，…6分
代入，……………………………………………7分
则，………………………………………………………………8分
所以，…………………………………………………9分
所以
，……11分
所以为定值.……………………………………………………………………12分
22.解：（1）函数的定义域为，，（1分）
当时，恒成立，在上单调递增；（2分）
当时，令，则，设，则，
易知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，
∴，在上单调递增；（4分）
综上，当时，在上单调递增；（5分）
（2）依题意，，则（6分）
两式相除得，，设，（7分）
则，，，∴，，
∴，（8分）
设（），（9分）则，
设，则，
所以在单调递增，（10分）
则，∴，则在单调递增，（11分）
又，且
∴，∴，即的最大值为.（12分）