黑龙江省哈尔滨市虹桥中学2020-2021学年八年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1.(2021八下·哈尔滨开学考)下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法;合并同类项法则及应用;积的乘方
【解析】【解答】A、 ,此项不符合题意
B、 与 不是同类项,不可合并,此项不符合题意
C、 ,此项符合题意
D、 ,此项不符合题意
故答案为:C.
【分析】根据同底数幂的乘法、积得乘方、合并同类项法则判断即可。
2.(2021八下·哈尔滨开学考)下列图形中,不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解:A.不是轴对称图形,故该选项符合题意;
B. 是轴对称图形,故该选项不符合题意;
C. 是轴对称图形,故该选项不符合题意;
D. 是轴对称图形,故该选项不符合题意;
故答案为:A
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可。
3.(2021·赣榆模拟)若二次根式 有意义,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:∵二次根式 有意义
∴x﹣3≥0,即:x≥3.
故答案为:B.
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式,解不等式可求解.
4.(2019八上·香洲期末)如果把分式 中的x,y都扩大3倍,那么分式的值
A.扩大3倍 B.不变 C.缩小3倍 D.扩大2倍
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】分别用3x和3y去代换原分式中的x和y,
得 = = = ,
∴新分式与原分式相等,
故答案为:B.
【分析】依题意,分别用3x和3y去代换原分式中的x和y,利用分式的基本性质化简即可.
5.(2020八上·喀喇沁旗期末)在三角形内部,且到三角形三边距离相等的点是( )
A.三角形三条中线的交点 B.三角形三条高线的交点
C.三角形三条角平分线的交点 D.三角形三边垂直平分线的交点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解:在三角形内部,且到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
故答案为:C.
【分析】根据角平分线的性质可以得到答案。
6.(2021八下·哈尔滨开学考)如果 ,则 应为( ).
A.5 B.-5 C.1 D.-1
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解:由 可得:
,
∴ ;
故答案为:D.
【分析】利用多项式乘多项式即可得出k的值。
7.(2021八下·哈尔滨开学考)已知等腰三角形一边长为4,一边的长为10,则等腰三角形的周长为( ).
A.14 B.18 C.24 D.18或24
【答案】C
【知识点】三角形三边关系;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:当4为底时,其它两边都为10,10、可以构成三角形,周长为24;
当4为腰时,其它两边为4和10,因为4+4=8<10,所以不能构成三角形,故舍去.
故答案为:C.
【分析】分当4为底,当4为腰两种情况分类讨论即可。
8.(2021八下·哈尔滨开学考)一个三角形的三个外角之比为 ,则这个三角形是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角;邻补角
【解析】【解答】解:∵三角形的三个外角之比为5∶2∶5,
∴三角形的三个外角的度数为:150°,60°,150°,
∴三角形对应的内角度数为30°,120°,30°,
∴此三角形是等腰三角形,
故答案为:A.
【分析】利用等腰三角形的判定判断即可。
9.(2020七下·深圳期中)下列各式中能用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A.(3x-5y)(-3x-5y)=-(3x-5y)(3x+5y)=(5y)2-(3x)2,故符合题意,
B.(1-5m)(5m-1)=-(5m-1)2,故不符合题意,
C.(-x+2y)(x-2y)=-(x-2y)2,故不符合题意,
D.(-a-b)(b+a)=-(a+b)2,故不符合题意,
故答案为:A.
【分析】根据平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,对选项逐一判断即可.
10.(2021八下·哈尔滨开学考)下列说法中,正确的有( )个.
①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等;②同底数幂相乘,底数不变,指数相乘;③顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等;④有一个角是 的三角形是等边三角形;⑤任何数的0次幂都等于1.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解:①∵等腰三角形的中点到两腰的距离相等,∴①符合题意;
②∵同底数幂相乘,底数不变,指数相加,∴②不符合题意;
③∵顶角相等的两个等腰三角形的底角也相等,∴根据ASA两个等腰三角形全等,∴③符合题意;
④∵有一个角是 的等腰三角形是等边三角形,∴④不符合题意;
⑤∵任何不等于0的数的0次幂都等于1,∴⑤不符合题意;
故答案为:B.
【分析】根据等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、同底数幂的乘法法则对各项进行分析即可。
二、填空题
11.(2021八下·哈尔滨开学考)用科学记数法表示0.0000303是 .
【答案】
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解:0.0000303=3.03×10-5,
故答案为:3.03×10-5.
【分析】利用科学记数法表示出来即可。
12.(2021八下·哈尔滨开学考)分解因式: .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解: ,
故答案为: .
【分析】利用公式法解答即可。
13.(2021八下·哈尔滨开学考)化简 的结果为 .
【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】
故答案为:
【分析】利用最简二次根式计算即可。
14.(2021八下·哈尔滨开学考)x 时,分式 有意义.
【答案】
【知识点】分式有意义的条件;二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:由题意得,x-1>0,
解得:x>1.
故答案为:>1.
【分析】利用分式有意义的条件,分母不能为零,即可得出答案。
15.(2021八下·哈尔滨开学考)已知点 与 关于 轴对称,则a+b= .
【答案】-2
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解:∵点 与 关于 轴对称,
∴2a=-2,b=-1.
∴a=-1,b=-1
-2
故答案为: 2.
【分析】根据点 与 关于 轴对称,得出a、b的值,即可得出答案。
16.(2021八下·哈尔滨开学考)已知 ,则 .
【答案】8
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】∵ , ∴ ,故答案为8.
【分析】根据幂的乘方法则计算即可。
17.(2021八下·哈尔滨开学考)计算: .
【答案】
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解: .
故答案是: .
【分析】根据积的乘方法则计算即可。
18.(2021八下·哈尔滨开学考)如图, 为 内一点, 平分 , ,垂足为 ,交 于点 , , , ,则 的长为 .
【答案】1.5
【知识点】三角形全等的判定(ASA)
【解析】【解答】解:∵CD平分∠ACB,BE⊥CD,
∴∠BCD=∠ECD,∠BDC=∠EDC,
又∵CD=CD,
∴ ,
∴BC=CE,
又∵∠A=∠ABE,
∴AE=BE,
∴BD= BE= AE= (AC EC)= (AC BC),
∵AC=7,BC=4,
∴BD= (7 4)= 1.5.
故答案为:1.5.
【分析】先利用三角形全等判定得出 ,得出BC=CE,再根据题意∠A=∠ABE,AC=7,BC=4,即可得出BD的长。
19.(2021八下·哈尔滨开学考)已知 中, ,现将 折叠,使点 、 两点重合,折痕所在的直线与直线 的夹角为 ,则 的度数为 .
【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】当等腰三角形的顶角是锐角时,如图1:
由翻折的性质可知:EF⊥AB,
∴∠A+∠AFE=90°,
∴∠A=90°﹣20°=70°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴∠B= ×(180°﹣∠A)=55°;
当等腰三角形的顶角是钝角时,如图2:
由翻折的性质可知:EF⊥AB,
∴∠D+∠DAE=90°.
∴∠DAE=90°﹣20°=70°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠B+∠C=∠DAE,
∴∠B= ∠DAE=35°,
故答案为:55°或35°.
【分析】分当等腰三角形的顶角是锐角时,当等腰三角形的顶角是钝角时,两种情况讨论即可。
20.(2021八下·哈尔滨开学考)如图,四边形 中, , , , 于 , , ,则 的面积为 .
【答案】12
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:过点A作 于点F,
∵ ,
∴ 为等腰三角形,
∵ ,
∴ , ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
故答案为:12.
【分析】先做辅助线过点A作 于点F,证得出 为等腰三角形,再证出 ,推出 ,得出AF、BD的值,利用三角形面积公式即可得出答案。
三、解答题
21.(2021八下·哈尔滨开学考)计算
(1)
(2)
【答案】(1)解:
(2)
.
【知识点】多项式乘多项式;单项式除以单项式
【解析】【分析】(1)利用单项式除以单项式的计算法则求解即可;
(2)利用多项式乘多项式的计算法则展开,再合并同类项即可。
22.(2021八下·哈尔滨开学考)计算
(1)
(2)
【答案】(1)解:
;
(2)
.
【知识点】完全平方公式及运用;二次根式的加减法
【解析】【分析】(1)先利用二次根式的性质化简,再利用二次根式的加减计算即可;
(2)先利用完全平方公式展开,再计算即可。
23.(2021八下·哈尔滨开学考)解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
检验:当 时, ,
所以 是原分式方程的解.
(2)
检验:当 时, ,
所以 是原分式方程的解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】(1)先去分母,再去括号,然后移项、合并同类项,最后系数化为1并检验即可;
(2)先去分母,再去括号,然后移项、合并同类项,最后系数化为1并检验即可。
24.(2021八下·哈尔滨开学考)先化简,再求代数式 的值,其中 .
【答案】解:原式=
=
= ,
当 =1+1=2时,原式= .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简原式,再将 =1+1=2代入计算即可。
25.(2021八下·哈尔滨开学考)如图1,在等边 中,点 在 边上,连接 ,以 为一边,向上作等边 ,连接 .
(1)求证: ;
(2)如图2,若点 为AB的中点,请直接写出四个与 相等的角.
【答案】(1)证明:∵等边 和等边 ,
∴∠ACB=60°,∠DCE=60°,AC=BC,CD=CE,
∴∠BCD=60°-∠ACD,∠ACE=60°-∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE,
在△DBC和△EAC中,
∴△DBC≌△EAC;
∴∠EAC=∠B=60°,又∠ACB=60°,
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC;
(2)∵等边 ,点 为AB的中点,
∴∠BCD=∠ACD= ∠ACB=30°,BD=AD,
∵△DBC≌△EAC,
∴BD=AE,∠BCD=∠ACE=30°,
∴AD=AE,
∵∠BAC=∠B=60°,
∴∠DAE=120°,
∴∠ADE=∠AED=30°,
∴与 相等的角有: , , , .
【知识点】三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】(1)根据等边 和等边 ,得出∠ACB=60°,∠DCE=60°,AC=BC,CD=CE,证得△DBC≌△EAC;得出∠EAC=∠ACB,即可得出结论;
(2)根据△DBC≌△EAC,得出AD=AE,再根据∠BAC=∠B=60°,得出∠DAE=120°,即可得出∠ADE=∠AED=30°,从而得出与 相等的角。
26.(2021八下·哈尔滨开学考)虹桥中学为了创建良好的校园读书环境,去年购买了一批图书.其中故事书的单价比文学书的单价多4元,用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等.
(1)求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元?
(2)若今年文学书的单价比去年提高了 ,故事书的单价与去年相同,这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本,且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元,这所中学今年至少要购买多少本文学书?
【答案】(1)解:设去年购买的文学书每本 元,则故事书每本 元,
,
,
经检验 是原分式方程的解,
,
答:去年购买的文学书每本8元,故事书每本12元.
(2)设今年这所中学要购买 本文学书,
.
答:今年至少要购买140本文学书.
【知识点】分式方程的实际应用;一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)设去年购买的文学书每本 元,则故事书每本 元,列出方程,解之并检验即可;
(2)设今年这所中学要购买 本文学书,根据题意列出不等式,解答即可。
27.(2021八下·哈尔滨开学考)在平面直角坐标系中,点 、 分别是 、 轴正半轴上的两点,点 、 ,且满足 .
(1)如图1,求点 的坐标.
(2)如图2,过点 作射线 轴,点 为射线 上一点,以 为直角边,在射线 的下方, 轴的右侧,构造等腰 ,设 的长为 ,四边形 的面积为 ,求 与 之间的关系式,并用含 的代数式表示出 点坐标.
(3)如图3所示,在(2)的条件下,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,连接 交 于点 ,求线段 的长.
【答案】(1)解:
,
(2)分两种情况讨论,
第一种情况,如图
第二种情况,如图,
同理可得:
综上所述, 或 ;
(3)如图,
延长 至 ,使得 ,
连接OE,
,
四点共圆,
为等腰直角三角形,且
.
【知识点】函数解析式;非负数之和为0;三角形的综合;三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)将代数式变形为,再利用非负数之后为0的性质求出a、b的值,即可得到点A的坐标;
(2)分两种情况讨论,再利用全等三角形的性质及割补法求解即可;
(3)先利用“SAS”证明,再利用全等三角形的性质求解,最后利用勾股定理计算即可。
1 / 1黑龙江省哈尔滨市虹桥中学2020-2021学年八年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1.(2021八下·哈尔滨开学考)下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
2.(2021八下·哈尔滨开学考)下列图形中,不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.(2021·赣榆模拟)若二次根式 有意义,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.(2019八上·香洲期末)如果把分式 中的x,y都扩大3倍,那么分式的值
A.扩大3倍 B.不变 C.缩小3倍 D.扩大2倍
5.(2020八上·喀喇沁旗期末)在三角形内部,且到三角形三边距离相等的点是( )
A.三角形三条中线的交点 B.三角形三条高线的交点
C.三角形三条角平分线的交点 D.三角形三边垂直平分线的交点
6.(2021八下·哈尔滨开学考)如果 ,则 应为( ).
A.5 B.-5 C.1 D.-1
7.(2021八下·哈尔滨开学考)已知等腰三角形一边长为4,一边的长为10,则等腰三角形的周长为( ).
A.14 B.18 C.24 D.18或24
8.(2021八下·哈尔滨开学考)一个三角形的三个外角之比为 ,则这个三角形是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
9.(2020七下·深圳期中)下列各式中能用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
10.(2021八下·哈尔滨开学考)下列说法中,正确的有( )个.
①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等;②同底数幂相乘,底数不变,指数相乘;③顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等;④有一个角是 的三角形是等边三角形;⑤任何数的0次幂都等于1.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
11.(2021八下·哈尔滨开学考)用科学记数法表示0.0000303是 .
12.(2021八下·哈尔滨开学考)分解因式: .
13.(2021八下·哈尔滨开学考)化简 的结果为 .
14.(2021八下·哈尔滨开学考)x 时,分式 有意义.
15.(2021八下·哈尔滨开学考)已知点 与 关于 轴对称,则a+b= .
16.(2021八下·哈尔滨开学考)已知 ,则 .
17.(2021八下·哈尔滨开学考)计算: .
18.(2021八下·哈尔滨开学考)如图, 为 内一点, 平分 , ,垂足为 ,交 于点 , , , ,则 的长为 .
19.(2021八下·哈尔滨开学考)已知 中, ,现将 折叠,使点 、 两点重合,折痕所在的直线与直线 的夹角为 ,则 的度数为 .
20.(2021八下·哈尔滨开学考)如图,四边形 中, , , , 于 , , ,则 的面积为 .
三、解答题
21.(2021八下·哈尔滨开学考)计算
(1)
(2)
22.(2021八下·哈尔滨开学考)计算
(1)
(2)
23.(2021八下·哈尔滨开学考)解方程
(1)
(2)
24.(2021八下·哈尔滨开学考)先化简,再求代数式 的值,其中 .
25.(2021八下·哈尔滨开学考)如图1,在等边 中,点 在 边上,连接 ,以 为一边,向上作等边 ,连接 .
(1)求证: ;
(2)如图2,若点 为AB的中点,请直接写出四个与 相等的角.
26.(2021八下·哈尔滨开学考)虹桥中学为了创建良好的校园读书环境,去年购买了一批图书.其中故事书的单价比文学书的单价多4元,用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等.
(1)求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元?
(2)若今年文学书的单价比去年提高了 ,故事书的单价与去年相同,这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本,且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元,这所中学今年至少要购买多少本文学书?
27.(2021八下·哈尔滨开学考)在平面直角坐标系中,点 、 分别是 、 轴正半轴上的两点,点 、 ,且满足 .
(1)如图1,求点 的坐标.
(2)如图2,过点 作射线 轴,点 为射线 上一点,以 为直角边,在射线 的下方, 轴的右侧,构造等腰 ,设 的长为 ,四边形 的面积为 ,求 与 之间的关系式,并用含 的代数式表示出 点坐标.
(3)如图3所示,在(2)的条件下,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,连接 交 于点 ,求线段 的长.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法;合并同类项法则及应用;积的乘方
【解析】【解答】A、 ,此项不符合题意
B、 与 不是同类项,不可合并,此项不符合题意
C、 ,此项符合题意
D、 ,此项不符合题意
故答案为:C.
【分析】根据同底数幂的乘法、积得乘方、合并同类项法则判断即可。
2.【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解:A.不是轴对称图形,故该选项符合题意;
B. 是轴对称图形,故该选项不符合题意;
C. 是轴对称图形,故该选项不符合题意;
D. 是轴对称图形,故该选项不符合题意;
故答案为:A
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可。
3.【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:∵二次根式 有意义
∴x﹣3≥0,即:x≥3.
故答案为:B.
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式,解不等式可求解.
4.【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】分别用3x和3y去代换原分式中的x和y,
得 = = = ,
∴新分式与原分式相等,
故答案为:B.
【分析】依题意,分别用3x和3y去代换原分式中的x和y,利用分式的基本性质化简即可.
5.【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解:在三角形内部,且到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
故答案为:C.
【分析】根据角平分线的性质可以得到答案。
6.【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解:由 可得:
,
∴ ;
故答案为:D.
【分析】利用多项式乘多项式即可得出k的值。
7.【答案】C
【知识点】三角形三边关系;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:当4为底时,其它两边都为10,10、可以构成三角形,周长为24;
当4为腰时,其它两边为4和10,因为4+4=8<10,所以不能构成三角形,故舍去.
故答案为:C.
【分析】分当4为底,当4为腰两种情况分类讨论即可。
8.【答案】A
【知识点】多边形内角与外角;邻补角
【解析】【解答】解:∵三角形的三个外角之比为5∶2∶5,
∴三角形的三个外角的度数为:150°,60°,150°,
∴三角形对应的内角度数为30°,120°,30°,
∴此三角形是等腰三角形,
故答案为:A.
【分析】利用等腰三角形的判定判断即可。
9.【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A.(3x-5y)(-3x-5y)=-(3x-5y)(3x+5y)=(5y)2-(3x)2,故符合题意,
B.(1-5m)(5m-1)=-(5m-1)2,故不符合题意,
C.(-x+2y)(x-2y)=-(x-2y)2,故不符合题意,
D.(-a-b)(b+a)=-(a+b)2,故不符合题意,
故答案为:A.
【分析】根据平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,对选项逐一判断即可.
10.【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解:①∵等腰三角形的中点到两腰的距离相等,∴①符合题意;
②∵同底数幂相乘,底数不变,指数相加,∴②不符合题意;
③∵顶角相等的两个等腰三角形的底角也相等,∴根据ASA两个等腰三角形全等,∴③符合题意;
④∵有一个角是 的等腰三角形是等边三角形,∴④不符合题意;
⑤∵任何不等于0的数的0次幂都等于1,∴⑤不符合题意;
故答案为:B.
【分析】根据等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、同底数幂的乘法法则对各项进行分析即可。
11.【答案】
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解:0.0000303=3.03×10-5,
故答案为:3.03×10-5.
【分析】利用科学记数法表示出来即可。
12.【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解: ,
故答案为: .
【分析】利用公式法解答即可。
13.【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】
故答案为:
【分析】利用最简二次根式计算即可。
14.【答案】
【知识点】分式有意义的条件;二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:由题意得,x-1>0,
解得:x>1.
故答案为:>1.
【分析】利用分式有意义的条件,分母不能为零,即可得出答案。
15.【答案】-2
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解:∵点 与 关于 轴对称,
∴2a=-2,b=-1.
∴a=-1,b=-1
-2
故答案为: 2.
【分析】根据点 与 关于 轴对称,得出a、b的值,即可得出答案。
16.【答案】8
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】∵ , ∴ ,故答案为8.
【分析】根据幂的乘方法则计算即可。
17.【答案】
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解: .
故答案是: .
【分析】根据积的乘方法则计算即可。
18.【答案】1.5
【知识点】三角形全等的判定(ASA)
【解析】【解答】解:∵CD平分∠ACB,BE⊥CD,
∴∠BCD=∠ECD,∠BDC=∠EDC,
又∵CD=CD,
∴ ,
∴BC=CE,
又∵∠A=∠ABE,
∴AE=BE,
∴BD= BE= AE= (AC EC)= (AC BC),
∵AC=7,BC=4,
∴BD= (7 4)= 1.5.
故答案为:1.5.
【分析】先利用三角形全等判定得出 ,得出BC=CE,再根据题意∠A=∠ABE,AC=7,BC=4,即可得出BD的长。
19.【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】当等腰三角形的顶角是锐角时,如图1:
由翻折的性质可知:EF⊥AB,
∴∠A+∠AFE=90°,
∴∠A=90°﹣20°=70°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴∠B= ×(180°﹣∠A)=55°;
当等腰三角形的顶角是钝角时,如图2:
由翻折的性质可知:EF⊥AB,
∴∠D+∠DAE=90°.
∴∠DAE=90°﹣20°=70°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠B+∠C=∠DAE,
∴∠B= ∠DAE=35°,
故答案为:55°或35°.
【分析】分当等腰三角形的顶角是锐角时,当等腰三角形的顶角是钝角时,两种情况讨论即可。
20.【答案】12
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:过点A作 于点F,
∵ ,
∴ 为等腰三角形,
∵ ,
∴ , ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
故答案为:12.
【分析】先做辅助线过点A作 于点F,证得出 为等腰三角形,再证出 ,推出 ,得出AF、BD的值,利用三角形面积公式即可得出答案。
21.【答案】(1)解:
(2)
.
【知识点】多项式乘多项式;单项式除以单项式
【解析】【分析】(1)利用单项式除以单项式的计算法则求解即可;
(2)利用多项式乘多项式的计算法则展开,再合并同类项即可。
22.【答案】(1)解:
;
(2)
.
【知识点】完全平方公式及运用;二次根式的加减法
【解析】【分析】(1)先利用二次根式的性质化简,再利用二次根式的加减计算即可;
(2)先利用完全平方公式展开,再计算即可。
23.【答案】(1)
检验:当 时, ,
所以 是原分式方程的解.
(2)
检验:当 时, ,
所以 是原分式方程的解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】(1)先去分母,再去括号,然后移项、合并同类项,最后系数化为1并检验即可;
(2)先去分母,再去括号,然后移项、合并同类项,最后系数化为1并检验即可。
24.【答案】解:原式=
=
= ,
当 =1+1=2时,原式= .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简原式,再将 =1+1=2代入计算即可。
25.【答案】(1)证明:∵等边 和等边 ,
∴∠ACB=60°,∠DCE=60°,AC=BC,CD=CE,
∴∠BCD=60°-∠ACD,∠ACE=60°-∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE,
在△DBC和△EAC中,
∴△DBC≌△EAC;
∴∠EAC=∠B=60°,又∠ACB=60°,
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC;
(2)∵等边 ,点 为AB的中点,
∴∠BCD=∠ACD= ∠ACB=30°,BD=AD,
∵△DBC≌△EAC,
∴BD=AE,∠BCD=∠ACE=30°,
∴AD=AE,
∵∠BAC=∠B=60°,
∴∠DAE=120°,
∴∠ADE=∠AED=30°,
∴与 相等的角有: , , , .
【知识点】三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】(1)根据等边 和等边 ,得出∠ACB=60°,∠DCE=60°,AC=BC,CD=CE,证得△DBC≌△EAC;得出∠EAC=∠ACB,即可得出结论;
(2)根据△DBC≌△EAC,得出AD=AE,再根据∠BAC=∠B=60°,得出∠DAE=120°,即可得出∠ADE=∠AED=30°,从而得出与 相等的角。
26.【答案】(1)解:设去年购买的文学书每本 元,则故事书每本 元,
,
,
经检验 是原分式方程的解,
,
答:去年购买的文学书每本8元,故事书每本12元.
(2)设今年这所中学要购买 本文学书,
.
答:今年至少要购买140本文学书.
【知识点】分式方程的实际应用;一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)设去年购买的文学书每本 元,则故事书每本 元,列出方程,解之并检验即可;
(2)设今年这所中学要购买 本文学书,根据题意列出不等式,解答即可。
27.【答案】(1)解:
,
(2)分两种情况讨论,
第一种情况,如图
第二种情况,如图,
同理可得:
综上所述, 或 ;
(3)如图,
延长 至 ,使得 ,
连接OE,
,
四点共圆,
为等腰直角三角形,且
.
【知识点】函数解析式;非负数之和为0;三角形的综合;三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)将代数式变形为,再利用非负数之后为0的性质求出a、b的值,即可得到点A的坐标;
(2)分两种情况讨论,再利用全等三角形的性质及割补法求解即可;
(3)先利用“SAS”证明,再利用全等三角形的性质求解,最后利用勾股定理计算即可。
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