黑龙江省哈尔滨市萧红中学2020-2021学年八年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1.(2018八上·双城期末)下列运算中,正确的是( )
A. B. C. D.
2.(2021八下·哈尔滨开学考)下列四个“QQ表情”图片中,不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.(2021八下·哈尔滨开学考)下列根式中,属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
4.(2019八上·香洲期末)如果把分式 中的x,y都扩大3倍,那么分式的值
A.扩大3倍 B.不变 C.缩小3倍 D.扩大2倍
5.(2020八上·巴彦期末)若 是一个整式的平方,则k的值( )
A.8 B.-8 C.4 D.8或-8
6.(2018八上·甘肃期中)已知 , ,则 的值为( )
A.9 B. C.12 D.
7.(2021八下·哈尔滨开学考)在下列四组线段中,能组成直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
8.(2019·广西模拟)已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长是( )
A.5 B.25 C. D.5或
9.(2021八下·哈尔滨开学考)已知,如图,长方形ABCD中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕EF,则△ABE的面积为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
10.(2021八下·哈尔滨开学考)如图所示,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( )
A. B. C. D.无法确定
二、填空题
11.(2017八上·哈尔滨月考)科学家发现一种病毒的直径为 0.00000104米,用科学记数法表示为 米.
12.(2018·广安)使 有意义的x的取值范围是 .
13.(2018八上·双城期末)把多项式ax2+2axy+ay2分解因式的结果是 .
14.(2019八下·柯桥期末)计算 - = .
15.(2021八下·哈尔滨开学考)计算: .
16.(2021八下·哈尔滨开学考)如图,AB=BC=CD,∠A=25°,则∠BCD= .
17.(2021八下·哈尔滨开学考)如图,在一块三角形土地上,准备规划出阴影所示部分作为绿地,若规划图设计中∠ADC=90°,AD=8,CD=6,AB=26,BC=24,求绿地的面积为 .
18.(2021八下·哈尔滨开学考)如图,∠BAC=30°,P是∠BAC平分线上一点,PM∥AC,PD⊥AC,PD=3,AD= .
19.(2021八下·哈尔滨开学考)△ABC中,∠ABC=45°, ,AC=13,则BC的长 .
20.(2021八下·哈尔滨开学考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在图形的内部,∠CBD=∠ACD,∠DAC-∠BCD=45°,若BD= ,则AC边的长为 .
三、解答题
21.(2021八下·哈尔滨开学考)计算:
(1)
(2)
22.(2021八下·哈尔滨开学考)先化简,再求值: ,其中 .
23.(2021八下·哈尔滨开学考)如图所示,在每个小正方形的边长均为1的网格中,线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上.
(1)在图1中画出以AB为底边的等腰直角△ABC,点C在小正方形顶点上,且△ABC的面积为5
(2)在图2中画出以AB为一腰的等腰三角形ABD,点D在小正方形顶点上,且△ABD的面积为6
(3)在(2)的条件下,请直接写出△ABD的周长 .
24.(2020八上·福田期中)如图,一架长为5米的梯子 斜靠在与地面 垂直的墙 上,梯子底端距离墙ON有3米.
(1)求梯子顶端与地面的距离 的长.
(2)若梯子顶点 下滑1米到 点,求梯子的底端向右滑到 的距离.
25.(2018八上·双城期末)动漫节开幕前,某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销,就分两批分别用32000元和68000元购进了这种玩具销售,其中第二批购进数量是第一批购进数量的2倍,但每套进价多了10元.
(1)该动漫公司这两批各购进多少套玩具
(2)如果这两批玩具每套售价相同,且全部销售后总利润不少于20000元,那么每套售价至少是多少元?
26.(2021八下·哈尔滨开学考)如图,已知四边形ABCD中,E是CD上一点,AD∥BE,EA平分∠DEB.
(1)如图(1),求证:DA=DE;
(2)如图(2),连接AC交BE于点F,若AC=AB,求证:∠BAC=∠ADE;
(3)如图(3),在(2)的条件下,若AE+CE=BE,CE=4 ,S△ACE=9 ,求BC的长.
27.(2021八下·哈尔滨开学考)如图,在平面直角坐标系中,A(8,0),B(0,8),连接AB,点C为AB中点,连接OC.
(1)求点C坐标;
(2)如图2,动点E从O出发,沿OA方同以每秒1个单位长度的速度向终点A运动,动点F从B出发,沿BO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动,两个点同时出发,连接CE、FC,求四边形OECF的面积;
(3)在(2)的条件下,取OF的中点D,连接CD交BE于点G,当E、F两点运动2秒时,求CG的长?
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法;单项式除以单项式;合并同类项法则及应用;积的乘方
【解析】【解答】A. 4a 3a=a,计算错误,故本选项错误;
B. a a2=a3,计算准确,故本选项正确;
C. 3a6÷a3=3a3,计算错误,故本选项错误;
D. (ab2)2=a2b4,计算错误,故本选项错误。
故答案为:B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项,合并同类项的时候只把系数相加减,字母和字母的指数不变;;同底数的幂的乘法,底数不变指数相加;单项式除以单项式,系数的商做商的系数,相同字母按同底数幂的除法法则计算即可;积的乘方,等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
2.【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解:A、是轴对称图形,故不合题意;
B、不是轴对称图形,故符合题意;
C、是轴对称图形,故不合题意;
D、是轴对称图形,故不合题意;
故答案为:B.
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可。
3.【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解:A. =3,不是最简二次根式,故此选项不符合题意;
B. ,不是最简二次根式,故此选项不符合题意;
C. 是最简二次根式,故此选项符合题意;
D. ,不是最简二次根式,故此选项不符合题意.
故答案为:C.
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可。
4.【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】分别用3x和3y去代换原分式中的x和y,
得 = = = ,
∴新分式与原分式相等,
故答案为:B.
【分析】依题意,分别用3x和3y去代换原分式中的x和y,利用分式的基本性质化简即可.
5.【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解:∵x2-kx+16是一个整式的平方,
∴k=±8,
故答案为:D.
【分析】利用完全平方式的特征求解即可。
6.【答案】C
【知识点】同底数幂的除法;幂的乘方
【解析】【解答】
故答案为:C.
【分析】利用同底数幂的除法逆运算法则,将为x2m n转化为x2m÷xn,再整体代入求值。
7.【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:A、 ,故此选项不符合题意;
B、 ,故此选项不符合题意;
C、令a=m,则b=m,c=2m(m为正数), ,故此选项不符合题意;
D、 ,故此选项符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据两条直角边的平方和等于斜边的平方,那么即可组成直角三角形。
8.【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】
分为两种情况:①斜边是4有一条直角边是3,由勾股定理得:第三边长是=;
②3和4都是直角边,由勾股定理得:第三边长是=5;
即第三边长是5或,
故选D.
【分析】分为两种情况:①斜边是4有一条直角边是3,②3和4都是直角边,根据勾股定理求出即可.本题考查了对勾股定理的应用,注意:在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.
9.【答案】A
【知识点】勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:∵长方形折叠点B与点D重合,AB=3,AD=9,
∴BE=ED,
设AE=x,则ED=9 x,BE=9 x,
在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,
即32+x2=(9 x)2,
解得x=4,
∴AE的长是4,
∴△ABE的面积为: AB AE= ×3×4=6.
故答案为:A.
【分析】设AE=x,则ED=9 x,BE=9 x,在Rt△ABE中,利用勾股定理得出AB2+AE2=BE2,求出x的值,再代入三角形面积公式计算即可。
10.【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解:如图所示:沿AC将圆柱的侧面展开,
∵底面半径为2cm,
∴BC= =2π≈6cm,
在Rt△ABC中,
∵AC=8cm,BC=6cm,
∴AB= =10cm.
故答案为:B.
【分析】沿AC将圆柱的侧面展开,根据题意已知底面半径2cm,得出BC的值,在Rt△ABC中,根据AC、BC的值,利用勾股定理即可得出答案。
11.【答案】1.04×10-6
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解:0.00000104=1.04×10-6,
故答案为:1.04×10-6.
【分析】把一个数N记成a×10n或a×10(-n)的形式,叫科学记数法,其中1≤|a|<10,n为自然数,当|N|≥1时,记成a×10n的形式,n=整数位数减1.
12.【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:列不等式得:x+1≥0,解得x≥﹣1.
故答案为:x≥﹣1.
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数,列不等式可求解。
13.【答案】a(x+y)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解:原式=a(x2+2xy+y2)=a(x+y)2.
故答案为:a(x+y)2.
【分析】首先提取公因式a,再利用完全平方公式进行分解即可.
14.【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解:原式 .
故答案为: .
【分析】先将每个二次根式化为最简二次根式,然后合并即可.
15.【答案】1
【知识点】零指数幂;负整数指数幂
【解析】【解答】
故答案为:1
【分析】根据零指数幂的运算性质、负整数指数幂的运算性质化简再计算即可。
16.【答案】80°
【知识点】三角形内角和定理;三角形的外角性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵AB=BC,
∴∠BCA=∠A=25°,
∴∠CBD=∠A+∠BCA=50°,
又∵BC=CD,
∴∠CBD=∠CDB=50°,
∴∠BCD=180°-∠CBD-∠CDB=80°.
故答案为:80°.
【分析】根据AB=BC,得出∠BCA、∠CBD的度数,再根据BC=CD,得出∠CBD=∠CDB=50°,即可得出∠BCD的度数。
17.【答案】96
【知识点】勾股定理;勾股定理的逆定理;几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解:在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=8,CD=6,
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100,
∴AC=10(取正值).
在△ABC中,∵AC2+BC2=102+242=676,AB2=262=676,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,
S阴影=SRt△ABC SRt△ACD
= ×10×24 ×8×6
=96.
故答案为:96.
【分析】在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=8,CD=6,根据勾股定理得出AC的值,在△ABC中,由AC2+BC2=102+242=676,AB2=262=676,得出AC2+BC2=AB2,△ABC为直角三角形,再根据S阴影=SRt△ABC SRt△ACD,即可得出答案。
18.【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定(HL);角平分线的性质;勾股定理
【解析】【解答】解:过P点作PH⊥AB于H,如图,
∵P是∠BAC平分线上一点,PD⊥AC,PH⊥AB,
∴∠BAP=∠CAP=15°,PH=PD=3,
∵PM∥AC,
∴∠MPA=∠CAP=15°,
∴MA=MP,
∵∠HMP=∠MAP+∠MPA=15°+15°=30°,
∴PM=2PH=6,HM= PH=3 ,
∴AH=AM+MH=MP+MH=6+3 ,
在Rt△APH和Rt△APD中,
∵ ,
∴Rt△APH≌Rt△APD(HL),
∴AD=AH=6+3 .
故答案为6+3 .
【分析】过P点作PH⊥AB于H,根据P是∠BAC平分线上一点,PD⊥AC,PH⊥AB,得出∠BAP=∠CAP=15°,PH=PD=3,利用HL证出Rt△APH≌Rt△APD,即可得出结论。
19.【答案】17或7
【知识点】勾股定理;线段的计算
【解析】【解答】解:作AD⊥BC交直线BC于点D,
∵∠B=45°, ,
∴AD=BD=12.
∵∠ADC=90°,AD=12,AC=13,
∴CD= .
①如果B、C在D点同侧,那么BC1=BD C1D=12 5=7;
②如果B、C在D点异侧,那么BC2=BD+C2D=12+5=17.
综上,BC边的长为7或17.
故答案为:7或17.
【分析】作AD⊥BC交直线BC于点D,根据∠B=45°, ,得出AD=BD=12.利用勾股定理得出CD的值,分B、C在D点同侧、异侧,各得出BC的值即可。
20.【答案】
【知识点】勾股定理;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵∠CBD=∠ACD,
∴∠ABD=∠BCD,
∵∠DAC ∠BCD=45°,
∴∠BAD=∠ACD=∠CBD,
∴△ABD∽△BCD,
∴
∵BD= ,
∴AD=2,CD=4,
∵∠DAC+∠BAD=90°,
∴∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠ADC=90°,
∴AC= ,
故答案为:
【分析】先利用三角形相似证出△ABD∽△BCD,得出 ,利用勾股定理即可得出AC的值。
21.【答案】(1)解:
;
(2)
.
【知识点】整式的混合运算;二次根式的乘除法
【解析】【分析】(1)先利用完全平方公式和多项式乘多项式的计算方法展开,再合并同类项即可;
(2)先将二次根式的除法转化为乘法,再利用二次根式的乘法公式计算即可。
22.【答案】解:原式=
当 时,原式= .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简,再将x的值代入计算即可。
23.【答案】(1)解:如图1中,△ABC即为所求作.
(2)如图2中,△ABD即为所求作.
(3)
【知识点】勾股定理;等腰直角三角形;作图-三角形
【解析】【解答】∵AB=AD= ,BD= ,
∴△ABD的周长=4 +2 .
故答案为: .
【分析】(1)根据题意作出BC=AC=即可得到答案;
(2)根据要求作出图形即可;
(3)利用勾股定理求出三角形三边的长,再相加即可。
24.【答案】(1)解: (米).
答:梯子顶端与地面的距离 的长为4米;
(2)解:如图:
(米),
(米).
答:若梯子顶点 下滑1米到 点,梯子的底端向右滑到 的距离是1米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】(1)已知直角三角形的斜边和一条直角边,可以运用勾股定理计算另一条直角边;(2)再直角三角形OCD中,已知斜边仍然是5 ,OC=4-1=3,再根据勾股定理求得OD的长即可。
25.【答案】(1)解:设该动漫公司第一批购进 套玩具,则第二批购进 套玩具,
由题意得: ,
解得x=200,
经检验x=200是原方程的根,
∴2x=2×200=400,
答:动漫公司两次分别购进这种玩具200套,400套
(2)解:设每套玩具的售价y元,由题意得:
(200+400)y-32 000-68 000≥20 000,
解这个不等式,得:y≥200,
答:每套玩具的售价至少是200元
【知识点】分式方程的实际应用;一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)设该动漫公司第一批购进 x 套玩具,则第二批购进 2 x 套玩具,根据公司第二次进货的进价比第一次的进价多了10元列出方程,求解检验即可;
(2):设每套玩具的售价y元,根据总利润=总售价减去总进价及总利润不少于20000元列出不等式,求解即可得出答案。
26.【答案】(1)证明:如图(1)中,
∵EA平分∠DEB,
∴∠DEA=∠BEA,
∵AD EB,
∴∠DAE=∠BEA,
∴∠DAE=∠DEA,
∴DA=DE.
(2)证明:如图(2)中,过点A作AM⊥BE于M,AN⊥CD于N.
∵AE平分∠DEB,AM⊥EB,AN⊥ED,
∴AM=AN,
∵∠AMB=∠ANC=90°,AB=AC,
∴Rt△AMB≌Rt△ANC(HL),
∴∠BAM=∠CAN,∠ABE=∠ACD,
∴∠BAC=∠MAN,
∵AD EB
∴∠D+∠DEB=180°,
∵∠MAN+∠MEN=180°,
∴∠D=∠MAN,
∴∠BAC=∠D.
(3)解:如图(3)中,在BE上取一点T,使得BT=CE,过点A作AH⊥DE于H.
由(2)可知∠ABT=∠ACE,
∵BA=CA,BT=CE,
∴△ABT≌△ACE(SAS),
∴AT=AE,
∵AE+EC=BE,BT=CE,
∴AE=ET=AT,
∴△AET是等边三角形,
∴∠AEF=∠AED=∠DAE=∠D=∠CAB=60°,
∵AC=AB,
∴△ACB是等边三角形,
∵S△ACE= EC AH,
∴ ×AH,
∴AH=
在Rt△AEH中,∠AHE=90°,∠AEH=60°,
∴ = HE
∴CH=EC+HE=4 ,
∴AC= ,
∴BC=AC= .
【知识点】三角形全等的判定;三角形的综合
【解析】【分析】(1) 如图(1)中, 根据 EA平分∠DEB, 得出 ∠DEA=∠BEA, 再根据平行的性质得出 ∠DAE=∠DEA, 从而得出结论;
(2) 如图(2)中,过点A作AM⊥BE于M,AN⊥CD于N.根据AE平分∠DEB,AM⊥EB,AN⊥ED,得出AM=AN, 利用HL证出 Rt△AMB≌Rt△ANC ,推出 ∠BAM=∠CAN,∠ABE=∠ACD, 得出 ∠BAC=∠MAN, 再利用 ∠MAN+∠MEN=180°, 得出 ∠D=∠MAN, 从而得出结论;
(3) 如图(3)中,在BE上取一点T,使得BT=CE,过点A作AH⊥DE于H.由(2)可知∠ABT=∠ACE, 利用SAS证出 △ABT≌△ACE ,得出 AT=AE, 再证出 △AET是等边三角形,△ACB是等边三角形,在Rt△AEH中,∠AHE=90°,∠AEH=60°, 利用勾股定理得出AH、AC的值,即可得出答案。
27.【答案】(1)解:∵A(8,0),B(0,8),点C为AB中点,
∴C( ),
即C(4,4);
(2)设动点E、F运动时间为t秒,则OE=t,BF=t,
∴OF=8-t,且0<t<8,
过点C作CK⊥x轴于点K,作CH⊥y轴于点H,
∵C(4,4),
∴CK=CH=4,
∴S四边形OECF=S△OCE+S△OCF
=
=
=16;
(3)如图,
当E、F两点运动2秒时,OE=BF=2,
∴OF=8-2=6,
∴E(2,0),F(0,6),
∵点D是OF的中点,
∴D(0,3),
设直线BE解析式为y=kx+b,
∵B(0,8),E(2,0),
∴ ,
解得: ,
∴直线BE解析式为y=-4x+8,
设直线CD解析式为y=mx+n,
∵C(4,4),D(0,3),
∴ ,
解得: ,
∴直线CD解析式为 ,
联立BE、CD解析式,得: ,
解得: ,
∴G( ),
∴ .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;几何图形的面积计算-割补法;三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)根据 A(8,0),B(0,8),点C为AB中点, 即可得出点C的坐标;
(2) 设动点E、F运动时间为t秒,则OE=t,BF=t,得出OF=8-t,且0<t<8,再过点C作CK⊥x轴于点K,作CH⊥y轴于点H,再根据 点C的坐标,得出 CK=CH=4, 再根据 S四边形OECF=S△OCE+S△OCF 即可得出答案;
(3) 当E、F两点运动2秒时,OE=BF=2, 得出OF的值,即可得出点E、F的坐标, 设直线BE解析式为y=kx+b, 根据点B、E的坐标,即可得出直线BE解析式,设直线CD解析式为y=mx+n,将C、D的坐标代入得出直线CD解析式,联立BE、CD解析式, 得出点G的坐标,即可得出CG的值。
1 / 1黑龙江省哈尔滨市萧红中学2020-2021学年八年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1.(2018八上·双城期末)下列运算中,正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法;单项式除以单项式;合并同类项法则及应用;积的乘方
【解析】【解答】A. 4a 3a=a,计算错误,故本选项错误;
B. a a2=a3,计算准确,故本选项正确;
C. 3a6÷a3=3a3,计算错误,故本选项错误;
D. (ab2)2=a2b4,计算错误,故本选项错误。
故答案为:B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项,合并同类项的时候只把系数相加减,字母和字母的指数不变;;同底数的幂的乘法,底数不变指数相加;单项式除以单项式,系数的商做商的系数,相同字母按同底数幂的除法法则计算即可;积的乘方,等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
2.(2021八下·哈尔滨开学考)下列四个“QQ表情”图片中,不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解:A、是轴对称图形,故不合题意;
B、不是轴对称图形,故符合题意;
C、是轴对称图形,故不合题意;
D、是轴对称图形,故不合题意;
故答案为:B.
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可。
3.(2021八下·哈尔滨开学考)下列根式中,属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解:A. =3,不是最简二次根式,故此选项不符合题意;
B. ,不是最简二次根式,故此选项不符合题意;
C. 是最简二次根式,故此选项符合题意;
D. ,不是最简二次根式,故此选项不符合题意.
故答案为:C.
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可。
4.(2019八上·香洲期末)如果把分式 中的x,y都扩大3倍,那么分式的值
A.扩大3倍 B.不变 C.缩小3倍 D.扩大2倍
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】分别用3x和3y去代换原分式中的x和y,
得 = = = ,
∴新分式与原分式相等,
故答案为:B.
【分析】依题意,分别用3x和3y去代换原分式中的x和y,利用分式的基本性质化简即可.
5.(2020八上·巴彦期末)若 是一个整式的平方,则k的值( )
A.8 B.-8 C.4 D.8或-8
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解:∵x2-kx+16是一个整式的平方,
∴k=±8,
故答案为:D.
【分析】利用完全平方式的特征求解即可。
6.(2018八上·甘肃期中)已知 , ,则 的值为( )
A.9 B. C.12 D.
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法;幂的乘方
【解析】【解答】
故答案为:C.
【分析】利用同底数幂的除法逆运算法则,将为x2m n转化为x2m÷xn,再整体代入求值。
7.(2021八下·哈尔滨开学考)在下列四组线段中,能组成直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:A、 ,故此选项不符合题意;
B、 ,故此选项不符合题意;
C、令a=m,则b=m,c=2m(m为正数), ,故此选项不符合题意;
D、 ,故此选项符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据两条直角边的平方和等于斜边的平方,那么即可组成直角三角形。
8.(2019·广西模拟)已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长是( )
A.5 B.25 C. D.5或
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】
分为两种情况:①斜边是4有一条直角边是3,由勾股定理得:第三边长是=;
②3和4都是直角边,由勾股定理得:第三边长是=5;
即第三边长是5或,
故选D.
【分析】分为两种情况:①斜边是4有一条直角边是3,②3和4都是直角边,根据勾股定理求出即可.本题考查了对勾股定理的应用,注意:在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.
9.(2021八下·哈尔滨开学考)已知,如图,长方形ABCD中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕EF,则△ABE的面积为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】A
【知识点】勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:∵长方形折叠点B与点D重合,AB=3,AD=9,
∴BE=ED,
设AE=x,则ED=9 x,BE=9 x,
在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,
即32+x2=(9 x)2,
解得x=4,
∴AE的长是4,
∴△ABE的面积为: AB AE= ×3×4=6.
故答案为:A.
【分析】设AE=x,则ED=9 x,BE=9 x,在Rt△ABE中,利用勾股定理得出AB2+AE2=BE2,求出x的值,再代入三角形面积公式计算即可。
10.(2021八下·哈尔滨开学考)如图所示,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( )
A. B. C. D.无法确定
【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解:如图所示:沿AC将圆柱的侧面展开,
∵底面半径为2cm,
∴BC= =2π≈6cm,
在Rt△ABC中,
∵AC=8cm,BC=6cm,
∴AB= =10cm.
故答案为:B.
【分析】沿AC将圆柱的侧面展开,根据题意已知底面半径2cm,得出BC的值,在Rt△ABC中,根据AC、BC的值,利用勾股定理即可得出答案。
二、填空题
11.(2017八上·哈尔滨月考)科学家发现一种病毒的直径为 0.00000104米,用科学记数法表示为 米.
【答案】1.04×10-6
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解:0.00000104=1.04×10-6,
故答案为:1.04×10-6.
【分析】把一个数N记成a×10n或a×10(-n)的形式,叫科学记数法,其中1≤|a|<10,n为自然数,当|N|≥1时,记成a×10n的形式,n=整数位数减1.
12.(2018·广安)使 有意义的x的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:列不等式得:x+1≥0,解得x≥﹣1.
故答案为:x≥﹣1.
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数,列不等式可求解。
13.(2018八上·双城期末)把多项式ax2+2axy+ay2分解因式的结果是 .
【答案】a(x+y)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解:原式=a(x2+2xy+y2)=a(x+y)2.
故答案为:a(x+y)2.
【分析】首先提取公因式a,再利用完全平方公式进行分解即可.
14.(2019八下·柯桥期末)计算 - = .
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解:原式 .
故答案为: .
【分析】先将每个二次根式化为最简二次根式,然后合并即可.
15.(2021八下·哈尔滨开学考)计算: .
【答案】1
【知识点】零指数幂;负整数指数幂
【解析】【解答】
故答案为:1
【分析】根据零指数幂的运算性质、负整数指数幂的运算性质化简再计算即可。
16.(2021八下·哈尔滨开学考)如图,AB=BC=CD,∠A=25°,则∠BCD= .
【答案】80°
【知识点】三角形内角和定理;三角形的外角性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵AB=BC,
∴∠BCA=∠A=25°,
∴∠CBD=∠A+∠BCA=50°,
又∵BC=CD,
∴∠CBD=∠CDB=50°,
∴∠BCD=180°-∠CBD-∠CDB=80°.
故答案为:80°.
【分析】根据AB=BC,得出∠BCA、∠CBD的度数,再根据BC=CD,得出∠CBD=∠CDB=50°,即可得出∠BCD的度数。
17.(2021八下·哈尔滨开学考)如图,在一块三角形土地上,准备规划出阴影所示部分作为绿地,若规划图设计中∠ADC=90°,AD=8,CD=6,AB=26,BC=24,求绿地的面积为 .
【答案】96
【知识点】勾股定理;勾股定理的逆定理;几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解:在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=8,CD=6,
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100,
∴AC=10(取正值).
在△ABC中,∵AC2+BC2=102+242=676,AB2=262=676,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,
S阴影=SRt△ABC SRt△ACD
= ×10×24 ×8×6
=96.
故答案为:96.
【分析】在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=8,CD=6,根据勾股定理得出AC的值,在△ABC中,由AC2+BC2=102+242=676,AB2=262=676,得出AC2+BC2=AB2,△ABC为直角三角形,再根据S阴影=SRt△ABC SRt△ACD,即可得出答案。
18.(2021八下·哈尔滨开学考)如图,∠BAC=30°,P是∠BAC平分线上一点,PM∥AC,PD⊥AC,PD=3,AD= .
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定(HL);角平分线的性质;勾股定理
【解析】【解答】解:过P点作PH⊥AB于H,如图,
∵P是∠BAC平分线上一点,PD⊥AC,PH⊥AB,
∴∠BAP=∠CAP=15°,PH=PD=3,
∵PM∥AC,
∴∠MPA=∠CAP=15°,
∴MA=MP,
∵∠HMP=∠MAP+∠MPA=15°+15°=30°,
∴PM=2PH=6,HM= PH=3 ,
∴AH=AM+MH=MP+MH=6+3 ,
在Rt△APH和Rt△APD中,
∵ ,
∴Rt△APH≌Rt△APD(HL),
∴AD=AH=6+3 .
故答案为6+3 .
【分析】过P点作PH⊥AB于H,根据P是∠BAC平分线上一点,PD⊥AC,PH⊥AB,得出∠BAP=∠CAP=15°,PH=PD=3,利用HL证出Rt△APH≌Rt△APD,即可得出结论。
19.(2021八下·哈尔滨开学考)△ABC中,∠ABC=45°, ,AC=13,则BC的长 .
【答案】17或7
【知识点】勾股定理;线段的计算
【解析】【解答】解:作AD⊥BC交直线BC于点D,
∵∠B=45°, ,
∴AD=BD=12.
∵∠ADC=90°,AD=12,AC=13,
∴CD= .
①如果B、C在D点同侧,那么BC1=BD C1D=12 5=7;
②如果B、C在D点异侧,那么BC2=BD+C2D=12+5=17.
综上,BC边的长为7或17.
故答案为:7或17.
【分析】作AD⊥BC交直线BC于点D,根据∠B=45°, ,得出AD=BD=12.利用勾股定理得出CD的值,分B、C在D点同侧、异侧,各得出BC的值即可。
20.(2021八下·哈尔滨开学考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在图形的内部,∠CBD=∠ACD,∠DAC-∠BCD=45°,若BD= ,则AC边的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵∠CBD=∠ACD,
∴∠ABD=∠BCD,
∵∠DAC ∠BCD=45°,
∴∠BAD=∠ACD=∠CBD,
∴△ABD∽△BCD,
∴
∵BD= ,
∴AD=2,CD=4,
∵∠DAC+∠BAD=90°,
∴∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠ADC=90°,
∴AC= ,
故答案为:
【分析】先利用三角形相似证出△ABD∽△BCD,得出 ,利用勾股定理即可得出AC的值。
三、解答题
21.(2021八下·哈尔滨开学考)计算:
(1)
(2)
【答案】(1)解:
;
(2)
.
【知识点】整式的混合运算;二次根式的乘除法
【解析】【分析】(1)先利用完全平方公式和多项式乘多项式的计算方法展开,再合并同类项即可;
(2)先将二次根式的除法转化为乘法,再利用二次根式的乘法公式计算即可。
22.(2021八下·哈尔滨开学考)先化简,再求值: ,其中 .
【答案】解:原式=
当 时,原式= .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简,再将x的值代入计算即可。
23.(2021八下·哈尔滨开学考)如图所示,在每个小正方形的边长均为1的网格中,线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上.
(1)在图1中画出以AB为底边的等腰直角△ABC,点C在小正方形顶点上,且△ABC的面积为5
(2)在图2中画出以AB为一腰的等腰三角形ABD,点D在小正方形顶点上,且△ABD的面积为6
(3)在(2)的条件下,请直接写出△ABD的周长 .
【答案】(1)解:如图1中,△ABC即为所求作.
(2)如图2中,△ABD即为所求作.
(3)
【知识点】勾股定理;等腰直角三角形;作图-三角形
【解析】【解答】∵AB=AD= ,BD= ,
∴△ABD的周长=4 +2 .
故答案为: .
【分析】(1)根据题意作出BC=AC=即可得到答案;
(2)根据要求作出图形即可;
(3)利用勾股定理求出三角形三边的长,再相加即可。
24.(2020八上·福田期中)如图,一架长为5米的梯子 斜靠在与地面 垂直的墙 上,梯子底端距离墙ON有3米.
(1)求梯子顶端与地面的距离 的长.
(2)若梯子顶点 下滑1米到 点,求梯子的底端向右滑到 的距离.
【答案】(1)解: (米).
答:梯子顶端与地面的距离 的长为4米;
(2)解:如图:
(米),
(米).
答:若梯子顶点 下滑1米到 点,梯子的底端向右滑到 的距离是1米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】(1)已知直角三角形的斜边和一条直角边,可以运用勾股定理计算另一条直角边;(2)再直角三角形OCD中,已知斜边仍然是5 ,OC=4-1=3,再根据勾股定理求得OD的长即可。
25.(2018八上·双城期末)动漫节开幕前,某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销,就分两批分别用32000元和68000元购进了这种玩具销售,其中第二批购进数量是第一批购进数量的2倍,但每套进价多了10元.
(1)该动漫公司这两批各购进多少套玩具
(2)如果这两批玩具每套售价相同,且全部销售后总利润不少于20000元,那么每套售价至少是多少元?
【答案】(1)解:设该动漫公司第一批购进 套玩具,则第二批购进 套玩具,
由题意得: ,
解得x=200,
经检验x=200是原方程的根,
∴2x=2×200=400,
答:动漫公司两次分别购进这种玩具200套,400套
(2)解:设每套玩具的售价y元,由题意得:
(200+400)y-32 000-68 000≥20 000,
解这个不等式,得:y≥200,
答:每套玩具的售价至少是200元
【知识点】分式方程的实际应用;一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)设该动漫公司第一批购进 x 套玩具,则第二批购进 2 x 套玩具,根据公司第二次进货的进价比第一次的进价多了10元列出方程,求解检验即可;
(2):设每套玩具的售价y元,根据总利润=总售价减去总进价及总利润不少于20000元列出不等式,求解即可得出答案。
26.(2021八下·哈尔滨开学考)如图,已知四边形ABCD中,E是CD上一点,AD∥BE,EA平分∠DEB.
(1)如图(1),求证:DA=DE;
(2)如图(2),连接AC交BE于点F,若AC=AB,求证:∠BAC=∠ADE;
(3)如图(3),在(2)的条件下,若AE+CE=BE,CE=4 ,S△ACE=9 ,求BC的长.
【答案】(1)证明:如图(1)中,
∵EA平分∠DEB,
∴∠DEA=∠BEA,
∵AD EB,
∴∠DAE=∠BEA,
∴∠DAE=∠DEA,
∴DA=DE.
(2)证明:如图(2)中,过点A作AM⊥BE于M,AN⊥CD于N.
∵AE平分∠DEB,AM⊥EB,AN⊥ED,
∴AM=AN,
∵∠AMB=∠ANC=90°,AB=AC,
∴Rt△AMB≌Rt△ANC(HL),
∴∠BAM=∠CAN,∠ABE=∠ACD,
∴∠BAC=∠MAN,
∵AD EB
∴∠D+∠DEB=180°,
∵∠MAN+∠MEN=180°,
∴∠D=∠MAN,
∴∠BAC=∠D.
(3)解:如图(3)中,在BE上取一点T,使得BT=CE,过点A作AH⊥DE于H.
由(2)可知∠ABT=∠ACE,
∵BA=CA,BT=CE,
∴△ABT≌△ACE(SAS),
∴AT=AE,
∵AE+EC=BE,BT=CE,
∴AE=ET=AT,
∴△AET是等边三角形,
∴∠AEF=∠AED=∠DAE=∠D=∠CAB=60°,
∵AC=AB,
∴△ACB是等边三角形,
∵S△ACE= EC AH,
∴ ×AH,
∴AH=
在Rt△AEH中,∠AHE=90°,∠AEH=60°,
∴ = HE
∴CH=EC+HE=4 ,
∴AC= ,
∴BC=AC= .
【知识点】三角形全等的判定;三角形的综合
【解析】【分析】(1) 如图(1)中, 根据 EA平分∠DEB, 得出 ∠DEA=∠BEA, 再根据平行的性质得出 ∠DAE=∠DEA, 从而得出结论;
(2) 如图(2)中,过点A作AM⊥BE于M,AN⊥CD于N.根据AE平分∠DEB,AM⊥EB,AN⊥ED,得出AM=AN, 利用HL证出 Rt△AMB≌Rt△ANC ,推出 ∠BAM=∠CAN,∠ABE=∠ACD, 得出 ∠BAC=∠MAN, 再利用 ∠MAN+∠MEN=180°, 得出 ∠D=∠MAN, 从而得出结论;
(3) 如图(3)中,在BE上取一点T,使得BT=CE,过点A作AH⊥DE于H.由(2)可知∠ABT=∠ACE, 利用SAS证出 △ABT≌△ACE ,得出 AT=AE, 再证出 △AET是等边三角形,△ACB是等边三角形,在Rt△AEH中,∠AHE=90°,∠AEH=60°, 利用勾股定理得出AH、AC的值,即可得出答案。
27.(2021八下·哈尔滨开学考)如图,在平面直角坐标系中,A(8,0),B(0,8),连接AB,点C为AB中点,连接OC.
(1)求点C坐标;
(2)如图2,动点E从O出发,沿OA方同以每秒1个单位长度的速度向终点A运动,动点F从B出发,沿BO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动,两个点同时出发,连接CE、FC,求四边形OECF的面积;
(3)在(2)的条件下,取OF的中点D,连接CD交BE于点G,当E、F两点运动2秒时,求CG的长?
【答案】(1)解:∵A(8,0),B(0,8),点C为AB中点,
∴C( ),
即C(4,4);
(2)设动点E、F运动时间为t秒,则OE=t,BF=t,
∴OF=8-t,且0<t<8,
过点C作CK⊥x轴于点K,作CH⊥y轴于点H,
∵C(4,4),
∴CK=CH=4,
∴S四边形OECF=S△OCE+S△OCF
=
=
=16;
(3)如图,
当E、F两点运动2秒时,OE=BF=2,
∴OF=8-2=6,
∴E(2,0),F(0,6),
∵点D是OF的中点,
∴D(0,3),
设直线BE解析式为y=kx+b,
∵B(0,8),E(2,0),
∴ ,
解得: ,
∴直线BE解析式为y=-4x+8,
设直线CD解析式为y=mx+n,
∵C(4,4),D(0,3),
∴ ,
解得: ,
∴直线CD解析式为 ,
联立BE、CD解析式,得: ,
解得: ,
∴G( ),
∴ .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;几何图形的面积计算-割补法;三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)根据 A(8,0),B(0,8),点C为AB中点, 即可得出点C的坐标;
(2) 设动点E、F运动时间为t秒,则OE=t,BF=t,得出OF=8-t,且0<t<8,再过点C作CK⊥x轴于点K,作CH⊥y轴于点H,再根据 点C的坐标,得出 CK=CH=4, 再根据 S四边形OECF=S△OCE+S△OCF 即可得出答案;
(3) 当E、F两点运动2秒时,OE=BF=2, 得出OF的值,即可得出点E、F的坐标, 设直线BE解析式为y=kx+b, 根据点B、E的坐标,即可得出直线BE解析式,设直线CD解析式为y=mx+n,将C、D的坐标代入得出直线CD解析式,联立BE、CD解析式, 得出点G的坐标,即可得出CG的值。
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