湘教版数学八年级上册期末简答题综合测评
一、计算题
1．（2021七下·江岸期末）解不等式组：
2．（2021八下·成华期末）
（1）解不等式组 ；
（2）解方程： .
3．（2021八上·松江期中）计算： ．
4．（2021八上·通川期中）计算
（1） ；
（2） .
5．（2021九上·长春月考）计算： ﹣ ＋| ﹣3|．
二、解答题
6．（2021八上·铜仁月考）已知关于x的方程 无解，求m的值.
7．（2021八下·济南期末）解方程： ．
8．（2021八上·河西期中）如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，∠ACB=82°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA，连接AD，AE．求∠D，∠E，∠DAE 的度数．
9．（2021八上·莒南期中）如图，在 中， ， 分别是 的高和角平分线，若 ， ，求 的度数．
10．（2021八上·蒙阴期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长．
11．（2021八上·徐闻期中）如图，已知∠ABC=50°，∠ACB=60°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线．求∠BOC的度数．
12．（2021八上·台州期中）如图，点 在一条直线上， ，求证： .
13．（2021八上·乌鲁木齐期中）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F.求证：CE = CF.
14．（2021八上·凤山期中）如图，已知 ， ，求证 .
15．（2021八上·广州期中）如图，已知AE⊥BC，AD平分∠BAE，∠ADB＝110°，∠CAE＝20°，求∠BAC和∠B的度数．
16．（2021八上·孝义期中）如图，∠ABC＝∠DCB，BD、CA分别平分∠ABC、∠DCB．求证：AC＝DB．
17．（2021七上·莱西期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
求证：△BED≌△CFD．
18．（2021八上·大石桥期中）已知在△ABC中，AB＝AC，且线段BD为△ABC的中线，线段BD将△ABC的周长分成12和6两部分，求△ABC三边的长．
19．（2021八上·玉屏期中）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AD=BD=AC，∠BAC=630，求∠DAC的度数.
20．（2021八上·义乌月考）如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，则∠1＝∠2，试说明理由．
三、综合题
21．（2021八上·新泰期中）解答下列各题：
（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，请从不等式组 的整数解中选择一个合适的值代入求值．
22．（2021九上·哈尔滨月考）某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用320元购进的A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少？
（2）若该商店A种纪念品每件售价45元，B种纪念品每件售价60元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，求A种纪念品最多购进多少件．
23．（2021八上·金东期中）今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48000m2和B种板材24000m2的任务.
（1）如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60m2或B种板材40m2，请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？
（2）某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：
板房 A种板材（m2） B种板材（m2） 安置人数
甲型 108 61 12
乙型 156 51 10
问这400间板房最多能安置多少灾民？
24．（2021八上·金华期中）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段.北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆 型冷链运输车与3辆 型冷链运输车一次可以运输600盒：5辆 型冷链运输车与6辆 型冷链运输车一次可以运输1350盒.
（1）求每辆 型车和每辆 型车一次可以分别运输多少盒疫苗.
（2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗， 型车一次需费用5000元， 型车一次需费用3000元.若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元.请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
25．（2021八上·下城期中）某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾处理厂处理，已知甲厂每小时处理垃圾55吨，需费用550元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，需费用495元.
（1）甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需要几小时完成？
（2）如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？
26．（2021八上·鄞州期中）双十一前，妈妈购买了甲种物品15个，乙种物品20个，共花费250元，已知购买一个甲种物品比购买一个乙种物品多花费5元．
（1）求双十一前购买一个甲种、一个乙种物品各需多少元？
（2）双十一期间，甲种物品售价比上一次购买时减价2元，乙种物品按上一次购买时售价的8折出售．如果妈妈此时再次购买甲、乙两种物品共35个，总费用不超过225元，求至多需要购买多少个甲种物品？
答案解析部分
1．【答案】解：
由①可得：
由②可得：
综合可得原不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集即可.
2．【答案】（1）解： ，
由①得，x≥-3，
由②得，x＜2，
∴不等式组的解集为-3≤x＜2；
（2）解： ，
方程两边同时乘以x-2得，
1-x=-1-2（x-2）
整理得，x=2，
经检验，x=2是方程的增根，
∴原方程无解.
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定出不等式组的解集；
（2）方程两边同时乘以x-2，将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验，可得方程的根.
3．【答案】解： ，
，
，
．
【知识点】实数的运算；分母有理化
【解析】【分析】先利用分母有理化、完全平方公式及0指数幂化简，再计算即可。
4．【答案】（1）解：原式 ，
；
（2）原式 ，
.
【知识点】实数的运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据立方根的概念、绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质分别化简，再合并即可；
（2）根据二次根式的除法法则以及完全平方公式分别化简，再合并同类二次根式即可.
5．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的性质，绝对值，计算求解即可。
6．【答案】解：原方程可以化为 ，由于方程无解，故有两种情况；
(1)若整式方程无实根，则 且
(2)若整式方程的根是原方程的增根，则 ，
经检验， 是方程 的解.
综上所述， 或 .
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】 将原方程化为整式方程，由于方程无解，故有两种情况：①整式方程无实根，②整式方程的根是原方程的增根，据此分别求解即可.
7．【答案】解：
去分母得： ，
移项合并同类项得： ，
经检验当 时，分母为零，
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先求出 ， 再检验求解即可。
8．【答案】解∵ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由三角形外角和内角的关系求得 ∠D与 ∠E的度数，即可求得∠DAE 的度数．
9．【答案】解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠ABC=30°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-30°-60°=90°．
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE= ∠BAC=45°．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，∠DAC=90°-∠C=30°，
∴∠DAE=∠BAE -∠DAC=45°-30°=15°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据∠B+∠C+∠BAC=180°，∠ABC=30°，∠ACB=60°，得出∠BAC=180°-30°-60°=90°．再根据AE是△ABC的角平分线，得出∠CAE= ∠BAC=45°．推出∠ADC=90°，∠DAC=90°-∠C=30°，即可得出∠DAE的度数。
10．【答案】解：∵△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，∴AE=BE，∵△BCE的周长为8cm，即BE+CE+BC=8cm，∴AC+BC=8cm…①，∵AC﹣BC=2cm…②，①+②得，2AC=10cm，即AC=5cm，故AB=5cm；
①﹣②得，2BC=6cm，BC=3cm．
故AB=5cm，BC=3cm．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=BE，再根据△BCE的周长为8cm，可得BC+AC=8，再结合AC-BC=2，利用二元一次方程组的方法求解AB和BC即可。
11．【答案】解：∵BO，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
又∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠OBC= ∠ABC=25°，∠COF= ∠ACB=30°，
∴∠BOC=180°-∠BOE-∠COF=125°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】由已知与角平分线的定义可求出∠OBC= ∠ABC=25°，∠COF= ∠ACB=30°，进而求得答案。
12．【答案】证明：
∴ 即
在△ABE和△DCF中 ∴△ABE≌△DCF．
∴
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】利用线段的和差关系求出BE=CF，然后利用SSS证明 △ABE≌△DCF，则可证得结果.
13．【答案】证明：在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，
∴CE＝CF.
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】易证△ADC≌△ABC，得到∠DAC＝∠BAC，然后根据角平分线的性质进行证明.
14．【答案】证明： ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由已知条件并结合等量加等量和相等可得∠BAC=∠DAE，用边角边可证△BAC≌△DAE，然后根据全等三角形的对应角相等可求解.
15．【答案】解：∵AE⊥BC，∠CAE=20°，
∴∠C=90°-20°=70°．
∵∠ADB是△ACD的外角，且∠ADB=110°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC，即110°=70°+∠DAC，
解得∠DAC=110°-70°=40°，
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=40°-20°=20°．
∵AD平分∠BAE，
∴∠DAE=∠BAD=20°．
在△ABD中，
∵∠BAD=20°，∠ADB=110°，
∴∠B=180°-20°-110°=50°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=90°-50°=40°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=40°+20°=60°．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】已知AE⊥BC，∠CAE=20°，得出∠C的度数，根据角平分线的定义，AD平分∠BAE，得出∠BAE=90°-50°=40°，根据三角形外角的性质得出结果。
16．【答案】证明：∵BD、CA分别平分∠ABC、∠DCB
∴∠DBC＝ ∠ABC，∠ACB＝ ∠DCB
∵∠ABC＝∠DCB
∴∠DBC＝∠ACB
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB
∴AC＝DB
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质，利用等量代换，证明△ABC≌△DCB，继而由全等三角形的性质，求出AC=DB即可。
17．【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
在△BED和△CFD中，∵BD=CD，∠B=∠C，∠BED=∠CFD，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先求出 ∠BED=∠CFD=90° ，再求出 ∠B=∠C ，最后利用AAS证明 △BED≌△CFD 即可。
18．【答案】解：设腰长为 ，底边长为 ，
当12为腰长加腰长的一半时，则：
，解得
此时三角形的三边长为 ，能组成三角形
当6为腰长加腰长的一半时，则
解得 ，
此时三角形的三边长为 ，不能组成三角形
故三角形的三边长为
【知识点】等腰三角形的性质；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】 设腰长为 ，底边长为 ， 分两种情况：当12为腰长加腰长的一半时，当6为腰长加腰长的一半时，再利用二元一次方程组求解即可。
19．【答案】∵AD=BD=CA，
由图可知，∠3=∠1+∠2，∠3=∠4，∠1=∠2，∠BAC=63°
∴∠4=∠1+∠2=2∠2，
∵∠BAC+∠2+∠4=180°，
即3∠2+63°=180°，
∴∠2=39°，
∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】 由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠3=∠1+∠2，∠3=∠4，∠1=∠2，在△ACD中，利用三角形的内角和可得∠BAC+∠2+∠4=180°， 据此求出∠2的度数，即得∠1的度数，根据∠DAC=∠BAC-∠1即可求解.
20．【答案】解：如图所示，连接BD交AC于E点，
∵AB＝AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD＝∠ADC-∠ADB，
即：∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠1=∠2．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】连接BD交AC于E点，由等腰三角形的性质得∠ABD=∠ADB，结合已知条件得∠CBD=∠CDB，推出CB=CD，证明△ABC≌△ADC，据此可得结论.
21．【答案】（1）解：
＝
＝
＝
＝
＝ ；
（2）解：
＝
＝
＝
＝ ；
不等式组 ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
∴不等式组的整数解为： ，
∵ ，
∴当 时，原式＝ ＝ ；
当 时，原式＝ ＝ ．
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用分式的加减法的计算法则求解即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再利用不等式组的解法求出解集，再将x的值代入计算即可。
22．【答案】（1）解：设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为 元．
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，
．
答：A种纪念品每件的进价为40元，B种纪念品每件的进价为50元．
（2）解：设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品 件，
根据题意得： ，
解得： ．
答：A种纪念品最多购进80件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程求解即可；
（2）先求出 ， 再计算求解即可。
23．【答案】（1）解：设x人生产A种板材，根据题意得；
解得，x=120.
经检验x=120是分式方程的解.
210﹣120=90.
∴安排120人生产A种板材，90人生产B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务.
（2）设生产甲种板房y间，乙种板房（400﹣y）间，安置人数z人.
∴根据题意，安置人数z=12y+10（400﹣y）=2y+4000.
又由
解得：300≤y≤600.
∵2＞0，
∴z=2y+4000随y增加而增加.
∴当y=360时安置的人数最多.最多人数为 .
∴最多能安置4720人.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设x人生产A种板材，根据生产A种板材的时间=生产B种板材的时间列出方程，求解即可；
（2）设生产甲种板房y间， 乙种板房（400﹣y）间 ，安置人数z人，根据安置的人数=搭建的y间甲种板房安置的人数+搭建（400-y）间乙种板房安置的人数建立z与y的函数关系式；根据搭建x间甲种板房需要的A种板材数量+搭建（400-x）间乙种板房需要的A种板材数量不超过48000及搭建x间甲种板房需要的B种板材数量+搭建（400-x）间乙种板房需要的B种板材数不超过24000建立不等式组，求解可得y的范围，然后根据一次函数的性质进行解答即可.
24．【答案】（1）解：设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，
由题意可得， ，
解得： ，
答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗；
（2）设A型车a辆，则B型车（12-a）辆，
由题意可得， ，
解得6≤a＜9，
∵a为正整数，
∴a=6，7，8，
∴共有三种运输方案，
方案一：A型车6辆，B型车6辆，
方案二：A型车7辆，B型车5辆，
方案三：A型车8辆，B型车4辆，
∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，
∴A型车辆数越少，费用越低，
∴方案一所需费用最少，此时的费用为5000×6+3000×6=48000（元），
答：方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，由“ 2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒及5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350 ”列出方程组，求解即可；
（2） 设A型车a辆，则B型车（12-a）辆 ，由“a辆A型车运输的疫苗数量+（12-a）辆B型车运输的疫苗数量不少于1500及a辆A型车的运费+（12-a）辆B型车的运费小于54000”列出不等式组，求解可得a的范围，结合a为正整数可得a的值，进而可得运输方案，求出最少费用.
25．【答案】（1）解：设甲、乙两厂同时处理，每天需 小时.
得： ，
解得： ，
答：甲、乙两厂同时处理，每天需7小时.
（2）解：设甲厂需要y小时.
由题知：甲厂处理每吨垃圾费用为 元，
乙厂处理每吨垃圾费用为 元.
则有 ，
解得： .
答：甲厂每天处理垃圾至少需要6小时.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设甲、乙两厂同时处理，每天需x小时，由甲乙两厂每小时处理垃圾的数量之和×时间=垃圾总量，列出方程，求解即可；
（2）设甲厂需要y小时，首先求出甲厂、乙厂处理每吨垃圾费用，然后根据费用不得超过7370元列出关于y的一元一次不等式，求解即可.
26．【答案】（1）解：设甲、乙两种物品的价格分别为x元和y元．
解得
答：双十一前购买一个甲种、一个乙种物品分别需要10元和5元．
（2）解：设需要购买x个甲种物品．
8x+4(35-x) ≤225
答：至多需要购买21个甲种物品．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1) 设甲、乙两种物品的价格分别为x元和y元，根据甲、乙两物品的价格的关系与购买了甲种物品15个，乙种物品20个，共花费250元，列出二元一次方程组求解即可；
(2)设需要购买x个甲种物品，根据价格变化的情况下，再次购买甲、乙两种物品共35个，总费用不超过225元，列一元一次不等式求解，在此范围内取最大整数即可.
1 / 1湘教版数学八年级上册期末简答题综合测评
一、计算题
1．（2021七下·江岸期末）解不等式组：
【答案】解：
由①可得：
由②可得：
综合可得原不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集即可.
2．（2021八下·成华期末）
（1）解不等式组 ；
（2）解方程： .
【答案】（1）解： ，
由①得，x≥-3，
由②得，x＜2，
∴不等式组的解集为-3≤x＜2；
（2）解： ，
方程两边同时乘以x-2得，
1-x=-1-2（x-2）
整理得，x=2，
经检验，x=2是方程的增根，
∴原方程无解.
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定出不等式组的解集；
（2）方程两边同时乘以x-2，将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验，可得方程的根.
3．（2021八上·松江期中）计算： ．
【答案】解： ，
，
，
．
【知识点】实数的运算；分母有理化
【解析】【分析】先利用分母有理化、完全平方公式及0指数幂化简，再计算即可。
4．（2021八上·通川期中）计算
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式 ，
；
（2）原式 ，
.
【知识点】实数的运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据立方根的概念、绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质分别化简，再合并即可；
（2）根据二次根式的除法法则以及完全平方公式分别化简，再合并同类二次根式即可.
5．（2021九上·长春月考）计算： ﹣ ＋| ﹣3|．
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的性质，绝对值，计算求解即可。
二、解答题
6．（2021八上·铜仁月考）已知关于x的方程 无解，求m的值.
【答案】解：原方程可以化为 ，由于方程无解，故有两种情况；
(1)若整式方程无实根，则 且
(2)若整式方程的根是原方程的增根，则 ，
经检验， 是方程 的解.
综上所述， 或 .
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】 将原方程化为整式方程，由于方程无解，故有两种情况：①整式方程无实根，②整式方程的根是原方程的增根，据此分别求解即可.
7．（2021八下·济南期末）解方程： ．
【答案】解：
去分母得： ，
移项合并同类项得： ，
经检验当 时，分母为零，
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先求出 ， 再检验求解即可。
8．（2021八上·河西期中）如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，∠ACB=82°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA，连接AD，AE．求∠D，∠E，∠DAE 的度数．
【答案】解∵ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由三角形外角和内角的关系求得 ∠D与 ∠E的度数，即可求得∠DAE 的度数．
9．（2021八上·莒南期中）如图，在 中， ， 分别是 的高和角平分线，若 ， ，求 的度数．
【答案】解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠ABC=30°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-30°-60°=90°．
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE= ∠BAC=45°．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，∠DAC=90°-∠C=30°，
∴∠DAE=∠BAE -∠DAC=45°-30°=15°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据∠B+∠C+∠BAC=180°，∠ABC=30°，∠ACB=60°，得出∠BAC=180°-30°-60°=90°．再根据AE是△ABC的角平分线，得出∠CAE= ∠BAC=45°．推出∠ADC=90°，∠DAC=90°-∠C=30°，即可得出∠DAE的度数。
10．（2021八上·蒙阴期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长．
【答案】解：∵△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，∴AE=BE，∵△BCE的周长为8cm，即BE+CE+BC=8cm，∴AC+BC=8cm…①，∵AC﹣BC=2cm…②，①+②得，2AC=10cm，即AC=5cm，故AB=5cm；
①﹣②得，2BC=6cm，BC=3cm．
故AB=5cm，BC=3cm．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=BE，再根据△BCE的周长为8cm，可得BC+AC=8，再结合AC-BC=2，利用二元一次方程组的方法求解AB和BC即可。
11．（2021八上·徐闻期中）如图，已知∠ABC=50°，∠ACB=60°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线．求∠BOC的度数．
【答案】解：∵BO，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
又∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠OBC= ∠ABC=25°，∠COF= ∠ACB=30°，
∴∠BOC=180°-∠BOE-∠COF=125°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】由已知与角平分线的定义可求出∠OBC= ∠ABC=25°，∠COF= ∠ACB=30°，进而求得答案。
12．（2021八上·台州期中）如图，点 在一条直线上， ，求证： .
【答案】证明：
∴ 即
在△ABE和△DCF中 ∴△ABE≌△DCF．
∴
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】利用线段的和差关系求出BE=CF，然后利用SSS证明 △ABE≌△DCF，则可证得结果.
13．（2021八上·乌鲁木齐期中）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F.求证：CE = CF.
【答案】证明：在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，
∴CE＝CF.
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】易证△ADC≌△ABC，得到∠DAC＝∠BAC，然后根据角平分线的性质进行证明.
14．（2021八上·凤山期中）如图，已知 ， ，求证 .
【答案】证明： ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由已知条件并结合等量加等量和相等可得∠BAC=∠DAE，用边角边可证△BAC≌△DAE，然后根据全等三角形的对应角相等可求解.
15．（2021八上·广州期中）如图，已知AE⊥BC，AD平分∠BAE，∠ADB＝110°，∠CAE＝20°，求∠BAC和∠B的度数．
【答案】解：∵AE⊥BC，∠CAE=20°，
∴∠C=90°-20°=70°．
∵∠ADB是△ACD的外角，且∠ADB=110°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC，即110°=70°+∠DAC，
解得∠DAC=110°-70°=40°，
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=40°-20°=20°．
∵AD平分∠BAE，
∴∠DAE=∠BAD=20°．
在△ABD中，
∵∠BAD=20°，∠ADB=110°，
∴∠B=180°-20°-110°=50°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=90°-50°=40°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=40°+20°=60°．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】已知AE⊥BC，∠CAE=20°，得出∠C的度数，根据角平分线的定义，AD平分∠BAE，得出∠BAE=90°-50°=40°，根据三角形外角的性质得出结果。
16．（2021八上·孝义期中）如图，∠ABC＝∠DCB，BD、CA分别平分∠ABC、∠DCB．求证：AC＝DB．
【答案】证明：∵BD、CA分别平分∠ABC、∠DCB
∴∠DBC＝ ∠ABC，∠ACB＝ ∠DCB
∵∠ABC＝∠DCB
∴∠DBC＝∠ACB
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB
∴AC＝DB
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质，利用等量代换，证明△ABC≌△DCB，继而由全等三角形的性质，求出AC=DB即可。
17．（2021七上·莱西期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
求证：△BED≌△CFD．
【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
在△BED和△CFD中，∵BD=CD，∠B=∠C，∠BED=∠CFD，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先求出 ∠BED=∠CFD=90° ，再求出 ∠B=∠C ，最后利用AAS证明 △BED≌△CFD 即可。
18．（2021八上·大石桥期中）已知在△ABC中，AB＝AC，且线段BD为△ABC的中线，线段BD将△ABC的周长分成12和6两部分，求△ABC三边的长．
【答案】解：设腰长为 ，底边长为 ，
当12为腰长加腰长的一半时，则：
，解得
此时三角形的三边长为 ，能组成三角形
当6为腰长加腰长的一半时，则
解得 ，
此时三角形的三边长为 ，不能组成三角形
故三角形的三边长为
【知识点】等腰三角形的性质；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】 设腰长为 ，底边长为 ， 分两种情况：当12为腰长加腰长的一半时，当6为腰长加腰长的一半时，再利用二元一次方程组求解即可。
19．（2021八上·玉屏期中）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AD=BD=AC，∠BAC=630，求∠DAC的度数.
【答案】∵AD=BD=CA，
由图可知，∠3=∠1+∠2，∠3=∠4，∠1=∠2，∠BAC=63°
∴∠4=∠1+∠2=2∠2，
∵∠BAC+∠2+∠4=180°，
即3∠2+63°=180°，
∴∠2=39°，
∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】 由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠3=∠1+∠2，∠3=∠4，∠1=∠2，在△ACD中，利用三角形的内角和可得∠BAC+∠2+∠4=180°， 据此求出∠2的度数，即得∠1的度数，根据∠DAC=∠BAC-∠1即可求解.
20．（2021八上·义乌月考）如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，则∠1＝∠2，试说明理由．
【答案】解：如图所示，连接BD交AC于E点，
∵AB＝AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD＝∠ADC-∠ADB，
即：∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠1=∠2．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】连接BD交AC于E点，由等腰三角形的性质得∠ABD=∠ADB，结合已知条件得∠CBD=∠CDB，推出CB=CD，证明△ABC≌△ADC，据此可得结论.
三、综合题
21．（2021八上·新泰期中）解答下列各题：
（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，请从不等式组 的整数解中选择一个合适的值代入求值．
【答案】（1）解：
＝
＝
＝
＝
＝ ；
（2）解：
＝
＝
＝
＝ ；
不等式组 ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
∴不等式组的整数解为： ，
∵ ，
∴当 时，原式＝ ＝ ；
当 时，原式＝ ＝ ．
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用分式的加减法的计算法则求解即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再利用不等式组的解法求出解集，再将x的值代入计算即可。
22．（2021九上·哈尔滨月考）某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用320元购进的A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少？
（2）若该商店A种纪念品每件售价45元，B种纪念品每件售价60元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，求A种纪念品最多购进多少件．
【答案】（1）解：设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为 元．
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，
．
答：A种纪念品每件的进价为40元，B种纪念品每件的进价为50元．
（2）解：设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品 件，
根据题意得： ，
解得： ．
答：A种纪念品最多购进80件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程求解即可；
（2）先求出 ， 再计算求解即可。
23．（2021八上·金东期中）今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48000m2和B种板材24000m2的任务.
（1）如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60m2或B种板材40m2，请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？
（2）某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：
板房 A种板材（m2） B种板材（m2） 安置人数
甲型 108 61 12
乙型 156 51 10
问这400间板房最多能安置多少灾民？
【答案】（1）解：设x人生产A种板材，根据题意得；
解得，x=120.
经检验x=120是分式方程的解.
210﹣120=90.
∴安排120人生产A种板材，90人生产B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务.
（2）设生产甲种板房y间，乙种板房（400﹣y）间，安置人数z人.
∴根据题意，安置人数z=12y+10（400﹣y）=2y+4000.
又由
解得：300≤y≤600.
∵2＞0，
∴z=2y+4000随y增加而增加.
∴当y=360时安置的人数最多.最多人数为 .
∴最多能安置4720人.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设x人生产A种板材，根据生产A种板材的时间=生产B种板材的时间列出方程，求解即可；
（2）设生产甲种板房y间， 乙种板房（400﹣y）间 ，安置人数z人，根据安置的人数=搭建的y间甲种板房安置的人数+搭建（400-y）间乙种板房安置的人数建立z与y的函数关系式；根据搭建x间甲种板房需要的A种板材数量+搭建（400-x）间乙种板房需要的A种板材数量不超过48000及搭建x间甲种板房需要的B种板材数量+搭建（400-x）间乙种板房需要的B种板材数不超过24000建立不等式组，求解可得y的范围，然后根据一次函数的性质进行解答即可.
24．（2021八上·金华期中）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段.北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆 型冷链运输车与3辆 型冷链运输车一次可以运输600盒：5辆 型冷链运输车与6辆 型冷链运输车一次可以运输1350盒.
（1）求每辆 型车和每辆 型车一次可以分别运输多少盒疫苗.
（2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗， 型车一次需费用5000元， 型车一次需费用3000元.若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元.请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【答案】（1）解：设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，
由题意可得， ，
解得： ，
答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗；
（2）设A型车a辆，则B型车（12-a）辆，
由题意可得， ，
解得6≤a＜9，
∵a为正整数，
∴a=6，7，8，
∴共有三种运输方案，
方案一：A型车6辆，B型车6辆，
方案二：A型车7辆，B型车5辆，
方案三：A型车8辆，B型车4辆，
∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，
∴A型车辆数越少，费用越低，
∴方案一所需费用最少，此时的费用为5000×6+3000×6=48000（元），
答：方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，由“ 2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒及5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350 ”列出方程组，求解即可；
（2） 设A型车a辆，则B型车（12-a）辆 ，由“a辆A型车运输的疫苗数量+（12-a）辆B型车运输的疫苗数量不少于1500及a辆A型车的运费+（12-a）辆B型车的运费小于54000”列出不等式组，求解可得a的范围，结合a为正整数可得a的值，进而可得运输方案，求出最少费用.
25．（2021八上·下城期中）某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾处理厂处理，已知甲厂每小时处理垃圾55吨，需费用550元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，需费用495元.
（1）甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需要几小时完成？
（2）如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？
【答案】（1）解：设甲、乙两厂同时处理，每天需 小时.
得： ，
解得： ，
答：甲、乙两厂同时处理，每天需7小时.
（2）解：设甲厂需要y小时.
由题知：甲厂处理每吨垃圾费用为 元，
乙厂处理每吨垃圾费用为 元.
则有 ，
解得： .
答：甲厂每天处理垃圾至少需要6小时.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设甲、乙两厂同时处理，每天需x小时，由甲乙两厂每小时处理垃圾的数量之和×时间=垃圾总量，列出方程，求解即可；
（2）设甲厂需要y小时，首先求出甲厂、乙厂处理每吨垃圾费用，然后根据费用不得超过7370元列出关于y的一元一次不等式，求解即可.
26．（2021八上·鄞州期中）双十一前，妈妈购买了甲种物品15个，乙种物品20个，共花费250元，已知购买一个甲种物品比购买一个乙种物品多花费5元．
（1）求双十一前购买一个甲种、一个乙种物品各需多少元？
（2）双十一期间，甲种物品售价比上一次购买时减价2元，乙种物品按上一次购买时售价的8折出售．如果妈妈此时再次购买甲、乙两种物品共35个，总费用不超过225元，求至多需要购买多少个甲种物品？
【答案】（1）解：设甲、乙两种物品的价格分别为x元和y元．
解得
答：双十一前购买一个甲种、一个乙种物品分别需要10元和5元．
（2）解：设需要购买x个甲种物品．
8x+4(35-x) ≤225
答：至多需要购买21个甲种物品．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1) 设甲、乙两种物品的价格分别为x元和y元，根据甲、乙两物品的价格的关系与购买了甲种物品15个，乙种物品20个，共花费250元，列出二元一次方程组求解即可；
(2)设需要购买x个甲种物品，根据价格变化的情况下，再次购买甲、乙两种物品共35个，总费用不超过225元，列一元一次不等式求解，在此范围内取最大整数即可.
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