2021-2022学年苏科版数学七年级下册7.5多边形的内角和与外角和同步练习（基础）
一、单选题
1．（2021七下·苏州月考）下列条件中，能判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：A、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=2∠B=3∠C，则 ，解得 ，不能确定△ABC为直角三角形，该选项不符合题意；
B、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A+∠B=2∠C，即3∠C=180°，解得∠C=60°，不能确定△ABC为直角三角形，该选项不符合题意；
C、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A-∠B=30°，则∠C=150°，不能确定△ABC为直角三角形，该选项不符合题意；
D、∠A+∠B+∠C=180°，而 ，则 ，解得∠A= 30° ，则∠B=60°，∠C=90°，能确定△ABC为直角三角形，该选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形内角和定理以及已知条件可得，求解可得∠A的度数，据此判断A的正误；
根据三角形内角和定理以及已知条件可得3∠C=180°，求解可得∠C的度数，据此判断B的正误；
根据三角形内角和定理以及已知条件可得∠C的度数，据此判断C的正误；
根据三角形内角和定理以及已知条件可得∠A+2∠A+3∠A=180°，求解可得∠A的度数，进而求出∠B、∠C的度数，据此判断D的正误.
2．（2021·连云港）正五边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】（5﹣2）×180°=540°.
故答案为：B.
【分析】多边形的内角和公式为（n-1）·180°，据此计算即可.
3．（2021·兴化模拟）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得，∠2＝90°-45°=45°，
则∠1＝∠2＋60°＝45°＋60°＝105°.
故答案为：C.
【分析】先求出∠2的度数；利用三角形的外角的性质可求出∠1的度数.
4．（2020七下·江阴期中）AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD= （ ）
A．25° B．60° C．85° D．95°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵AD是∠CAE的平分线，
∴∠EAC=2∠DAE=120°，
∴∠ACB=∠EAC-∠B=120°-35°=85°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=95°.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义得到∠EAC=2∠DAE=120°，根据三角形的外角的性质计算即可.
5．（2021·鼓楼模拟）如果一个多边形的每个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∵一个多边形的每个外角都是36°，
∴n=360°÷36°=10.
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的外角和等于360°列式计算即可.
6．（2021七下·苏州期末）“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.如图是窗棂是冰裂纹窗及这种窗棂中的部分图案.若 ， ，则下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的度数无法确定
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由多边形的外角和等于360°，
可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∵∠1=∠2=75°，∠3=∠4=65°，
∴∠5=360°-∠1-∠2-∠3-∠4，
∴∠5=360°-75°-75°-65°-65°=80°.
故答案为：A.
【分析】根据多边形的外角和等于360°，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，结合已知即可求出∠5的度数.
7．（2021·扬州模拟）若多边形的边数增加一条，则它的外角和（ ）
A．增加180° B．不变 C．增加360° D．减少180°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】根据多边形的外角和定理：多边形的外角和都等于360 ，与边数多少无关，
故答案为：B.
【分析】多边形的外角和都等于360 ，与边数多少无关，据此判断即可.
8．（2021七下·赣榆期中）将一副直角三角板如图所示放置，使含 角的三角板的一条直角边和含 角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，由题意可得： ，
根据三角形的内角和为 可得：
∴
故答案为：A
【分析】根据三角板的度数以及三角形内角和可得结果.
9．（2021七下·相城月考）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转 ，再沿直线前进10米后，又向左转 ，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米
A．70 B．80 C．90 D．100
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可知，小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°，
所以共转了9次，一次沿直线前进10米，9次就前进90米.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：共转了360°÷40°=9次，一次沿直线前进10米，据此解答.
二、填空题
10．（2021七下·盐城期末）在 中， ， ，则 为 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
故答案为：100°
【分析】直接根据三角形内角和定理进行求解.
11．（2021七下·姑苏月考）在 中， ，则 等于 .
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在△ABC中， ，
则由三角形内角和定理知，
∠A＝ .
故答案是：70°.
【分析】直接根据三角形内角和为180°进行计算.
12．（2020七下·兴化期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D.若∠A=32°，则∠BCD= °.
【答案】32
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=180°-90°=90°（三角形内角和定理），
又∵CD⊥AB，垂足为D，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠B=180°-90°=90°（三角形内角和定理），
∴∠A=∠BCD（同角的余角相等），
∴∠BCD=∠A=32°.
故答案为：32.
【分析】根据∠C=90°，由三角形内角和定理得到∠A+∠B=90°，CD⊥AB，垂足为D，得到∠BCD+∠B=90°，同角的余角相等得到∠A=∠BCD，即可得到答案；
13．（2020七下·江阴月考）如图，在锐角三角形ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高， 且CD和BE交于点P，若∠A=40 ，则∠BPC的度数是 .
【答案】140°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；多边形内角与外角；对顶角及其性质
【解析】【解答】∵CD和BE分别是AB和AC边上的高 ，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∵∠A+∠ADC+∠AEB+∠DPE=360°，∠A=40°，
∴∠DPE=140°，
∴∠BPC=∠DPE=140°.
故答案为：140°.
【分析】根据高线可得∠ADC=∠AEB=90°，根据∠A=40°以及四边形内角和可得∠DPE=140°，根据对顶角的性质可得∠BPC=140°.
14．（2020七下·泰兴期中）已知：如图，在△ABC中，∠A=55 ，H是高BD、CE的交点，则∠BHC= .
【答案】125°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据三角形的高的性质及四边形的内角和定理求解即可.
∵∠A＝55°，BD、CE是高
∴∠BHC＝360°-90°-90°-55°＝125°.
【分析】根据三角形的高，可得∠AEH=∠ADH=90°，利用四边形的内角和可得∠EHD=360°-∠AEH-∠ADH-∠A的度数，由对顶角相等可得∠BHC＝∠EHD，从而求出结论.
15．（2021七下·江都期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，那么这个三角形称为理想三角形；如果一个内角是另一个内角的3倍，那么这个三角形称为梦想三角形.若一个三角形既是理想三角形，也是梦想三角形，写出这个三角形的三个内角的度数（只写出一组） .
【答案】30°、60°、90°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设最小内角度数为n°，2倍角为2n°，3倍角为3n°，
∴n+2n+3n=180，
∴n=30，
∴这个三角形的三个内角的度数为：30°、60°、90°.
故答案为：30°、60°、90°.
【分析】利用梦想三角形的定义，设最小内角度数为n°，2倍角为2n°，3倍角为3n°，建立关于n的方程，解方程求出n的值，可得到这个三角形的三个内角的度数.
16．如图，∠1+∠2+∠3+∠4= 度．
【答案】360
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图：连接AC
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠DAC+∠ACD+∠ADC=360°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=360°．
故答案为:360.
【分析】连接∠2 和∠4 的顶点，可得两个三角形，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
三、解答题
17．（2021七下·江阴期中）如图，DE⊥AB，EF∥AC，∠A=32°，
①求∠DEF的度数；
②若∠F比∠ACF大60°，求∠B的度数.
【答案】解：①∵DE⊥AB，∴∠ADG=90°，∴∠AGE=90°+∠A=90°+32°=122°，∵EF∥AC，∴∠DEF=∠AGE=122°；
②∵EF∥AC，∴∠F+∠ACF=180°，而∠F-∠ACF=60°，∴∠ACF=60°，∴∠ACF=∠B+∠A，∴∠B=60°-32°=28°.
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】①根据三角形外角和可得∠AGE的度数，再根据平行线的性质可得∠DEF ；
②根据 EF∥AC可得 ∠F+∠ACF=180°， 再根据 ∠F比∠ACF大60° 可得 ∠ACF ，由三角形外角可得∠B的度数.
18．（2020七下·无锡期中）如图，已知：AD平分∠BAC，点E是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1=40°，∠C=65°.求：∠B和∠E的度数.
【答案】解：∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠DAC
∵∠1=40°
∴∠DAC=40°
∵∠C=65°
∴∠B=180°－∠BAC－∠C=180°－80°－65°=35°
∴∠EDF=∠B+∠1=35°+40°=75°
∵EF⊥BC
∴在Rt△EDF中∠E=90°－∠EDF=90°-75°=15°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】先根据AD平分∠BAC求出∠DAC，再根据三角形内角和即可求出∠B，根据三角形外角定理求出∠EDF，再根据直角三角形的特点即可求出∠E的度数.
19．（2020七下·南京期末）如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE∥BC，∠ADE＝48°，∠C＝62°，求∠ABE的度数.
【答案】解：∵DE∥BC，∠ADE＝48°，
∴∠ABC＝∠ADE＝48°，
∵BE是AC边上的高，
∴∠BEC＝90°，
∵∠C＝62°，
∴∠EBC＝90－∠C＝28°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝48°－28°＝20°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】利用平行线的性质定理可得∠ABC=∠ADE=48°，由三角形的内角和定理可得∠EBC的度数，可得∠ABE.
20．（2020七下·广陵期中）如图，已知AB∥CD.若∠ABE＝75°，∠CDE＝60°，求∠E的度数.
【答案】解：延长AB交DE于F，
∵AB∥CD，
∴∠EFA＝∠D＝60°，
∵∠ABE＝75°，
∴∠E＝75°﹣60°＝15°.
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】延长AB交DE于F，利用平行线的性质可得∠EFA＝∠D＝60°，再利用三角形外角的性质可得∠E的度数.
21．（2021七下·鼓楼期末）如图，在 中， 平分 交 于点 ， 是 的边 上的高且 ， ，
（1）直接写出 .
（2）求 的度数.
【答案】（1）∠BAC=65°
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴∠ACD= ∠ACB=35°，
∵∠ADC=80°，
∴∠BAC=180° ∠ACD ∠ADC=180° 35° 80°=65°，
故答案为： .
【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠ACD=35°，再根据三角形的内角和是180°即可求解；（2）由直角三角形的两锐角互余即可求解∠HAC，根据∠BAH=∠BAC-∠HAC，即可得解.
22．（2020七下·仪征期末）如图，CD是△ABC的角平分线，点E是AC边上的一点， .
（1）求证： ；
（2） ， ，求∠DEC的度数.
【答案】（1）证明：∵CD是△ABC的角平分线，
∴
∵
∴
∴ （内错角相等，两直线平行）；
（2）解：∵∠BDC是△ADC的外角
∴
∴
∴
∴ .
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ，结合已知求出 ，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）根据三角形的外角性质得 ，可求出 ，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解.
23．（2020七下·姜堰期末）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠A=∠ABD，∠C=∠CBD.
（1）求∠ABC的度数；
（2）若DE平分∠ADB交AB于点E，求证：DE∥BC.
【答案】（1）解：∵∠A=∠ABD，∠C=∠CBD，∠A+∠ABD+∠C+∠CBD=180°，
∴∠ABD+∠CBD= ×180°=90°，即∠ABC=90°；
（2）解：∵∠C=∠CBD，∠ADB=∠C+∠CBD，
∴∠CBD= ，
∵DE平分∠ADB，
∴ ，
∴ ，
∴DE∥BC.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据三角形外角的性质可知∠ADB=∠C+∠CBD，结合DE平分∠ADB可证 ，根据平行线的判定定理即可得到结论.
24．（2020七下·南京期中）如图，在 中， 是高， 是角平分线， ， .
（1）求 、 和 的度数.
（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当 ， ，则 .
当 ， 时，则 .
当 ， 时，则 .
当 ， 时，则 .
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ .
∵ 平分 ，
∴ .
∵ 是高，
，
，
，
.
（2）15；5；0；5 （ ）若 和 的度数改为用字母 和 来表示，你能找到 与 和 之间的关系吗？请直接写出你发现的结论. 解：当 时，即 时， ∵ ， ， ∴ . ∵ 平分 ， ∴ . ∵ 是高， ， ， ； 当 时，即 时， ∵ ， ， ∴ . ∵ 平分 ， ∴ . ∵ 是高， ， ， ； 综上所述，当 时， ；当 时， .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】（ ）解：当 ， 时，
∵ ， ，
∴ .
∵ 平分 ，
∴ .
∵ 是高，
，
，
；
当 ， 时，
∵ ， ，
∴ .
∵ 平分 ，
∴ .
∵ 是高，
，
，
；
当 ， 时，
∵ ， ，
∴ .
∵ 平分 ，
∴ .
∵ 是高，
，
，
；
当 ， 时，
∵ ， ，
∴ .
∵ 平分 ，
∴ .
∵ 是高，
，
，
.
【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出 的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出 和 的度数，进而可求 和 的度数；（2）先利用三角形内角和定理求出 的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出 和 的度数，则前三问利用 即可得出答案，第4问利用 即可得出答案（3）按照（2）的方法，将相应的数换成字母即可得出答案.
25．（2020七下·徐州期中）如图
（1）如图1所示，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，试说明：∠D=90°+ ∠A.
（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：
①如图2所示，BD，CD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系；
②如图3所示，BD，CD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系.
【答案】（1）解：∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180° ∠A，
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠D=180° (∠DBC+∠DCB)
=180° (∠ABC+∠ACB)
=180° (180° ∠A)
=180° 90°+ ∠A
=90°+ ∠A，
即：∠D=90°+ ∠A；
（2）解：①∠A=180° 2∠D，理由如下：
∵BD，CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线，
∴∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=180° (∠A+∠ACB)=180° 2∠DBC，
∠ACB=180° (∠A+∠ABC)=180° 2∠DCB，
∴∠A+180° 2∠DBC+180° 2∠DCB=180°，
∴∠A 2(∠DBC+∠DCB)= 180°，
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠DBC+∠DCB=180° ∠D，
∴∠A 2(∠DBC+∠DCB)=∠A 2(180° ∠D)= 180°，
即：∠A 360°+2∠D= 180°，
∴2∠D=180° ∠A，
即：∠A=180° 2∠D；
②∠A=2∠D，理由如下：
∵∠DCE是△ABC的一个外角，
∴∠DCE=∠DBC+∠D，
∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，
∵∠A+∠ABC=∠ACE，
∴∠A+2∠DBC=2∠DCE，
∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D，
∴∠A=2∠D.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）首先利用角平分线性质得出∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，再利用三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°，据此进一步加以变形求证即可；（2）①首先理由角平分线性质得出∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出∠A 2(∠DBC+∠DCB)=-180°，据此进一步加以分析证明即可；②利用三角形外角性质可知∠DCE=∠DBC+∠D，然后再利用角平分线性质得出2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，最后再结合∠A+∠ABC=∠ACE进一步证明即可.
1 / 12021-2022学年苏科版数学七年级下册7.5多边形的内角和与外角和同步练习（基础）
一、单选题
1．（2021七下·苏州月考）下列条件中，能判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·连云港）正五边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·兴化模拟）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020七下·江阴期中）AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD= （ ）
A．25° B．60° C．85° D．95°
5．（2021·鼓楼模拟）如果一个多边形的每个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
6．（2021七下·苏州期末）“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.如图是窗棂是冰裂纹窗及这种窗棂中的部分图案.若 ， ，则下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的度数无法确定
7．（2021·扬州模拟）若多边形的边数增加一条，则它的外角和（ ）
A．增加180° B．不变 C．增加360° D．减少180°
8．（2021七下·赣榆期中）将一副直角三角板如图所示放置，使含 角的三角板的一条直角边和含 角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021七下·相城月考）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转 ，再沿直线前进10米后，又向左转 ，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米
A．70 B．80 C．90 D．100
二、填空题
10．（2021七下·盐城期末）在 中， ， ，则 为 .
11．（2021七下·姑苏月考）在 中， ，则 等于 .
12．（2020七下·兴化期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D.若∠A=32°，则∠BCD= °.
13．（2020七下·江阴月考）如图，在锐角三角形ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高， 且CD和BE交于点P，若∠A=40 ，则∠BPC的度数是 .
14．（2020七下·泰兴期中）已知：如图，在△ABC中，∠A=55 ，H是高BD、CE的交点，则∠BHC= .
15．（2021七下·江都期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，那么这个三角形称为理想三角形；如果一个内角是另一个内角的3倍，那么这个三角形称为梦想三角形.若一个三角形既是理想三角形，也是梦想三角形，写出这个三角形的三个内角的度数（只写出一组） .
16．如图，∠1+∠2+∠3+∠4= 度．
三、解答题
17．（2021七下·江阴期中）如图，DE⊥AB，EF∥AC，∠A=32°，
①求∠DEF的度数；
②若∠F比∠ACF大60°，求∠B的度数.
18．（2020七下·无锡期中）如图，已知：AD平分∠BAC，点E是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1=40°，∠C=65°.求：∠B和∠E的度数.
19．（2020七下·南京期末）如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE∥BC，∠ADE＝48°，∠C＝62°，求∠ABE的度数.
20．（2020七下·广陵期中）如图，已知AB∥CD.若∠ABE＝75°，∠CDE＝60°，求∠E的度数.
21．（2021七下·鼓楼期末）如图，在 中， 平分 交 于点 ， 是 的边 上的高且 ， ，
（1）直接写出 .
（2）求 的度数.
22．（2020七下·仪征期末）如图，CD是△ABC的角平分线，点E是AC边上的一点， .
（1）求证： ；
（2） ， ，求∠DEC的度数.
23．（2020七下·姜堰期末）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠A=∠ABD，∠C=∠CBD.
（1）求∠ABC的度数；
（2）若DE平分∠ADB交AB于点E，求证：DE∥BC.
24．（2020七下·南京期中）如图，在 中， 是高， 是角平分线， ， .
（1）求 、 和 的度数.
（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当 ， ，则 .
当 ， 时，则 .
当 ， 时，则 .
当 ， 时，则 .
25．（2020七下·徐州期中）如图
（1）如图1所示，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，试说明：∠D=90°+ ∠A.
（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：
①如图2所示，BD，CD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系；
②如图3所示，BD，CD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：A、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=2∠B=3∠C，则 ，解得 ，不能确定△ABC为直角三角形，该选项不符合题意；
B、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A+∠B=2∠C，即3∠C=180°，解得∠C=60°，不能确定△ABC为直角三角形，该选项不符合题意；
C、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A-∠B=30°，则∠C=150°，不能确定△ABC为直角三角形，该选项不符合题意；
D、∠A+∠B+∠C=180°，而 ，则 ，解得∠A= 30° ，则∠B=60°，∠C=90°，能确定△ABC为直角三角形，该选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形内角和定理以及已知条件可得，求解可得∠A的度数，据此判断A的正误；
根据三角形内角和定理以及已知条件可得3∠C=180°，求解可得∠C的度数，据此判断B的正误；
根据三角形内角和定理以及已知条件可得∠C的度数，据此判断C的正误；
根据三角形内角和定理以及已知条件可得∠A+2∠A+3∠A=180°，求解可得∠A的度数，进而求出∠B、∠C的度数，据此判断D的正误.
2．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】（5﹣2）×180°=540°.
故答案为：B.
【分析】多边形的内角和公式为（n-1）·180°，据此计算即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得，∠2＝90°-45°=45°，
则∠1＝∠2＋60°＝45°＋60°＝105°.
故答案为：C.
【分析】先求出∠2的度数；利用三角形的外角的性质可求出∠1的度数.
4．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵AD是∠CAE的平分线，
∴∠EAC=2∠DAE=120°，
∴∠ACB=∠EAC-∠B=120°-35°=85°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=95°.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义得到∠EAC=2∠DAE=120°，根据三角形的外角的性质计算即可.
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∵一个多边形的每个外角都是36°，
∴n=360°÷36°=10.
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的外角和等于360°列式计算即可.
6．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由多边形的外角和等于360°，
可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∵∠1=∠2=75°，∠3=∠4=65°，
∴∠5=360°-∠1-∠2-∠3-∠4，
∴∠5=360°-75°-75°-65°-65°=80°.
故答案为：A.
【分析】根据多边形的外角和等于360°，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，结合已知即可求出∠5的度数.
7．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】根据多边形的外角和定理：多边形的外角和都等于360 ，与边数多少无关，
故答案为：B.
【分析】多边形的外角和都等于360 ，与边数多少无关，据此判断即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，由题意可得： ，
根据三角形的内角和为 可得：
∴
故答案为：A
【分析】根据三角板的度数以及三角形内角和可得结果.
9．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可知，小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°，
所以共转了9次，一次沿直线前进10米，9次就前进90米.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：共转了360°÷40°=9次，一次沿直线前进10米，据此解答.
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
故答案为：100°
【分析】直接根据三角形内角和定理进行求解.
11．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在△ABC中， ，
则由三角形内角和定理知，
∠A＝ .
故答案是：70°.
【分析】直接根据三角形内角和为180°进行计算.
12．【答案】32
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=180°-90°=90°（三角形内角和定理），
又∵CD⊥AB，垂足为D，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠B=180°-90°=90°（三角形内角和定理），
∴∠A=∠BCD（同角的余角相等），
∴∠BCD=∠A=32°.
故答案为：32.
【分析】根据∠C=90°，由三角形内角和定理得到∠A+∠B=90°，CD⊥AB，垂足为D，得到∠BCD+∠B=90°，同角的余角相等得到∠A=∠BCD，即可得到答案；
13．【答案】140°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；多边形内角与外角；对顶角及其性质
【解析】【解答】∵CD和BE分别是AB和AC边上的高 ，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∵∠A+∠ADC+∠AEB+∠DPE=360°，∠A=40°，
∴∠DPE=140°，
∴∠BPC=∠DPE=140°.
故答案为：140°.
【分析】根据高线可得∠ADC=∠AEB=90°，根据∠A=40°以及四边形内角和可得∠DPE=140°，根据对顶角的性质可得∠BPC=140°.
14．【答案】125°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据三角形的高的性质及四边形的内角和定理求解即可.
∵∠A＝55°，BD、CE是高
∴∠BHC＝360°-90°-90°-55°＝125°.
【分析】根据三角形的高，可得∠AEH=∠ADH=90°，利用四边形的内角和可得∠EHD=360°-∠AEH-∠ADH-∠A的度数，由对顶角相等可得∠BHC＝∠EHD，从而求出结论.
15．【答案】30°、60°、90°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设最小内角度数为n°，2倍角为2n°，3倍角为3n°，
∴n+2n+3n=180，
∴n=30，
∴这个三角形的三个内角的度数为：30°、60°、90°.
故答案为：30°、60°、90°.
【分析】利用梦想三角形的定义，设最小内角度数为n°，2倍角为2n°，3倍角为3n°，建立关于n的方程，解方程求出n的值，可得到这个三角形的三个内角的度数.
16．【答案】360
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图：连接AC
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠DAC+∠ACD+∠ADC=360°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=360°．
故答案为:360.
【分析】连接∠2 和∠4 的顶点，可得两个三角形，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
17．【答案】解：①∵DE⊥AB，∴∠ADG=90°，∴∠AGE=90°+∠A=90°+32°=122°，∵EF∥AC，∴∠DEF=∠AGE=122°；
②∵EF∥AC，∴∠F+∠ACF=180°，而∠F-∠ACF=60°，∴∠ACF=60°，∴∠ACF=∠B+∠A，∴∠B=60°-32°=28°.
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】①根据三角形外角和可得∠AGE的度数，再根据平行线的性质可得∠DEF ；
②根据 EF∥AC可得 ∠F+∠ACF=180°， 再根据 ∠F比∠ACF大60° 可得 ∠ACF ，由三角形外角可得∠B的度数.
18．【答案】解：∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠DAC
∵∠1=40°
∴∠DAC=40°
∵∠C=65°
∴∠B=180°－∠BAC－∠C=180°－80°－65°=35°
∴∠EDF=∠B+∠1=35°+40°=75°
∵EF⊥BC
∴在Rt△EDF中∠E=90°－∠EDF=90°-75°=15°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】先根据AD平分∠BAC求出∠DAC，再根据三角形内角和即可求出∠B，根据三角形外角定理求出∠EDF，再根据直角三角形的特点即可求出∠E的度数.
19．【答案】解：∵DE∥BC，∠ADE＝48°，
∴∠ABC＝∠ADE＝48°，
∵BE是AC边上的高，
∴∠BEC＝90°，
∵∠C＝62°，
∴∠EBC＝90－∠C＝28°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝48°－28°＝20°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】利用平行线的性质定理可得∠ABC=∠ADE=48°，由三角形的内角和定理可得∠EBC的度数，可得∠ABE.
20．【答案】解：延长AB交DE于F，
∵AB∥CD，
∴∠EFA＝∠D＝60°，
∵∠ABE＝75°，
∴∠E＝75°﹣60°＝15°.
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】延长AB交DE于F，利用平行线的性质可得∠EFA＝∠D＝60°，再利用三角形外角的性质可得∠E的度数.
21．【答案】（1）∠BAC=65°
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴∠ACD= ∠ACB=35°，
∵∠ADC=80°，
∴∠BAC=180° ∠ACD ∠ADC=180° 35° 80°=65°，
故答案为： .
【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠ACD=35°，再根据三角形的内角和是180°即可求解；（2）由直角三角形的两锐角互余即可求解∠HAC，根据∠BAH=∠BAC-∠HAC，即可得解.
22．【答案】（1）证明：∵CD是△ABC的角平分线，
∴
∵
∴
∴ （内错角相等，两直线平行）；
（2）解：∵∠BDC是△ADC的外角
∴
∴
∴
∴ .
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ，结合已知求出 ，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）根据三角形的外角性质得 ，可求出 ，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解.
23．【答案】（1）解：∵∠A=∠ABD，∠C=∠CBD，∠A+∠ABD+∠C+∠CBD=180°，
∴∠ABD+∠CBD= ×180°=90°，即∠ABC=90°；
（2）解：∵∠C=∠CBD，∠ADB=∠C+∠CBD，
∴∠CBD= ，
∵DE平分∠ADB，
∴ ，
∴ ，
∴DE∥BC.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据三角形外角的性质可知∠ADB=∠C+∠CBD，结合DE平分∠ADB可证 ，根据平行线的判定定理即可得到结论.
24．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ .
∵ 平分 ，
∴ .
∵ 是高，
，
，
，
.
（2）15；5；0；5 （ ）若 和 的度数改为用字母 和 来表示，你能找到 与 和 之间的关系吗？请直接写出你发现的结论. 解：当 时，即 时， ∵ ， ， ∴ . ∵ 平分 ， ∴ . ∵ 是高， ， ， ； 当 时，即 时， ∵ ， ， ∴ . ∵ 平分 ， ∴ . ∵ 是高， ， ， ； 综上所述，当 时， ；当 时， .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】（ ）解：当 ， 时，
∵ ， ，
∴ .
∵ 平分 ，
∴ .
∵ 是高，
，
，
；
当 ， 时，
∵ ， ，
∴ .
∵ 平分 ，
∴ .
∵ 是高，
，
，
；
当 ， 时，
∵ ， ，
∴ .
∵ 平分 ，
∴ .
∵ 是高，
，
，
；
当 ， 时，
∵ ， ，
∴ .
∵ 平分 ，
∴ .
∵ 是高，
，
，
.
【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出 的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出 和 的度数，进而可求 和 的度数；（2）先利用三角形内角和定理求出 的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出 和 的度数，则前三问利用 即可得出答案，第4问利用 即可得出答案（3）按照（2）的方法，将相应的数换成字母即可得出答案.
25．【答案】（1）解：∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180° ∠A，
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠D=180° (∠DBC+∠DCB)
=180° (∠ABC+∠ACB)
=180° (180° ∠A)
=180° 90°+ ∠A
=90°+ ∠A，
即：∠D=90°+ ∠A；
（2）解：①∠A=180° 2∠D，理由如下：
∵BD，CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线，
∴∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=180° (∠A+∠ACB)=180° 2∠DBC，
∠ACB=180° (∠A+∠ABC)=180° 2∠DCB，
∴∠A+180° 2∠DBC+180° 2∠DCB=180°，
∴∠A 2(∠DBC+∠DCB)= 180°，
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠DBC+∠DCB=180° ∠D，
∴∠A 2(∠DBC+∠DCB)=∠A 2(180° ∠D)= 180°，
即：∠A 360°+2∠D= 180°，
∴2∠D=180° ∠A，
即：∠A=180° 2∠D；
②∠A=2∠D，理由如下：
∵∠DCE是△ABC的一个外角，
∴∠DCE=∠DBC+∠D，
∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，
∵∠A+∠ABC=∠ACE，
∴∠A+2∠DBC=2∠DCE，
∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D，
∴∠A=2∠D.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）首先利用角平分线性质得出∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，再利用三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°，据此进一步加以变形求证即可；（2）①首先理由角平分线性质得出∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出∠A 2(∠DBC+∠DCB)=-180°，据此进一步加以分析证明即可；②利用三角形外角性质可知∠DCE=∠DBC+∠D，然后再利用角平分线性质得出2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，最后再结合∠A+∠ABC=∠ACE进一步证明即可.
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