黑龙江省哈尔滨市第六十九中学2020-2021学年八年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021八下·哈尔滨开学考）手机已逐渐成为人们日常通讯的主要工具，其背后离不开通讯运营商的市场支持，下图展现的是我国四大通讯运营商的企业图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八下·哈尔滨开学考）点 关于 轴对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八下·哈尔滨开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021八下·哈尔滨开学考）代数式中 ， ， ， ， 分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021八下·哈尔滨开学考）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．2
6．（2021八下·哈尔滨开学考）如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，则∠A＝（ ）度．
A．30 B．36 C．45 D．50
7．（2021八下·哈尔滨开学考）式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021八下·哈尔滨开学考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021八下·哈尔滨开学考）已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．-17
10．（2021八下·哈尔滨开学考）如图，在 中， ，点D、F是射线BC上两点，且 ，若 ， ；则下列结论中正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2021八下·哈尔滨开学考）某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94 m，用科学记数法表示这个数是 ．
12．（2021八下·哈尔滨开学考）要使分式 有意义，则 应满足的条件是 ．
13．（2021·南通模拟）将 因式分解为 .
14．（2021八下·哈尔滨开学考）如图，在 中， ， 于 ，交 于点 ，若 ， ， ， ，则 的周长是 ．
15．（2020八下·长葛期中）若 ， 时，则 的值是 .
16．（2021八下·哈尔滨开学考）如果 、 分别是 的整数部分和小数部分，那么 ．
17．（2021八下·哈尔滨开学考）如图， 是等边三角形， ， 、 相交于点 ， 于 ， ， ，则 的长是 ．
18．（2021八下·哈尔滨开学考）如图，△ABC是等边三角形，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E，EF∥AB，AD＝6，则△EFC的周长为 ．
19．（2021八下·哈尔滨开学考）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角为 .
20．（2021八下·哈尔滨开学考）如图， ， ， ， 的面积是5，则 ．
三、解答题
21．（2021八下·哈尔滨开学考）计算
（1）
（2）
22．（2021八下·哈尔滨开学考）计算
（1）
（2）
23．（2021八下·哈尔滨开学考）先化简，再求 的值，其中 ．
24．（2021八下·哈尔滨开学考）如图， 的三个顶点坐标为 ， ， ．
（ 1） 将 向下平移5个单位，得到 ，请画出图形；
（ 2 ）作 关于 轴对称的图形 ，并直接写出 点的坐标．
25．（2021八下·哈尔滨开学考）在 中，点 在 边的延长线上，点 在 边的延长线上， 平分 ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 时，连接 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与 面积相等的三角形（不包括 ）．
26．（2021八下·哈尔滨开学考）某市一项民生改造工程，由甲、乙两个工程队合作20天可完成，若单独完成此项工程，甲工程队所用的天数是乙工程队所用天数的2倍．
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天；
（2）甲工程队单独做几天后，再由甲、乙两工程队合作可完成此项工程，已知甲工程队施工费每天1万元，乙工程队施工费每天2.5万元，求甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使总工程费不超过64万元？
27．（2021八下·哈尔滨开学考）如图所示， 中， ， ，点 为 上一点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，连接 ，过点 作 的垂线交 于点 ．
（1）如图1，求 的度数；
（2）如图2，连接 ，且 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下， 为 上一点，连接 ，若 ， ，求 的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故B选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，
点 关于 轴对称点的坐标为
故答案为：D．
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，求解即可。
3．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：A. ，不符合题意；
B. ，符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用单项式乘单项式法则计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：在代数式 ， ， ， ， 中，
分式有 ， ，共2个，
故答案为：B．
【分析】 形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式 。根据分式的定义求解即可。
5．【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： 分式 的值为0，
由 可得：
由 可得：
故答案为：D
【分析】利用分式的值为0的条件列出不等式求解即可。
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠ABD＝x，
∵DE＝BE，
∴∠EBD=∠EDB=x
∴∠AED＝∠EBD+∠EDB=x+x=2x，
又∵AD＝DE，
∴∠A＝∠AED＝2x，
∴∠BDC＝x+2x＝3x，
而BC＝BD，则∠C＝∠BDC＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°
∴2x+3x+3x＝180°，
∴2x＝45°
∴∠A＝2x＝45°．
故答案为：C．
【分析】设∠ABD＝x，根据题意得出∠EBD=∠EDB=x，∠AED＝∠EBD+∠EDB=x+x=2x，再根据题意得出∠A＝∠AED＝2x，∠BDC＝x+2x＝3x，而BC＝BD，则∠C＝∠BDC＝3x，再根据题意得出∠ABC＝∠C＝3x，由三角形内角和等于180度，代入数值即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据被开方数大于等于0，列式得，x﹣1≥0，解得x≥1．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式x﹣1≥0，求解即可。
8．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. 是最简二次根式，此选项符合题意；
B. ，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意；
C. 被开方数含分母，不是最简二次根式，此选项不符合题意；
D. ，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
9．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【解答】解： ， ，
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算可得。
10．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【解答】∵AD⊥AF，∠BAD=∠CAF，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，S△ABC=S四边形ADCE，
∴∠ECB=90°，
∴EC⊥BF，
∵∠B=45°，∠BAD=15°，
∴∠ADF=60°，
∴∠F=30°，
∴EF=2CE=2BD，DF=2AD，
∴BD= EF，
∵BC-BD=DF-CF，
∴BC- EF=2AD-CF，
∴①、②、③、④符合题意．
故答案为：D．
【分析】先利用“SAS”证明△ABD≌△ACE，再利用全等三角形的性质逐一判断即可。
11．【答案】 m
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解：0.000 000 94 m＝9.4×10 7 m；
故答案为9.4×10 7 m．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
12．【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
13．【答案】3y（x+3）（x-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式 ，
故答案为：3y（x+3）（x-3）.
【分析】先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解.
14．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：连接BE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB于D，
∴∠C＝∠BDE＝90°，
在Rt△BCE与Rt△BDE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴DE＝CE，
∵AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，
∴△ADE的周长＝DE＋AE＋AD＝CE＋AE＋AB BD
＝AC＋AB BC＝6＋10 8＝8（cm），
故答案为：8cm．
【分析】连接BE，先利用“HL”证明Rt△BCE≌Rt△BDE，再利用全等三角形的性质求解即可。
15．【答案】1
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：当 ， 时，
.
故答案为：1.
【分析】将a，b的值代入代数式，利用平方差公式可求解.
16．【答案】
【知识点】估算无理数的大小；代数式求值
【解析】【解答】解：∵ 的整数部分是1，小数部分是 -1，
∴a=1，b= -1，
∴b-a=（ -1）-1
= -1-1
= -2．
故答案为： -2．
【分析】根据 的整数部分是1，小数部分是 -1，可得a=1，b= -1，再将a、b代入计算即可。
17．【答案】7
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
又∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD；
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=7．
故答案为：7．
【分析】先利用“SAS”证明△ABE≌△CAD，再利用全等三角形的性质可得BE=AD，∠CAD=∠ABE，再利用角的运算求出∠PBQ=90°-60°=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求解即可。
18．【答案】27
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC．
∵点D为AB的中点，AD＝6，
∴AB＝2AD＝12.
∵DE⊥AC于点E，AD＝6，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝ AD＝3，
∴CE＝AC﹣AE＝9.
∵EF∥AB，
∴∠FEC＝∠A＝60°，
∵∠C＝60°，
∴△EFC是等边三角形．
∴△EFC的周长＝9＋9＋9＝27.
故答案为27.
【分析】利用含30度角的直角三角形，求出AE的长，根据平行线的性质、等边三角形的性质和判定求出△EFC各边的长，即可求出周长。
19．【答案】65°或25°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当在内部时，设BD为△ABC的高，此时∠ABD=90°，
又∠ABD=40°，
所以∠A=50°，
因为AB=AC，
所以∠ABC=∠C= (180°-∠A)=65°
②当在外部时，CD为高，
所以∠CDB=90°，
又∠ACD=40°，
所以∠BAC=∠CDB+∠ACD=130°，
因为AB=AC，
所以∠ABC=∠C= (180°-∠A)=25°，
所以答案65°或25°.
【分析】分①当在内部时，设BD为△ABC的高，②当在外部时，CD为高，两种情况讨论即可。
20．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥AD于M，延长AC到E，使CE=AC，连接DE，过点C作CF∥AD交DE于点F，如图所示：
∵CE=AC，AC=BC=DC，
∴CE=BC=CD，AC=CD，
∴∠CDE=∠E，∠CAD=∠ADC，
∵∠CDE+∠E+∠CAD+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠CDE=90°，
∴∠ADE=90°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠BCD=180°，∠CAB=∠ACD，
∴∠ACD+∠BCD=180°，
∵∠ACD+∠ECD=180°，
∴∠BCD=∠ECD，
在△BCD和△ECD中，
，
∴△BCD≌△ECD（SAS），
∴BD=ED=5，
∵△BCD的面积是5，
∴△ECD的面积是5，
∵CF∥AD，∠ADE=90°，
∴∠CFE=∠ADE=90°，
∴ ×5×CF=5，
∴CF=2，
∵AC=CE，AD∥CF，
∴AD=2CF=2×2=4，
故答案为：4．
【分析】过点C作CM⊥AD于M，延长AC到E，使CE=AC，连接DE，过点C作CF∥AD交DE于点F，易求CE=BC=CD，AC=CD，则∠CDE=∠E，∠CAD=∠ADC，求出∠ADE=90°，∠CAB=∠CBA，由SAS证得△BCD≌△ECD，得出BD=ED=5，△ECD的面积是5，由CF∥AD，∠ADE=90°，求出CF的值，由三角形中位线定理即可得出结果。
21．【答案】（1）解：
（2）
= ．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）利用单形式乘多项式的计算法则求解即可；
（2）利用多项式乘多项式的计算法则展开，再合并同类项即可。
22．【答案】（1）解：
；
（2）
=
=2-1+6
=7．
【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）先利用多项式乘多项式的计算法则展开，再合并同类项即可；
（2）利用二次根式的混合运算法则求解即可。
23．【答案】解：
当 时，
原式= ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简原式，再将 代入计算即可。
24．【答案】解：（1） ， ， 的对应点A1（-4，-1），B1（-3，-4），C1（-1，-3）．
描点、连线， 即为所求作．
（2）A1（-4，-1），B1（-3，-4），C1（-1，-3）的对应点A2（4，-1），B2（3，-4），C2（1，-3）．
描点、连线，△A2B2C2即为所求作．C2点的坐标（1，-3）．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）找出A、B、C的对应点，再描点、连线， 即为所求作；
（2）找出A1、B1、C1的对应点，再描点、连线，即可得出答案。
25．【答案】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵∠ABC=∠ADC=60°，AD BC，AB=AC，
∴∠DAC=∠ACB=60°，
∴△ABC和△ADC均为等边三角形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵DE⊥BD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴BC=AD=CE，
∴图中所有与△CDE面积相等的三角形有：△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．
【点睛】
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据平分线的定义可得 ，由平行线的性质进而得出 ， ，由等腰三角形的判定即可得出结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质得出∠DAC=∠ACB=60°，由菱形的判定与性质可得出AC⊥BD，再根据平行四边形的性质以及三角形的面积公式即可得出答案。
26．【答案】（1）解：设乙两个工程队单独完成此项工程需 天．
，解得 ，
检验：当 时， ，
所以，原分式方程的解为 ，
所以 ，
答：甲工程队单独完成此项工程需60天，乙工程队单独完成此项工程需30天．
（2）解：设甲工程队要单独施工 天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下工程．
，
解得 ，
答：甲工程队要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下工程．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙两个工程队单独完成此项工程需 天．根据题意列出方程，解之得出x的值并检验即可；
（2）设甲工程队要单独施工 天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下工程．列出不等式，即可得出a的范围。
27．【答案】（1）解： ，
即
，
， ．
（2） ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）如图，过 作 于 交 于 连接
为等边三角形，
，
，
∴ ，
∴ ．
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；三角形的综合
【解析】【分析】（1）证出得出 ，即可得出 的度数；
（2）根据 ，得出 再证出 ，由 ，即可得出结论；
（3）过 作 于 交 于 连接 根据垂直的性质得出推出 为等边三角形， 根据 得出再证出 ，即可得出结论。
1 / 1黑龙江省哈尔滨市第六十九中学2020-2021学年八年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021八下·哈尔滨开学考）手机已逐渐成为人们日常通讯的主要工具，其背后离不开通讯运营商的市场支持，下图展现的是我国四大通讯运营商的企业图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故B选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．（2021八下·哈尔滨开学考）点 关于 轴对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，
点 关于 轴对称点的坐标为
故答案为：D．
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，求解即可。
3．（2021八下·哈尔滨开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：A. ，不符合题意；
B. ，符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用单项式乘单项式法则计算求解即可。
4．（2021八下·哈尔滨开学考）代数式中 ， ， ， ， 分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：在代数式 ， ， ， ， 中，
分式有 ， ，共2个，
故答案为：B．
【分析】 形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式 。根据分式的定义求解即可。
5．（2021八下·哈尔滨开学考）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．2
【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： 分式 的值为0，
由 可得：
由 可得：
故答案为：D
【分析】利用分式的值为0的条件列出不等式求解即可。
6．（2021八下·哈尔滨开学考）如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，则∠A＝（ ）度．
A．30 B．36 C．45 D．50
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠ABD＝x，
∵DE＝BE，
∴∠EBD=∠EDB=x
∴∠AED＝∠EBD+∠EDB=x+x=2x，
又∵AD＝DE，
∴∠A＝∠AED＝2x，
∴∠BDC＝x+2x＝3x，
而BC＝BD，则∠C＝∠BDC＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°
∴2x+3x+3x＝180°，
∴2x＝45°
∴∠A＝2x＝45°．
故答案为：C．
【分析】设∠ABD＝x，根据题意得出∠EBD=∠EDB=x，∠AED＝∠EBD+∠EDB=x+x=2x，再根据题意得出∠A＝∠AED＝2x，∠BDC＝x+2x＝3x，而BC＝BD，则∠C＝∠BDC＝3x，再根据题意得出∠ABC＝∠C＝3x，由三角形内角和等于180度，代入数值即可得出答案。
7．（2021八下·哈尔滨开学考）式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据被开方数大于等于0，列式得，x﹣1≥0，解得x≥1．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式x﹣1≥0，求解即可。
8．（2021八下·哈尔滨开学考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. 是最简二次根式，此选项符合题意；
B. ，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意；
C. 被开方数含分母，不是最简二次根式，此选项不符合题意；
D. ，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
9．（2021八下·哈尔滨开学考）已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．-17
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【解答】解： ， ，
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算可得。
10．（2021八下·哈尔滨开学考）如图，在 中， ，点D、F是射线BC上两点，且 ，若 ， ；则下列结论中正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【解答】∵AD⊥AF，∠BAD=∠CAF，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，S△ABC=S四边形ADCE，
∴∠ECB=90°，
∴EC⊥BF，
∵∠B=45°，∠BAD=15°，
∴∠ADF=60°，
∴∠F=30°，
∴EF=2CE=2BD，DF=2AD，
∴BD= EF，
∵BC-BD=DF-CF，
∴BC- EF=2AD-CF，
∴①、②、③、④符合题意．
故答案为：D．
【分析】先利用“SAS”证明△ABD≌△ACE，再利用全等三角形的性质逐一判断即可。
二、填空题
11．（2021八下·哈尔滨开学考）某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94 m，用科学记数法表示这个数是 ．
【答案】 m
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解：0.000 000 94 m＝9.4×10 7 m；
故答案为9.4×10 7 m．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
12．（2021八下·哈尔滨开学考）要使分式 有意义，则 应满足的条件是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
13．（2021·南通模拟）将 因式分解为 .
【答案】3y（x+3）（x-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式 ，
故答案为：3y（x+3）（x-3）.
【分析】先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解.
14．（2021八下·哈尔滨开学考）如图，在 中， ， 于 ，交 于点 ，若 ， ， ， ，则 的周长是 ．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：连接BE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB于D，
∴∠C＝∠BDE＝90°，
在Rt△BCE与Rt△BDE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴DE＝CE，
∵AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，
∴△ADE的周长＝DE＋AE＋AD＝CE＋AE＋AB BD
＝AC＋AB BC＝6＋10 8＝8（cm），
故答案为：8cm．
【分析】连接BE，先利用“HL”证明Rt△BCE≌Rt△BDE，再利用全等三角形的性质求解即可。
15．（2020八下·长葛期中）若 ， 时，则 的值是 .
【答案】1
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：当 ， 时，
.
故答案为：1.
【分析】将a，b的值代入代数式，利用平方差公式可求解.
16．（2021八下·哈尔滨开学考）如果 、 分别是 的整数部分和小数部分，那么 ．
【答案】
【知识点】估算无理数的大小；代数式求值
【解析】【解答】解：∵ 的整数部分是1，小数部分是 -1，
∴a=1，b= -1，
∴b-a=（ -1）-1
= -1-1
= -2．
故答案为： -2．
【分析】根据 的整数部分是1，小数部分是 -1，可得a=1，b= -1，再将a、b代入计算即可。
17．（2021八下·哈尔滨开学考）如图， 是等边三角形， ， 、 相交于点 ， 于 ， ， ，则 的长是 ．
【答案】7
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
又∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD；
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=7．
故答案为：7．
【分析】先利用“SAS”证明△ABE≌△CAD，再利用全等三角形的性质可得BE=AD，∠CAD=∠ABE，再利用角的运算求出∠PBQ=90°-60°=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求解即可。
18．（2021八下·哈尔滨开学考）如图，△ABC是等边三角形，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E，EF∥AB，AD＝6，则△EFC的周长为 ．
【答案】27
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC．
∵点D为AB的中点，AD＝6，
∴AB＝2AD＝12.
∵DE⊥AC于点E，AD＝6，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝ AD＝3，
∴CE＝AC﹣AE＝9.
∵EF∥AB，
∴∠FEC＝∠A＝60°，
∵∠C＝60°，
∴△EFC是等边三角形．
∴△EFC的周长＝9＋9＋9＝27.
故答案为27.
【分析】利用含30度角的直角三角形，求出AE的长，根据平行线的性质、等边三角形的性质和判定求出△EFC各边的长，即可求出周长。
19．（2021八下·哈尔滨开学考）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角为 .
【答案】65°或25°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当在内部时，设BD为△ABC的高，此时∠ABD=90°，
又∠ABD=40°，
所以∠A=50°，
因为AB=AC，
所以∠ABC=∠C= (180°-∠A)=65°
②当在外部时，CD为高，
所以∠CDB=90°，
又∠ACD=40°，
所以∠BAC=∠CDB+∠ACD=130°，
因为AB=AC，
所以∠ABC=∠C= (180°-∠A)=25°，
所以答案65°或25°.
【分析】分①当在内部时，设BD为△ABC的高，②当在外部时，CD为高，两种情况讨论即可。
20．（2021八下·哈尔滨开学考）如图， ， ， ， 的面积是5，则 ．
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥AD于M，延长AC到E，使CE=AC，连接DE，过点C作CF∥AD交DE于点F，如图所示：
∵CE=AC，AC=BC=DC，
∴CE=BC=CD，AC=CD，
∴∠CDE=∠E，∠CAD=∠ADC，
∵∠CDE+∠E+∠CAD+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠CDE=90°，
∴∠ADE=90°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠BCD=180°，∠CAB=∠ACD，
∴∠ACD+∠BCD=180°，
∵∠ACD+∠ECD=180°，
∴∠BCD=∠ECD，
在△BCD和△ECD中，
，
∴△BCD≌△ECD（SAS），
∴BD=ED=5，
∵△BCD的面积是5，
∴△ECD的面积是5，
∵CF∥AD，∠ADE=90°，
∴∠CFE=∠ADE=90°，
∴ ×5×CF=5，
∴CF=2，
∵AC=CE，AD∥CF，
∴AD=2CF=2×2=4，
故答案为：4．
【分析】过点C作CM⊥AD于M，延长AC到E，使CE=AC，连接DE，过点C作CF∥AD交DE于点F，易求CE=BC=CD，AC=CD，则∠CDE=∠E，∠CAD=∠ADC，求出∠ADE=90°，∠CAB=∠CBA，由SAS证得△BCD≌△ECD，得出BD=ED=5，△ECD的面积是5，由CF∥AD，∠ADE=90°，求出CF的值，由三角形中位线定理即可得出结果。
三、解答题
21．（2021八下·哈尔滨开学考）计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）
= ．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）利用单形式乘多项式的计算法则求解即可；
（2）利用多项式乘多项式的计算法则展开，再合并同类项即可。
22．（2021八下·哈尔滨开学考）计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）
=
=2-1+6
=7．
【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）先利用多项式乘多项式的计算法则展开，再合并同类项即可；
（2）利用二次根式的混合运算法则求解即可。
23．（2021八下·哈尔滨开学考）先化简，再求 的值，其中 ．
【答案】解：
当 时，
原式= ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简原式，再将 代入计算即可。
24．（2021八下·哈尔滨开学考）如图， 的三个顶点坐标为 ， ， ．
（ 1） 将 向下平移5个单位，得到 ，请画出图形；
（ 2 ）作 关于 轴对称的图形 ，并直接写出 点的坐标．
【答案】解：（1） ， ， 的对应点A1（-4，-1），B1（-3，-4），C1（-1，-3）．
描点、连线， 即为所求作．
（2）A1（-4，-1），B1（-3，-4），C1（-1，-3）的对应点A2（4，-1），B2（3，-4），C2（1，-3）．
描点、连线，△A2B2C2即为所求作．C2点的坐标（1，-3）．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）找出A、B、C的对应点，再描点、连线， 即为所求作；
（2）找出A1、B1、C1的对应点，再描点、连线，即可得出答案。
25．（2021八下·哈尔滨开学考）在 中，点 在 边的延长线上，点 在 边的延长线上， 平分 ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 时，连接 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与 面积相等的三角形（不包括 ）．
【答案】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵∠ABC=∠ADC=60°，AD BC，AB=AC，
∴∠DAC=∠ACB=60°，
∴△ABC和△ADC均为等边三角形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵DE⊥BD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴BC=AD=CE，
∴图中所有与△CDE面积相等的三角形有：△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．
【点睛】
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据平分线的定义可得 ，由平行线的性质进而得出 ， ，由等腰三角形的判定即可得出结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质得出∠DAC=∠ACB=60°，由菱形的判定与性质可得出AC⊥BD，再根据平行四边形的性质以及三角形的面积公式即可得出答案。
26．（2021八下·哈尔滨开学考）某市一项民生改造工程，由甲、乙两个工程队合作20天可完成，若单独完成此项工程，甲工程队所用的天数是乙工程队所用天数的2倍．
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天；
（2）甲工程队单独做几天后，再由甲、乙两工程队合作可完成此项工程，已知甲工程队施工费每天1万元，乙工程队施工费每天2.5万元，求甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使总工程费不超过64万元？
【答案】（1）解：设乙两个工程队单独完成此项工程需 天．
，解得 ，
检验：当 时， ，
所以，原分式方程的解为 ，
所以 ，
答：甲工程队单独完成此项工程需60天，乙工程队单独完成此项工程需30天．
（2）解：设甲工程队要单独施工 天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下工程．
，
解得 ，
答：甲工程队要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下工程．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙两个工程队单独完成此项工程需 天．根据题意列出方程，解之得出x的值并检验即可；
（2）设甲工程队要单独施工 天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下工程．列出不等式，即可得出a的范围。
27．（2021八下·哈尔滨开学考）如图所示， 中， ， ，点 为 上一点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，连接 ，过点 作 的垂线交 于点 ．
（1）如图1，求 的度数；
（2）如图2，连接 ，且 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下， 为 上一点，连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）解： ，
即
，
， ．
（2） ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）如图，过 作 于 交 于 连接
为等边三角形，
，
，
∴ ，
∴ ．
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；三角形的综合
【解析】【分析】（1）证出得出 ，即可得出 的度数；
（2）根据 ，得出 再证出 ，由 ，即可得出结论；
（3）过 作 于 交 于 连接 根据垂直的性质得出推出 为等边三角形， 根据 得出再证出 ，即可得出结论。
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