北京市门头沟区2021-2022学年高三上学期期末调研数学试题（Word版含答案）

门头沟区2021-2022学年度第一学期期末调研
高 三 数学 2022.1
考 生 须 知 1．本试卷共6页，共3道大题，21个小题。满分100分。考试时间90分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将考试编号填写（或条形码粘贴）在答题卡相应位置处。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。 4．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
（1）复数
（A） （B）
（C） （D）
（2）集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）在的展开式中，的系数是
（A） （B）
（C） （D）
（4） “角的终边关于轴对称”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）下列函数中，在为增函数的是
（A） （B）
（C） （D）
（6）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不垂直的是
（A） （B）
（C） （D）
（7）等差数列的公差，数列的前项和，则
（A） （B）
（C） （D）
（8）点在抛物线上，则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为
（A） （B）
（C） （D）
（9）在函数的图像上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图像上，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（10）公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行排序，排序高者中标。分值权重表如下：
综合得分 技术 商务 报价
技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的。报价标则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是分，若报价每高于基准价，则在基准分的基础上扣分，最低得分分；若报价每低于基准价，则在基准分的基础上加分，最高得分为分。若报价低于基准价以上(不含)每再低，在分在基础上扣分。在某次招标中，若基准价为（万元），甲、乙两公司综合得分如下表：
公司 技术 商务 报价
甲 分 分 分
乙 分 分 分
甲公司的报价为（万元），乙公司的报价为（万元），则甲、乙两公司综合得分分别是
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分。）
（11）双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 .
（12）已知为平面上的动点，，为平面上两个定点，且，则动点的轨迹方程为 .
（13）函数的图像向左平移 个长度单位得到函数的图像，若函数在区间单调递增，则的最大值为 .
（14）在梯形中，，，，
，是的中点，则= .
（15）已知函数为奇函数，且，当时，，给出下列四个结论：
①图像关于对称
②图像关于直线对称
③
④在区间单调递减
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题（本大题共6小题，满分85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明。）
（16）（本小题满分12分）
在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知，使存在并唯一确定，并求的值.
条件①：
条件②：
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（17）（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
（18）（本小题满分13分）
第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办. 为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级（共六个班）答题优秀的学生中随机抽查了名，得到这名优秀学生的统计如下：
高一班级 一（1） 一（2） 一（3） 一（4） 一（5） 一（6）
人数
（Ⅰ）从这名学生中随机抽取两名学生参加区里冬奥知识比赛.
（）恰好这名学生都来自同一班级的概率是多少？
（）设这名学生中来自高一（2）的人数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）如果该校高中生的优秀率为，从该校中随机抽取人，这两人中优秀的人数为，求的期望.
（19）（本小题满分15分）
已知函数．
（Ⅰ）求在点处的切线方程；
（Ⅱ）证明：在区间存在唯一极大值点；
（Ⅲ）证明：当，．
（20）（本小题满分15分）
已知椭圆的离心率为，长轴的两个端点分别为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设直线与分别相交于两点，直线与相交于点．试问：当 变化时，点是否恒在一条定直线上若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
（21）（本小题满分15分）
若集合（）满足：对任意（），均存在（），使得，则称具有性质．
（Ⅰ）判断集合，是否具有性质；（只需写出结论）
（Ⅱ）已知集合（）具有性质．
（）求；
（）证明：．
门头沟区2021-2022学年第一学期期末调研高三
数学答案解析
（1）复数
（A） （B） （C） （D）
解：直接计算可得（A）
（2）集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
解：易得（C）
（3）在的展开式中，的系数是
（A） （B） （C） （D）
解：由通项公式直接计算得（B）
（4） “角的终边关于轴对称”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
解：由三角函数的定义可得（A）
（5）下列函数中，在为增函数的是
（A） （B） （C） （D）
解：A不正确，在每一个单调区间上增，在不是增函数；B是对称轴为，在不是增函数；C在为减函数，D求导得可，可知（D）正确
（A） （B） （C） （D）
（6）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不垂直的是
（A） （B）
（C） （D）
解：由线面垂直判定定理可得A,B,C都符合直线与平面垂直，但D中的与所成的角为，选择（D）
（7）等差数列的公差，数列的前项和，则
（A） （B）
（C） （D）
解：设，则，当时，，得，，选择（C）
（8）点在抛物线上，则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为
（A） （B） （C） （D）
解：由定义得此最小值就是焦点到直线的距离，由点到直线距离得(B)
（9）在函数的图像上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图像上，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
解：由指对函数性质可知，其实就是研究函数与
函数是否有二个不同交点，当时，
不合 题意；当时，，
有二个交点 得（C）
（10）公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行排序，排序高者中标。分值权重表如下：
综合得分 技术 商务 报价
技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的。报价标则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是分，若报价每高于基准价，则在基准分的基础上扣分，最低得分分；若报价每低于基准价，则在基准分的基础上加分，最高得分为分。若报价低于基准价以上(不含)每再低，在分在基础上扣分。在某次招标中，若基准价为（万元），甲、乙两公司综合得分如下表：
公司 技术 商务 报价
甲 分 分 分
乙 分 分 分
甲公司的报价为（万元），乙公司的报价为（万元），则甲、乙两公司综合得分分别是
（A） （B）
（C） （D）
解：由题意分析可得（A）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分。）
（11）双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 .
解:
（12）已知为平面上的动点，，为平面上两个定点，且，则动点的轨迹方程为 .
解：由数量积定义得：
（13）函数的图像向左平移 个长度单位得到函数的图像，若函数在区间单调递增，则的最大值为 .
解：（写出符合条件的一个值即可）；
（14）在梯形中，，，
，，是的中点，则
= .
解：思考一：投影法=14
思考二：几何运算：
思考三：坐标法：以中点为原点，所在直线为轴，用坐标运算也可。
（15）已知函数为奇函数，且，当时，，给出下列四个结论：
①图像关于对称
②图像关于直线对称
③
④在区间单调递减
其中所有正确结论的序号是 .
解：函数为奇函数得：
可得图像关于关于对称；由得
，所以①正确，②正确；
，所以③不正确；④正确.
所以，正确题目的顺序号为①②④
三、解答题（本大题共6小题，满分85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明。）
（16）（本小题满分12分）
在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知，使存在并唯一确定，并求的值.
条件①：
条件②：
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
解：（Ⅰ）由正弦定理得
……………2分
所以……………………………………………………2分
（Ⅱ）选条件②
由正弦定理得：……………………………………2分
…………………………………………2分
………………………………………………2 分
………………………………………………2分
注：若利用余弦定理，结论正确同样可得满分。
选条件③
……………………………………………………2分
…………………………………………………2分
…………………………………………………4分
（17）（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，，，分别为，的中点.
（Ⅰ）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
解：（Ⅰ）.
连结，因为分别是，的中点，所以………….…..…1分
又因为，所以，………………………………………………1分
所以四边形为平行四边形，故………………………………………1分
注：回答与共面，也给满分。
（Ⅱ）由已知两两垂直，建立如图所示坐标系………………………….……1分
……………2分
设平面法向量为，
..2分
平面的法向量为…………1分
……………2分
二面角的余弦值为…………………………………………..………1分
（Ⅲ），……………………………………………………..………1分
设点到平面的距离为，则……………………………2分
（18）（本小题满分13分）
第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办. 为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级（共六个班）答题优秀的学生中随机抽查了名，得到这名优秀学生的统计如下：
高一班级 一（1） 一（2） 一（3） 一（4） 一（5） 一（6）
人数
（Ⅰ）从这名学生中随机抽取2名学生参加区里冬奥知识比赛.
（）恰好这名学生都来自同一班级的概率是多少？
（）设这名学生中来自高一（2）的人数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）如果该校高中生的优秀率为，从该校中随机抽取人，这两人中优秀的人数为，求的期望.
解:（Ⅰ）（）20名学生中随机抽取两名学生共有…………………..……..…2分
设恰好2名学生都来自同一班级共有………....…1分
……………………………………………………………..…1分
注：如果没有设，有答不扣分，没有设，也没有答扣1分
（）可取0，1，2，……………………………………………………………1分
，，………...3分
的分布列为：
0 1 2
…………………………...…1分
的期望……………………………………….……..…1分
（Ⅱ）可取0，1，2，…………………………………………………………………1分
，所以……………………………........…………2分
注：只写出，不扣分.
（19）（本小题满分15分）
已知函数．
（Ⅰ）求在点处的切线方程；
（Ⅱ）证明：在区间存在唯一极大值点；
（Ⅲ）证明：当，．
解：（Ⅰ）……………………………………….…………….………2分
，，得切线方程为………………………………2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，时，…………………..1分
时，单调递减，，，…………2分
由零点存在定理可得，在存在唯一一个零点，…………1分
且当，，
所以，在区间存在唯一极大值点．………………………………2分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，在区间上单调递增，在单调递减，…….1分
，，所以，当时，………….…2分
当时，．…………...………2分
（20）（本小题满分15分）
已知椭圆的离心率为，长轴的两个端点分别为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设直线与分别相交于两点，直线与相交于点．试问：当 变化时，点是否恒在一条定直线上若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
解：（Ⅰ）由题意得：．……………………….……..…3分
（Ⅱ）若，与椭圆相交于．……….…1分
直线：，直线．…………………………1分
．…………………………………………….…………1分
由椭圆的对称性若可得交点为．………...………1分
当变化时，点恒在定直线上．……………………………… …………1分
若时，．……………………………1分
设交点为，由韦达定理得：（1）…...…….1分
直线：与定直线相交于，得．.….1分
同理直与直线相交于，得．…..1分
．……2分
（1）式代入得，所以当变化时，点恒在一条定直线上．………1分
（21）（本小题满分15分）
若集合（）满足：对任意（），均存在（），使得，则称具有性质．
（Ⅰ）判断集合，是否具有性质；（只需写出结论）
（Ⅱ）已知集合（）具有性质．
（）求；
（）证明：．
解：（Ⅰ）集合具有性质；……………………………………………………...……2分
集合不具有性质．………………………………………………... ………2分
（Ⅱ）（）取，由题知存在（），使得成立，即，………..…2分
又，故必有．…………...………….……………………2分
又因为，所以．……..……………..…1分
（）由（）得，当时，存在（）使得成立，又因为，故，即．所以．….……2分
又，所以，
故，…………….. 2分
相加得：
，即．
………….……2分
高三数学试卷 第 1 页 (共 3 页)